高斯噪聲和白噪聲（課堂PPT）

1、.12.3 高斯噪聲和白噪聲高斯噪聲和白噪聲引言: 噪聲分析的兩類方法： 隨機噪聲：服從統(tǒng)計規(guī)律，用隨機函數(shù)描述 單（多）脈沖噪聲：瞬態(tài)分析法 .2一、高斯噪聲（依噪聲幅度分布特性判定） 1、定義：幅度起伏遵從高斯分布的噪聲2、中心極限定理（李雅普諾夫定理）：大量N個統(tǒng)計獨立的、具有有限的數(shù)學期望和方差的隨機變量之和 的分布律在 的極限情況下趨于高斯分布律。3、高斯分布律： （1）一維概率密度函數(shù): 是由均值 和均方差 唯一確定的函數(shù)NiixZ1Nm2.3 概率密度： (1.2.63) 分布函數(shù): (1.2.64) 當 時, (1.2.65) 高斯變量X的 階中心矩與 階原點矩 中心矩: (1

2、.2.66-1)222)(21)(mxexpxmxdxexXPxF222)(21)()(0m22221)(xexpdxemxmxNN222)()(21NN.4 原點矩: (1.2.66-2) （2）高斯分布的N維聯(lián)合概率密度 (1.2.67) 其中 是聯(lián)合二階中心矩, 是行列式, 是元素 的余因子dxexxNn22221為偶數(shù)為奇數(shù)NNN0 )()(21exp)2(111212kkiiNiNkikNxxxxMMM),.,()(21NxxxpxpMikMikM.5 和 (1.2.68) 當 是互不相關(guān)的, 對于 ，我們有 和 (1.2.69) 物理含義: 如果N個高斯隨機變量之間是互不相關(guān)的,則

3、它們 之間也是統(tǒng)計獨立的。NNNNNNM.212222111211)(kkiikiikxxxxixki 0ik0ikMNiiiiNiiNxxxp122122)(exp)2(1)()().()(21Nxpxpxp.64、滿足高斯分布的充分條件： （1）客觀背景： 事實上，噪聲函數(shù)的瞬時值可視為大量的相互獨立的被加項之和,且任意一個被加項與其它被加項相比,在方差或功率上都相差無幾。 （2）滿足高斯分布的條件： 當被加項的數(shù)目很大而每一個被加項與所有被加項的總貢獻比很小時，這些隨機變量之和的分布即趨于高斯分布。（3）結(jié)果： 此時，個別分量在很寬范圍內(nèi)的分布特性無關(guān)緊要.75、高斯分布的特點與高斯噪聲

4、特性：（1）高斯分布的特點： 以 為軸，呈對稱分布， 時取最大值。 時逼近橫軸 處有拐點 域內(nèi)的概率為99.7% 域內(nèi)的概率為95.4% 域內(nèi)的概率為68.3%mxmxxxmxm22mxm33mxm.8 （2）高斯噪聲特性： 高斯噪聲的線性組合仍是高斯噪聲 高斯噪聲與一固定數(shù)值相加的結(jié)果只改變噪聲平均值,不 改變其它特性 對獨立的噪聲源產(chǎn)生的噪聲求和時, 按功率相加 高斯噪聲通過線性系統(tǒng)后, 仍是高斯噪聲.9 6、光子噪聲（1）定義: 光輻射強度隨機起伏導(dǎo)致的探測器輸出信號噪聲。 （2）性質(zhì): 由純正弦單色光波或?qū)拵彷椛涔馐a(chǎn)生的光子計數(shù)， 服從泊松分布。（3）泊松分布: 概率密度： (1.

5、2.70) 注意: 光電子計數(shù): : 上式中代表光電子計數(shù)的量為 (1.2.71)其中 是被檢測點的坐標值， 是量子效率 ， 是入射位置 和時間 的光強 ， 是檢測器的面積， 是面積元。 vmkvekmkp!)()(1!0 hdstrInmsv),(),(yxr),(trIt),(yxrsds.10 均值與方差: 均值： (1.2.72) 方差 (1.2.73)注意: 對泊松分布有均值等于方差，即 泊松分布與高斯分布的關(guān)系 泊松分布是離散型分布，但當均值 足夠大（光輻射足夠強，使探測器接收到的光子數(shù)足夠多）時，泊松分布將趨于高斯分布，光子噪聲趨于高斯噪聲。 即：強光：高斯分布；弱光：泊松分布。

6、 0)(kvmkkpkE)(22vkmkE02)()(kvvmkpmk2kvmvm.11二、白噪聲 （依噪聲在頻域分布特性判定）1、定義： 噪聲功率譜按頻率均勻分布在整個區(qū)間 的噪聲。2、譜密度： (1) 若噪聲功率譜按正負兩個半軸上頻譜定義，則噪聲功率 譜密度為 。 (1.2.74-1) (2) 工程上取頻域為 時, 。 (1.2.74-2) 3、相關(guān)函數(shù)： 因為相關(guān)函數(shù)與功率譜是一對傅立葉變換對, 又因為單位脈沖函數(shù) 的傅立葉變換是常數(shù)1, 故有 (1.2.75) ),(),0(0)(NPW2)(0NPW)(t2)()(2)(00NPNRW.12 4、特點： : ( 1 ) 功率譜在 內(nèi)均

7、勻分布，故其平均功率無限大。 ( 2 ) 在工程上，若考查的噪聲在比選定頻帶寬得多的頻帶內(nèi) 有均勻的功率譜，就可將其按白噪聲處理。 5、限帶白噪聲： ( 1 ) 定義：具有矩形功率譜的白噪聲稱謂限帶白噪聲。 ( 2 ) 產(chǎn)生方法：將白噪聲通過矩形特征濾波器產(chǎn)生 ),(.13( 3 ) 分類： 低頻限帶白噪聲： (1.2.76)式中: 為噪聲平均功率 )2(2)(sin)(0BrectNPBBPRnnnfNBNPn002.14 高頻限帶白噪聲: （1.2.77） 0cos2)2sin()(BBPRnn)()(2)(000BrectBrectNPnfNBNPn002.156、高斯白噪聲：（1）定義: 具有高斯（幅度）分布的白噪聲稱為高斯白噪聲。 若同時又是限帶噪聲的，稱為高斯限帶白噪聲。 若噪聲均值 、功率譜密度為 、限帶寬度為 、 并