二進(jìn)制的四則運(yùn)算

1、二進(jìn)制的四則運(yùn)算二進(jìn)制四則運(yùn)算和十進(jìn)制四則運(yùn)算原理相同，所不同的是十進(jìn)制有十個數(shù)碼，“滿十進(jìn)一”，二進(jìn)制只有兩個數(shù)碼0和1，“滿二進(jìn)一”。二進(jìn)制運(yùn)算口訣則更為簡單。1加法二進(jìn)制加法，在同一數(shù)位上只有四種情況：000，011，101，1110。只要按從低位到高位依次運(yùn)算，“滿二進(jìn)一”，就能很容易地完成加法運(yùn)算。例1 二進(jìn)制加法（1）101101101；（2）1110101011。解 加法算式和十進(jìn)制加法一樣，把右邊第一位對齊，依次相應(yīng)數(shù)位對齊，每個數(shù)位滿二向上一位進(jìn)一。101101101100011 1110101011111001通過計(jì)算不難驗(yàn)證，二進(jìn)制加法也滿足“交換律”，如10111011

2、10110110010。多個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再把所得結(jié)果依次與下 一個加數(shù)相加。例2 二進(jìn)制加法（1）10111011110；（2）101（11011110）。解（1）10111011110 （2）101（11011110）100101110 10111011100000； 100000從例2的計(jì)算結(jié)果可以看出二進(jìn)制加法也滿足“結(jié)合律”。鞏固練習(xí) 二進(jìn)制加法（1）100111；（2）1001101101；（3）（1101110）110；（4）（10101110）1101。2減法二進(jìn)制減法也和十進(jìn)制減法類似，先把數(shù)位對齊，同一數(shù)位不夠減時，從高一位借位，“借一當(dāng)二”。例3 二進(jìn)制減法（

3、1）1101011110；（2）100011011。解（1）1101011111010111；（2）100011011110。例4 二進(jìn)制加減混合運(yùn)算（1）110101110111111；（2）1011011101111011。解（1）110101110111111100001011111100011（2）10110111011110111001111011101101。鞏固練習(xí) 二進(jìn)制運(yùn)算（1）110101101；（2）11001111；（3）1101011111101；（4）1001111010011。3乘法二進(jìn)制只有兩個數(shù)碼0和1，乘法口訣只有以下幾條：0×00，0×

4、10，1×00，1×11概括成口訣：零零得零，一零得零，一一得一。二進(jìn)制乘法算式和十進(jìn)制寫法也一樣。例5 二進(jìn)制乘法（1）1001×101；（2）11001×1010。解（1）1011×101110111；（2）11001×101011111010。例6 二進(jìn)制運(yùn)算（1）101×1101；（2）1101×101；（3）（10111）×1010；（4）101×101011×1010。解（1） （2）101×11011000001； 1101×1011000001；（3

5、）（10111）×10101010000；（4）101×101011×10101010000從例6的計(jì)算結(jié)果可以看出，二進(jìn)制乘法滿足“交換律”；乘法對加法也滿足“分配律”。對這一結(jié)論，大家還可以進(jìn)行多次驗(yàn)證。鞏固練習(xí) 二進(jìn)制運(yùn)算（1）1011×1101；（2）11101×1001；（3）10101×（111101）；（4）（110011111）×1014除法除法是乘法的逆運(yùn)算，二進(jìn)制除法和十進(jìn)制除法也一樣，而且更簡單，每一位商數(shù)不是0，就是1。例7 二進(jìn)制除法（1）10100010÷1001；（2）10010011

6、÷111。解 （1） （2）10100010÷100110010； 10010011÷11110101。例8 求二進(jìn)制除法的商數(shù)和余數(shù)111010÷101解111010÷101 所得商數(shù)是1011，余數(shù)是11。鞏固練習(xí) 二進(jìn)制除法（1）1101110÷101；（2）1010110001÷1101；（3）求商數(shù)和余數(shù)1101001÷1001在二進(jìn)制除法中，被除數(shù)，除數(shù)，商數(shù)和余數(shù)的關(guān)系和十進(jìn)制除法的關(guān)系是相同的。被除數(shù)除數(shù)×商數(shù)余數(shù)。如例8，111010101×101111。二進(jìn)制的四則運(yùn)算二進(jìn)制

7、也可以進(jìn)行四則運(yùn)算，它的運(yùn)算規(guī)則如下所示：加運(yùn)算     0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10        逢2進(jìn)1減運(yùn)算 1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1當(dāng)2）乘運(yùn)算 0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1除運(yùn)算 二進(jìn)制只有兩個數(shù)（0，1），因此它的商是1或0.例1：求（1011101）B與（0010011）B之和例2： 求（1101）B與（0101）B的乘積通過例(1)我們再來介紹兩個概念：半加和全加。半加是最低位的加數(shù)和被加數(shù)相加時，不考慮低

8、位向本位進(jìn)位。全加是加數(shù)和被加數(shù)相加時，我們還要考慮低位向本位的進(jìn)位。2.3  二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算除了有四則運(yùn)算外，還可以有邏輯運(yùn)算。下面分別予以介紹。  二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)一樣，同樣可以進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算。其算法規(guī)則如下：加運(yùn)算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，#逢2進(jìn)1；減運(yùn)算：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1，#向高位借1當(dāng)2；乘運(yùn)算：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1，#只有同時為“1”時結(jié)果才為“1”；除運(yùn)算：二進(jìn)制數(shù)只有兩個數(shù)（0，1），因此它

9、的商是1或0。1加、減法運(yùn)算示例例如：求（1101）2+（1010）2之和；求（110000）2（10111）2之差，這兩個計(jì)算過程分別如圖2-12的（a）/（b）所示。圖2-12  二進(jìn)制數(shù)加、減法計(jì)算示例 加法運(yùn)算步驟圖2-12（a）所示的加法運(yùn)算步驟如下：（1）首先是最右數(shù)碼位相加。這里加數(shù)和被加數(shù)的最后一位分別為“0”和“1”，根據(jù)加法原則可以知道，相加后為“1”。（2）再進(jìn)行倒數(shù)第二位相加。這里加數(shù)和被加數(shù)的倒數(shù)第二位都為“1”，根據(jù)加法原則可以知道，相加后為“（10）2”，此時把后面的“0”留下，而把第一位的“1”向高一位進(jìn)“1”。（3）再進(jìn)行倒數(shù)第三位相加。這里加數(shù)和被

10、加數(shù)的倒數(shù)第二位都為“0”，根據(jù)加法原則可以知道，本來結(jié)果應(yīng)為“0”，但倒數(shù)第二位已向這位進(jìn)“1”了，相當(dāng)于要加“被加數(shù)”、“加數(shù)”和“進(jìn)位”這三個數(shù)的這個數(shù)碼位，所以結(jié)果應(yīng)為0+1=1。（4）最后最高位相加。這里加數(shù)和被加數(shù)的最高位都為“1”，根據(jù)加法原則可以知道，相加后為“（10）2”。一位只能有一個數(shù)字，所以需要再向前進(jìn)“1”，本身位留下“0”，這樣該位相加后就得到“0”，而新的最高位為“1”。通過以上運(yùn)算，可以得到（1101）2+（1010）2=10101。減法運(yùn)算步驟對于圖2-12（b）所示的減法運(yùn)算，在此專門解釋一下。圖中的“借位”行中某些位上方有標(biāo)有“1”，表示該位被借數(shù)。具體過

11、程為從被減數(shù)的右邊第一位開始減去減數(shù)，這與十進(jìn)制數(shù)的減法運(yùn)算一樣。在本例中，最低為“0”，由于0減去1，“0”比“1”小，而需要向右數(shù)第二位借位，而這里的第二位也為“0”，不夠借轉(zhuǎn)，需要繼續(xù)而向右數(shù)第三位，以此類推，最后從右數(shù)第五位借得“1”。 下面是具體的去處過程：（1）首先最后一位向倒數(shù)第二位借“1”，相當(dāng)于得到了（10）2，也就是相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的“2”，用2減去1得1。（2）再計(jì)算倒數(shù)第二位，因?yàn)樵撐煌瑯訛椤?”，不及減數(shù)“1”大，需要繼續(xù)向倒數(shù)第三位借“1”（同樣是借“1”當(dāng)“2”），但因?yàn)樗谏弦徊街幸呀杞o了最后一位“1”（此時是真實(shí)的“1”），則倒數(shù)第二位目前為1，與減數(shù)“1”相

12、減后得到“0”。（3）用同樣的方法倒數(shù)第三位要向它們的上一位借“1”（同樣是當(dāng)“2”），但同樣已向它的下一位（倒數(shù)第二位）借給“1”（此時也是真實(shí)的“1”），所以最終得值也為“0”。（4）被減數(shù)的倒數(shù)第四位盡管與前面的幾位一樣，也為“0”，但它所對應(yīng)的減數(shù)倒數(shù)第四位卻為“0”，而不是前面幾位中對應(yīng)的“1”，它向它的高位（倒數(shù)第五位）借“1”（相當(dāng)于“2”）后，在借給了倒數(shù)第四位“1”（真實(shí)的“1”）后，仍有“1”余，10=1，所以該位結(jié)果為“1”。（5）被減數(shù)的倒數(shù)第五位原來為“1”，但它借給了倒數(shù)第四位，所以最后為“0”，而此時減數(shù)的倒數(shù)第五位卻為“1”，這樣被減數(shù)需要繼續(xù)向它的高位（倒數(shù)第

13、六位）借“1”（相當(dāng)于“2”），21=1。（6）被減數(shù)的最后一位本來為“1”，可是借給倒數(shù)第五位后就為“0”了，而減數(shù)沒有這個位，這樣結(jié)果也就是被減數(shù)的相應(yīng)位值大小，此處為“0”。這樣（110000）2（10111）2最終的結(jié)果應(yīng)該是：011001，最高位的“0”可以舍掉，就得到了11001這個結(jié)果。在二進(jìn)制數(shù)的加、減法運(yùn)算中一定要聯(lián)系上十進(jìn)制數(shù)的加、減法運(yùn)算方法，其實(shí)它們的道理是一樣的，也是一一對應(yīng)的。在十進(jìn)制數(shù)的加法中，進(jìn)“1”仍就當(dāng)“1”，在二進(jìn)制數(shù)中也是進(jìn)“1”當(dāng)“1”。在十進(jìn)制數(shù)減法中我們向高位借“1”當(dāng)“10”，在二進(jìn)制數(shù)中就是借“1”當(dāng)“2”。而被借的數(shù)仍然只是減少了“1”，這與

14、十進(jìn)制數(shù)一樣。2乘、除法運(yùn)算示例下面再介紹二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算的乘、除法運(yùn)算示例。如求（1110）2×（0110）2和（1001110）2÷（110）2的結(jié)果，計(jì)算過程分別如圖2-13（a）/（b）所示。圖2-13  二進(jìn)制數(shù)乘、除法計(jì)算示例 乘法運(yùn)算示例n先看圖2-13（a）所示的二進(jìn)制數(shù)乘法運(yùn)算，其實(shí)很簡單，我們只要把二進(jìn)制數(shù)中的“0”和“1”全部當(dāng)成是十進(jìn)制數(shù)中的“0”和“1”即可。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)中的乘法運(yùn)算知道，任何數(shù)與“0”相乘所得的積均為“0”，這一點(diǎn)同樣適用于二進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算。只有“1”與“1”相乘才等于“1”。有了這樣兩個原則就很容易理解圖2-1

15、3（a）所示的乘法運(yùn)算步驟了。下面是具體介紹。（1）首先是乘數(shù)的最低位與被乘數(shù)的所有位相乘，因?yàn)槌藬?shù)的最低位為“0”，根據(jù)以上原則可以得出，它與被乘數(shù)（1110）2的所有位相乘后的結(jié)果都為“0”。（2）再是乘數(shù)的倒數(shù)第二位與被乘數(shù)的所有位相乘，因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“1”，根據(jù)以上原則可以得出，它與被乘數(shù)（1110）2的高三位相乘后的結(jié)果都為“1”，而于最低位相乘后的結(jié)果為“0”。（3）再是乘數(shù)的倒數(shù)第三位與被乘數(shù)的所有位相乘，同樣因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“1”，處理方法與結(jié)果都與上一步的倒數(shù)第二位一樣，不再贅述。（4）最后是乘數(shù)的最高位與被乘數(shù)的所有位相乘，因?yàn)槌藬?shù)的這一位為“0”，所以與被乘數(shù)（11

16、10）2的所有位相乘后的結(jié)果都為“0”。（5）然后再按照前面介紹的二進(jìn)制數(shù)加法原則對以上四步所得的結(jié)果按位相加（與十進(jìn)制數(shù)的乘法運(yùn)算方法一樣），結(jié)果得到（1110）2×（0110）2=（1010100）2。 除法運(yùn)算步驟n最后看一下圖2-13（b）所示的二進(jìn)制數(shù)除法運(yùn)算。它也與十進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算方法一樣，但它的商只能是“0”或“1”。在除法運(yùn)算中還要用到前面介紹的二進(jìn)制數(shù)減法運(yùn)算方法。具體步驟如下。說明：因?yàn)槌龜?shù)為“110”，有3位，所以在被除數(shù)中也至少要有3位（從高位數(shù)起）。被除數(shù)的高3位為“100”，比除數(shù)“110”小，所以要選到前4位（這與十進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則是一樣的），為“1001”。但要注意的是商只能為“0”，或者“1”，而不能是其他數(shù)。（1）首先用“1”作為商試一下，相當(dāng)于用“1”乘以除數(shù)“110”，然后把所得到的各位再與被除數(shù)的前4位“1001”相減。按照減法運(yùn)算規(guī)則可以得到的余數(shù)為“011”。（2）因?yàn)椤?11”與除數(shù)“110”相比，不足以被除，所以需要向低取一位，最終得到“0111”，此時的數(shù)就比除數(shù)“110”大了，可以繼續(xù)除了。同樣用“1”作