兩條直線的夾角

1、兩條直線的夾角一、 教學(xué)目的：1 分清直線到直線的角與直線到直線的角以及兩條直線與的夾角的區(qū)別與聯(lián)系。2 掌握直線到直線的角的計(jì)算公式3 掌握直線與直線的夾角的計(jì)算公式二、 情感目標(biāo)：通過對(duì)兩直線的傾斜角與夾角的關(guān)系探索，找出夾角的正切值與兩直線斜率之間的關(guān)系；運(yùn)用兩角差的正切公式，進(jìn)一步滲透解析幾何的思想，即用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題；培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、條理性、深刻性。三、 教學(xué)重、難點(diǎn)：1當(dāng)一條直線斜率不存在時(shí)，如何求解兩直線的夾角。2根據(jù)題意正確使用夾角，到角公式，注意根據(jù)圖形進(jìn)行舍解。四、 教學(xué)過程：（一）引入：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行、重合和相交。我們分別用直線的代數(shù)形式去

2、描述了它們的位置關(guān)系。在相交直線中特殊的位置關(guān)系是垂直，即兩條直線所成角為90。因此，我們可以用兩直線的夾角大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。平面上，兩條相交直線和構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對(duì)對(duì)頂角。為了區(qū)別這些角，通常規(guī)定：直線繞著交點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和重合時(shí)所得到的角，叫做到的角。直線繞著交點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和重合時(shí)所得到的角，叫做到的角。 M 當(dāng)時(shí)，即到的角為90。 或一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在。通過這充要條件啟發(fā)我們，到的角的大小是否也可以與、的斜率建立關(guān)系呢？（二）推導(dǎo)：設(shè)兩條直線方程分別是：，：（，均存在），到的角如果，那么=90。如果，設(shè)和的傾斜角分別是和，則=，=

3、不論 或 ， y y 0 x 0 x都有， 即一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考慮不大于直角的角（叫做兩條直線的夾角），那么有 （）當(dāng)兩條直線平行或重合時(shí)，則它們的夾角是零度角，此時(shí)公式仍適用。（三）例題： 例1 求下列兩直線的夾角。 （1）：x+2y-5=0, ：2x-3y+1=0；（2）：x-3y-2=0, ：2y+3=0； ( 3) ：x-5=0, ：2x+4y+3=0；小結(jié)：已知直線方程求夾角大小問題。第一小題求出直線斜率后直接套用夾角公式；第二小題其中一條直線斜率為零，既可以套用公式，又可以觀察圖像，顯然夾角不是傾斜角就是傾斜角的補(bǔ)角；第三小題其中

4、一條直線斜率不存在，不能使用公式，只能觀察圖像，分析傾斜角與夾角的關(guān)系。例2 求經(jīng)過點(diǎn)（-5，6）且與直線2x+2y-5=0的夾角為的直線方程。小結(jié)：已知夾角大小求直線方程問題。據(jù)題意直線過點(diǎn)（-5，6），因此只需確定直線斜率k，就可寫出直線的點(diǎn)斜式方程。由夾角公式可求出k的值。根據(jù)圖像特征，過一點(diǎn)必定會(huì)有兩條直線與已知直線的夾角成45度，這就提示我們必須解出兩個(gè)k的值。這道題一解k=0時(shí)，直線方程為y-6=0；另一解k不存在，意味著直線方程為x+5=0。而往往同學(xué)們會(huì)忽略后一個(gè)答案，認(rèn)為k無解，直線方程就不存在。例3 等腰，底邊BC所在的直線方程是x+y=0，頂點(diǎn)A(2，3)，它的一條腰AB

5、平行于直線x-4y+2=0，求另一條腰AC所在直線的方程。小結(jié)：本題也是運(yùn)用夾角公式或到角公式求解直線方程的一種類型，它在題目的條件上比較隱蔽，沒有直接指出夾角的大小。而在解題過程中，我們也不需要知道夾角大小，只是利用夾角相等建立等式，求出所需直線的斜率，從而確定直線方程。（四）作業(yè)：練習(xí)冊P5 8、10、11五、 反思： 通過兩條相交直線所成角的大小來描述兩條相交直線的位置關(guān)系。之前同學(xué)們已經(jīng)接觸了互相垂直的直線，它們的斜率成積為-1。這一結(jié)論的得出，也是建立在觀察直線傾斜角與夾角的關(guān)系上的。因此同學(xué)們在尋找關(guān)系式時(shí)并不困難。而是在要求同學(xué)們用斜率去表示夾角時(shí)，大家陷入了沉默。顯然對(duì)高一所學(xué)

6、的知識(shí)有所遺忘，經(jīng)提醒同學(xué)們能較快的接受兩角差的正切公式與兩直線斜率間的等式關(guān)系。對(duì)例題的選擇由淺入深，又簡到難。對(duì)于這一知識(shí)點(diǎn)，我認(rèn)為解決兩方面的問題，一是已知直線方程求夾角大小問題；二是已知夾角大小求直線方程問題。首先，在第一道例題中第1、2小題使同學(xué)們先熟悉公式，加深公式在頭腦中的印象，第3小題是為了讓大家意識(shí)到公式不是萬能的，它是有局限的，比如直線斜率不存在或者兩直線斜率為負(fù)倒數(shù)等，因此還是要求同學(xué)們掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，從根本關(guān)系上入手，理解其本質(zhì)。其次，第二、三道例題就為應(yīng)用夾角公式去解直線方程的類型。應(yīng)該說公式人人都能記住，但很多同學(xué)在最終的結(jié)果上卻不能回答完整。這意味著同學(xué)們在思維過程中還不夠嚴(yán)密，往往會(huì)遺漏斜率不存在這一特殊的解。有時(shí)運(yùn)用夾角公式解題比較難于讓人發(fā)現(xiàn)，比如，直線過點(diǎn)(1,0)，且被兩平行直線3x+y-6=0和3x+y+3=0所截的線段的長為9，求此直線的方程。數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法。在解題時(shí)必