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![第4章 多自由度系統(tǒng)的振動題解_第4頁](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-2/24/2cfd2b59-acf8-4f23-8d84-ded69299f866/2cfd2b59-acf8-4f23-8d84-ded69299f8664.gif)
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文檔簡介
1、習(xí) 題4-1 在題3-10中,設(shè)m1=m2=m,l1=l2=l,k1=k2=0,求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題4-1圖 解:由題3-10的結(jié)果,代入,可求出剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M;由頻率方程,得 ,為求系統(tǒng)主振型,先求出adjB的第一列分別將頻率值代入,得系統(tǒng)的主振型矩陣為 題4-2圖4-2 題4-2圖所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m1,求系統(tǒng)的頻率方程。解:設(shè)桿的轉(zhuǎn)角和物塊位移x為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè),畫出受力圖,并施加物體力偶與力,由平衡條件得到, 設(shè),畫出受力圖,并施加物體力偶與力,由平衡條件得到, , 得作用力方程為由頻率方程,得題4-3圖4-3 題4-3圖所示的系統(tǒng)中,兩
2、根長度為l的均勻剛性桿的質(zhì)量為m1及m2,求系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣,并求出當(dāng)m1=m2=m和k1=k2=k時系統(tǒng)的固有頻率。解:如圖取為廣義坐標(biāo),分別畫受力圖。由動量矩定理得到, 整理得到, 則剛度矩陣和柔度矩陣分別得,系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為由頻率方程,并代入已知條件得,整理得到 ,求得,。用剛度影響系數(shù)法求解剛度矩陣。令,分別由兩桿的受力圖,列平衡方程為;同理,令得到 題4-4圖4-4 題4-4圖所示,滑輪半徑為R,繞中心的轉(zhuǎn)動慣量為2mR2,不計(jì)軸承處摩擦,并忽略繞滑輪的繩子的彈性及質(zhì)量,求系統(tǒng)的固有頻率及相應(yīng)的主振型。解:如圖選x1,x2,x3為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè),畫
3、出受力圖,并施加物體,由平衡條件得到, , 設(shè),畫出受力圖,并施加物體,由平衡條件得到,= 0, ,設(shè),畫出受力圖,并施加物體,由平衡條件得到,則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得,由頻率方程,得展開為,解出頻率為,由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,并分別代入頻率值,得系統(tǒng)的主振型矩陣為題4-5圖4-5 三個單擺用兩個彈簧聯(lián)結(jié),如題4-5圖所示。令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。試用微小的角、和為坐標(biāo),以作用力方程方法求系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解:如圖選為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè),畫出受力圖,并施加物體于,由平衡條件得到, , 設(shè),畫出受力圖,并施加物體,由平衡條件得到, ,設(shè),畫出
4、受力圖,并施加物體,由平衡條件得到,則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得,特征矩陣:由頻率方程,得0,展開為,解出頻率為,。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,并分別代入頻率值,得系統(tǒng)的主振型矩陣為4-6 題4-6圖所示的簡支梁的抗彎剛度為EJ,本身質(zhì)量不計(jì),以微小的平動x1、x2和x3為坐標(biāo),用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率及主振型。假設(shè)m1=m2=m3=m。題4-6圖解:如圖取廣義坐標(biāo),用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。首先,僅在質(zhì)量處施加豎直單位力F=1,其余各質(zhì)量塊處不受力,則產(chǎn)生的靜撓度是;處產(chǎn)生的靜撓度是;處產(chǎn)生的靜撓度是。則由材料力學(xué)知識,得到,同理可得到其它柔度矩陣的各列,最后得到柔度矩陣為得到系統(tǒng)
5、的位移方程為由系統(tǒng)的特征矩陣,得頻率方程,即其中,展開頻率方程為解出。由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,分別代入特征值,得到主振型為。題4-7圖4-7 如題4-7圖所示,用三個彈簧連接的四個質(zhì)量塊可以沿水平方向平動,假設(shè)m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k,試用作用力方程計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解:如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為, 由頻率方程,得因此可得到頻率方程 解出 ,, , 解出頻率為,。由特征矩陣,特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,將 代入,即得 歸一化 得將 代入,得 歸一化 得將代入,得 歸一化 得將代入,得 歸一化 得得系統(tǒng)的主振型矩陣為各階主
6、振型如下圖所示:題4-8圖4-8 題4-8圖表示一座帶有剛性梁和彈性立柱的三層樓建筑。假設(shè)m1=m2=m3=m,h1=h2=h3=h,EJ1=3EJ,EJ2=2EJ,EJ3=EJ。用微小的水平平動x1、x2和x3為坐標(biāo),用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣。解:由材料力學(xué)知,當(dāng)懸臂梁自由端無轉(zhuǎn)角時,其梁的等效剛度為,由此可將題4-11圖等效為(a)圖,其中,廣義坐標(biāo)如圖(a)示。利用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。即,對圖(a)中的施加單位力,其余不受力,此時第一個彈簧變形為,第二和第三個彈簧變形為零。由此可得個坐標(biāo)位移為, ,同理求出其余各列。最后得到柔度矩陣為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為得到系統(tǒng)的
7、位移方程為由系統(tǒng)的特征矩陣,得頻率方程,即其中,展開頻率方程為解出。解出固有頻率為由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,分別代入特征值,得到主振型為。主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為柔度矩陣還可以這樣解出: 時:,:, 時:, 題4-9圖4-9 在題4-9圖所示的系統(tǒng)中,各個質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動,假設(shè)m1=m2=m3=m,k1=k2=k3=k4=k5=k6=k,試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣。解:如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為,由頻率方程,得解出頻率為,由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,將代入得系統(tǒng)的第一階主振型為滿足如下關(guān)系:,展開以上二式得,。取,
8、,可得到。即有滿足如下關(guān)系:,展開以上二式得,聯(lián)立得。取,可得到。即得主振型矩陣為4-10 試計(jì)算題4-5的系統(tǒng)對初始條件和的響應(yīng)。解:在習(xí)題4-5中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為題4-5圖,主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為初始條件為,= 0正則坐標(biāo)的響應(yīng)為,由,展開得到其中,。題4-7圖4-11 試計(jì)算題4-7的系統(tǒng)對初始條件和 的響應(yīng)。解:在習(xí)題4-7中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為,主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標(biāo)初始條件為= 0,= 正則坐標(biāo)的響應(yīng)為,其中頻率為。最終得到響應(yīng),由,展開得到題4-8圖4-12 試確定題4
9、-8中三層樓建筑框架由于作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除所引起的響應(yīng)。解:在習(xí)題4-8中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為,當(dāng)作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除時,相當(dāng)于受到了初始條件的激勵,即,正則坐標(biāo)初始條件為= ,= 正則坐標(biāo)的響應(yīng)為由,展開得到其中。4-13假定一個水平向右作用的斜坡力施加與題4-5中中間擺的質(zhì)量上,試確定系統(tǒng)的響應(yīng)。解:在習(xí)題4-10中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為題4-5圖,由題意,施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):由方程(2-28)得到對于斜坡力的卷積積分,第i個正則坐標(biāo)的響應(yīng):用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由,展開得到其中,。4-14
10、 試確定題4-7的系統(tǒng)對作用于質(zhì)量m1和質(zhì)量m4上的階躍力F1=F4=F的響應(yīng)。題4-7圖解:在習(xí)題4-11中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為,由題意,施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由,展開得到其中。題4-8圖4-15 在題4-8的三層樓建筑中,假定地面的水平運(yùn)動加速度,試求各層樓板相對于地面的穩(wěn)態(tài)水平強(qiáng)迫振動。解:在習(xí)題4-12中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為,由題意,施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):用正則坐標(biāo)表示的位移矢量由,展開得到其中,(i =1,2,3);,。題4-16圖4-16 質(zhì)量為m1的滑塊用兩個剛度分別為k1及k2的彈簧
11、連接在基礎(chǔ)上,滑塊上有質(zhì)量為m1、擺長為l的單擺,假設(shè)m1=m2=m及k1=k2=k,基礎(chǔ)作水平方向的簡諧振動,其中,試求(1) 單擺的最大擺角;(2)系統(tǒng)的共振頻率。解:如圖所示選擇廣義坐標(biāo)。利用質(zhì)量影響系數(shù)法求質(zhì)量矩陣,設(shè),畫慣性力及,由平衡條件得到,。設(shè),畫慣性力及,由平衡條件得到,。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè),畫出受力圖,并施加物塊力,列平衡方程,得到,設(shè),畫出受力圖,并施加物塊力,列平衡方程,得到,得作用力方程為令為穩(wěn)態(tài)響應(yīng),代入上式得,展開為將代入可得到。穩(wěn)態(tài)運(yùn)動時有,則有由頻率方程,得展開為,解出頻率為,即為共振頻率。題4-17圖4-17 題4-17圖示的系統(tǒng)中,各個質(zhì)量只
12、能沿鉛垂方向運(yùn)動,假設(shè)在質(zhì)量4m上作用有鉛垂力,試求各個質(zhì)量的強(qiáng)迫振動振幅;系統(tǒng)的共振頻率。解:如圖選擇廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為,系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為,由頻率方程,得解得,由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,并分別代入頻率值,得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標(biāo)表示的微分方程由題意,施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):用正則坐標(biāo)表示的位移矢量其中,(i = 1,2,3)。由,展開得到可用直接方法求解:列出運(yùn)動方程設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:所以原方程化為: 即:所以:令則:題4-18圖4-18 在題4-18圖的有阻尼系統(tǒng)中,左端的質(zhì)量塊受階躍力P的作用,初始條件為零,求系統(tǒng)響應(yīng)。解:(1)寫出無阻尼受迫振動方程(2)求固有頻率和正則振型由頻率方程,得解得,。 由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,并分別代入頻率值,得系統(tǒng)的主振型矩陣為主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為(3)正則坐標(biāo)表示的微分方程(4)引入振型阻尼比建立阻尼矩陣,求主阻尼矩
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