2015年考研數(shù)學一試題及完全解析(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題及答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1、設函數(shù)在連續(xù)，其2階導函數(shù)的圖形如下圖所示，則曲線的拐點個數(shù)為（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】(C)【考點】拐點的定義【難易度】【詳解】拐點出現(xiàn)在二階導數(shù)等于0，或二階導數(shù)不存在的點上，并且在這點的左右兩側(cè)二階導數(shù)異號，因此，由的圖形可知，曲線存在兩個拐點，故選(C).2、設是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】(A

2、)【考點】常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法【難易度】【詳解】為齊次方程的解，所以2、1為特征方程的根，從而再將特解代入方程得：3、若級數(shù)條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的：（A）收斂點，收斂點 （B）收斂點，發(fā)散點 （C）發(fā)散點，收斂點 （D）發(fā)散點，發(fā)散點【答案】(B)【考點】級數(shù)的斂散性【難易度】【詳解】因為條件收斂，故為冪級數(shù)的條件收斂點，進而得的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為，又由于冪級數(shù)逐項求導不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間仍為，因而與依次為冪級數(shù)的收斂點、發(fā)散點.4、設D是第一象限中曲線與直線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（A） （B） （C） （D）【答案】(D)【考點】二重積分的極坐標變換

3、【難易度】【詳解】由得，；由得，由得，由得，所以5、設矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多個解的充分必要條件為（A） （B）（C） （D）【答案】(D)【考點】非齊次線性方程組的解法【難易度】【詳解】有無窮多解或且或6、設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若，則在正交變換下的標準形為（A） （B）（C） （D）【答案】(A)【考點】二次型【難易度】【詳解】由，故且：所以，故選(A)7、若為任意兩個隨機事件，則（A） （B）（C） （D）【答案】(C)【考點】【難易度】【詳解】故選8、設隨機變量不相關，且則（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5【答案】(D)【考點】【難易度】【詳解】二、填空

4、題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.9、【答案】【考點】極限的計算【難易度】【詳解】10、【答案】【考點】積分的計算【難易度】【詳解】11、若函數(shù)由方程確定，則.【答案】【考點】隱函數(shù)求導【難易度】【詳解】令，則，又當時，所以，因而12、設是由平面與三個坐標平面所圍成的空間區(qū)域，則【答案】【考點】三重積分的計算【難易度】【詳解】由輪換對稱性，得其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以13、n階行列式【答案】【考點】行列式的計算【難易度】【詳解】按第一行展開得14、設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則.【答案】【考點】【難易度】【詳解】，且獨立，三、解答題：152

5、3小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）設函數(shù)，若與在是等價無窮小，求，值?！究键c】等價無窮小量，極限的計算【難易度】【詳解】是等價無窮小16、（本題滿分10分）設函數(shù)在定義域上的導數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及x軸所圍成的區(qū)域的面積為4，且，求的表達式.【考點】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：處的切線方程為：與軸的交點為：時，則，因此，.即滿足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、（本題滿分10分）已知函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù).【考點】方向?qū)?shù)，條件極值【難易度】【詳解】根據(jù)方向?qū)?shù)與梯

6、度的關系可知，方向?qū)?shù)沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故故在曲線上的最大方向?qū)?shù)為，其中滿足，即就求函數(shù)在約束條件下的最值.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)令可得其中綜上根據(jù)題意可知在曲線上的最大方向?qū)?shù)為.18、（本題滿分10分）()設函數(shù)可導，利用導數(shù)定義證明()設函數(shù)可導，寫出的求導公式.【考點】導數(shù)定義【難易度】【詳解】19、（本題滿分10分）已知曲線的方程為起點為，終點為，計算曲線積分【考點】曲線積分的計算【難易度】【詳解】曲線的參數(shù)方程為從到20、（本題滿分11分）設向量組是3維向量空間的一個基，。（）證明向量組是的一個基；（）當k為何值時，存在非零向量在基與基下的坐標相同，并求出所有的?！究键c】線性無關，基下的坐標【難易度】【詳解】（）因為，所以線性無關，是的一個基。（）設，為從基到基的過渡矩陣，又設在基下的坐標為，則在基下的坐標為，由，得，即由，得，并解得為任意常數(shù)。從而為任意常數(shù)。21、（本題滿分11分）設矩陣相似于矩陣.（）求的值.（）求可逆矩陣，使得為對角陣.【考點】相似矩陣，相似對角化【難易度】【詳解】由相似于則解得當特征向量當則特征向量所以得22、（本題滿分11分）設隨機變量的概率密度為對進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為觀測次數(shù).（）求的概率分布；（）求.【考點】【難易度】【詳解】