三階行列式按一行或一列展開

1、三階行列式按一行(或一列)展開 數(shù)學(xué)組 孫冬梅教學(xué)內(nèi)容分析三階行列式按一行(或一列)展開是三階行列式計(jì)算的另外一種法則，學(xué)習(xí)這種法則有助于學(xué)生更好地理解二階行列式、三階行列式的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)這個(gè)法則也是較復(fù)雜的行列式計(jì)算的常用方法，更是蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)問題研究過程中將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題的研究方法。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要圍繞代數(shù)余子式的符號(hào)的確定研究三階行列式按一行(或一列)展開法則。學(xué)情分析學(xué)生已掌握三階行列式的對(duì)角線法則，并在計(jì)算過程中體會(huì)到對(duì)角線法則展開的不便。這種認(rèn)知和困惑是進(jìn)行本次課的一個(gè)有效開端，也是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的有效思維路徑。教學(xué)目標(biāo)(1) 掌握余子式、代數(shù)余子式的概念；(2)

2、 經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、分析的數(shù)學(xué)探究，逐步歸納和掌握代數(shù)余子式的符號(hào)的確定方法和三階行列式按一行(或一列)展開方法，體驗(yàn)研究數(shù)學(xué)的一般方法；(3) 體會(huì)用簡(jiǎn)單（二階行列式）刻畫復(fù)雜（三階行列式）、將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的數(shù)學(xué)思想教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)三階行列式按一行(或一列)展開、代數(shù)余子式的符號(hào)的確定。教學(xué)設(shè)計(jì)思路復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單的二階、三階行列式的展開，發(fā)現(xiàn)二、三階行列式之間的聯(lián)系，推演至三階行列式的按一行(或一列)展開。過程中的難點(diǎn)是代數(shù)余子式的符號(hào)確定，引導(dǎo)學(xué)生將符號(hào)的變化與相聯(lián)系。通過相關(guān)例題，強(qiáng)化代數(shù)余子式展開的原理，并體會(huì)其與對(duì)角線法則的比較優(yōu)劣。教學(xué)準(zhǔn)備學(xué)生已掌握二階、三階行列式的對(duì)角線法則。教學(xué)過程一、情景

3、引入將下列行列式按對(duì)角線法則展開：_（） _（）說明請(qǐng)學(xué)生展開幾個(gè)行列式的主要目的：鞏固復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的知識(shí)；同時(shí)，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三階行列式與相應(yīng)的二階行列式間的關(guān)系。二、三階行列式的代數(shù)余子式展開的推導(dǎo)1、提問：請(qǐng)同學(xué)們觀察兩個(gè)行列式展開式的特征，你能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的現(xiàn)象？（1、加式和減式成對(duì)出現(xiàn)；2、每一個(gè)乘積項(xiàng)的幾個(gè)元素取自不同行不同列）2、根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的特征，將三階行列式展開式中的正負(fù)項(xiàng)兩兩結(jié)合，得到：=3、對(duì)比、分析以上兩個(gè)行列式的展開式，你能將三階行列式表示成含有幾個(gè)二階行列式運(yùn)算的式子嗎（保持各元素的相對(duì)位置不變）？進(jìn)一步，如何處理中間項(xiàng)的二階行列式表達(dá)？4、將三階行列式表示成幾個(gè)含有

4、二階行列式運(yùn)算的式子，結(jié)果可能不唯一，可以有等等三、知識(shí)整理與解析1、概念整理在剛才的實(shí)驗(yàn)中，將三階行列式表示成了含有三個(gè)二階行列式運(yùn)算的式子：。其中二階行列式、分別叫做元素，的余子式，添上相應(yīng)的符號(hào)(正號(hào)省略)，如，、分別叫做元素，的代數(shù)余子式于是三階行列式可以表示為第一列的各個(gè)元素與其代數(shù)余子式的乘積之和：像這樣的展開，我們稱之為三階行列式按第一列展開2、代數(shù)余子式的符號(hào)確定探索提問：我們能否類似的將三階行列式按其余的行或列展開？（學(xué)生實(shí)踐）例如：等等從上述研究，我們不難發(fā)現(xiàn)這種展開方法的關(guān)鍵是要找到三階行列式某一行或某一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式不難發(fā)現(xiàn)，要確定某元素的代數(shù)余子式，我們可以先

5、確定其余子式，然后確定代數(shù)余子式符號(hào)，而最主要的就是其符號(hào)的確定提問：如何確定每一個(gè)代數(shù)余子式的符號(hào)？試根據(jù)以推得的代數(shù)余子式的展開式進(jìn)行研究討論。 說明(1)以上主要由學(xué)生合作完成，目的主要是讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想、抽象并獲得新知的過程；(2)通過上述研究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：確定某個(gè)元素的余子式其實(shí)就是將這個(gè)元素所在的行和列劃去，將剩下的元素按照原來的位置關(guān)系所組成的二階行列式；而這個(gè)元素的代數(shù)余子式與該元素所在行列式的位置(即第行，第列)有關(guān)，其代數(shù)余子式的正負(fù)號(hào)是“”一般地，三階行列式可以按其任意一行(或一列)展開成該行(或該列)的各個(gè)元素與其代數(shù)余子式的乘積之和其中，最關(guān)鍵的是確定三階

6、行列式某一行或某一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式(尤其是其符號(hào))四、例題講解例題1 按要求計(jì)算行列式：(1)按第一行展開；(2)按第一列展開；（3）自選一行（或一列）展開。說明(1)一個(gè)三階行列式可以按其任意一行(或一列)展開，其中，最關(guān)鍵的是確定三階行列式某一行或某一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式(尤其是其符號(hào))；(2)當(dāng)一個(gè)三階行列式的某一行(或某一列)元素中，0的個(gè)數(shù)較多，我們往往將行列式按照該行(或該列)，這樣計(jì)算往往比較方便例題2.化簡(jiǎn)：（1）、 （2）、 說明讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察比較兩種行列式展開的特點(diǎn)，選取不同的展開方式進(jìn)行三階行列式的展開。（1）選擇代數(shù)余子式展開較優(yōu)；（2）選擇對(duì)角線法則展開較快。四、課堂小結(jié)(1)余子式、代數(shù)余子式的概念；(2)三階行列式按一行(或一列)展開方法五、作業(yè)布置作業(yè)冊(cè)相應(yīng)一節(jié)練習(xí)教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三階行列式按一行(或一列)展開方法，從內(nèi)容上看，這部分內(nèi)容與上節(jié)課一樣，同樣概念性比較強(qiáng)，同樣容易上成教師“一堂言”的枯燥無味的數(shù)學(xué)課，但是這部分內(nèi)容卻蘊(yùn)涵了重要的數(shù)學(xué)思想方法單純的死