人教版必修5教案解三角形應(yīng)用舉例（一)測量距離

1、第4課時(shí)1.2應(yīng)用舉例（一） 第一章 解三角形§1.2應(yīng)用舉例（第一課時(shí)）【創(chuàng)設(shè)情景 引入新知】“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？” 早在1671年,兩位法國天文學(xué)家為了測量地球與月球之間的距離,利用幾乎位于同一子午線的柏林與好望角,測量計(jì)算出,的大小和兩地之間的距離,從而算出了地球與月球之間的距離約為385400km.B天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離?！咎剿鲉栴} 形成概念】 上述問題是一個(gè)實(shí)際測量問題，求解實(shí)際測量問題一般要充分理解題意，正確做出

2、圖形，將實(shí)際問題里的已知條件轉(zhuǎn)換成三角形中已知的邊和角，將其所求轉(zhuǎn)換成三角形中未知的邊和角，建立數(shù)學(xué)模型并利用所學(xué)知識(shí)來求解. 測量不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離問題主要有： （1)測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個(gè)角和一條邊解三角形的問題，從而運(yùn)用正弦定理去解決； （2）測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，再把求三角形的邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離問題，然后運(yùn)用正弦定理解決.【例題】【例題】如圖1.21，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，

3、測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m). 【思路】所求的邊AB的對(duì)角是已知的，又已知三角形的一邊AC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出邊AC的對(duì)角，根據(jù)正弦定理，可計(jì)算出邊AB.【解答】根據(jù)正弦定理，得 65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米.【反思】解決此類實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖是將其轉(zhuǎn)換為解三角形問題的關(guān)鍵，再利用正弦定理、余弦定理等有關(guān)的三角形知識(shí)去解決.【例題】如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.【思路】將AB放在 ABC中研究，設(shè)法求出 ABC的其它量，用例題一的方法，計(jì)算出A

4、 C 、BC，再測BCA的大小，用余弦定理計(jì)算出AB.【解答】測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得 AC = = BC= = 計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB =【反思】在處理三角形問題時(shí)，靈活運(yùn)用兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。思考請(qǐng)同學(xué)們想一想，還有沒有別的測量方法？ 在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，如例1中的A

5、C，例2中的CD.在測量過程中要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度。一般來說，基線越長，測量的精確度越高. 此外在解與三角形有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，還需要準(zhǔn)確理解和把握應(yīng)用題中有關(guān)名稱和術(shù)語，常用的有：1、鉛垂平面：與海平面垂直的平面.2、仰角和俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線與水平線的夾角；當(dāng)視線在水平線之上時(shí)稱為仰角，當(dāng)視線在水平線以下時(shí)稱為俯角，如圖3、方位角：從指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如圖4、方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.例如：南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼呄蛭餍D(zhuǎn)60°，如圖.5、坡角：坡面和水平平面所成二面角； 坡度指的是坡

6、角的正切值.【解疑釋惑 促進(jìn)理解】難點(diǎn)一、由實(shí)際測量距離問題抽象為三角形問題由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解是本節(jié)課的難點(diǎn).解決實(shí)際測量問題的過程要認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解。 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖； （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解； （4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符

7、合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。【例題】某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？【思路】由題意準(zhǔn)確做出圖形，在ABC中利用余弦定理求得角C，再在MAC中，利用正弦定理求得 MC，由MB= MC-BC即可求出汽車還需行駛的距離。【解答】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得 cosC=, 則sinC =1- cosC =, sinC =

8、,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC =35 ，從而有MB= MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站?！痉此肌拷鉀Q有關(guān)三角形的實(shí)際問題時(shí)往往會(huì)用到多個(gè)三角形，要通過它們的共性建立聯(lián)系，并合理選擇定理加以計(jì)算達(dá)到解決問題的目標(biāo)?！局笇?dǎo)運(yùn)用 鞏固拓展】【例題】如圖a，為了計(jì)算杭州西湖兩景點(diǎn)B,C之間的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個(gè)測量點(diǎn)，現(xiàn)測得， ，求兩景點(diǎn)與的距離.【思路】在ABD中已知兩邊及一邊的夾角，可以考慮利用余弦定理解得第三邊BD的長度，這樣在中已知兩角及一角

9、的對(duì)邊，求另一角的對(duì)邊，利用正弦定理即可解決?！窘獯稹吭贏BD中，設(shè)BD=x，則， 即整理得： 解之： ，（舍去）， 由正弦定理，得： , 11(km). 答：兩景點(diǎn)與的距離約為11.km. 【反思】在ABD中已知兩邊及一邊的夾角，在BD的長度時(shí)除了利用余弦定理，通過解方程的方法外，還可以利用正弦定理，進(jìn)行求解，但要注意解的個(gè)數(shù)?！拘〗Y(jié)歸納 自主建構(gòu)】1.解斜三角形應(yīng)用題的基本思路：2.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；（3）求解：利用正弦定理

10、或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解?！痉答亴W(xué)習(xí) 查缺補(bǔ)漏】 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正、余弦定理在測量距離中的一些應(yīng)用，并了解了一些名稱和術(shù)語，以及解斜三角形應(yīng)用題的基本思路和一般步驟. 下一節(jié)課，我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)正、余弦定理在測量高度中的一些應(yīng)用，請(qǐng)大家預(yù)習(xí)課時(shí)詳解第五課時(shí)，并思考下列問題：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀?本課后收集有關(guān)測量距離的資料并閱讀。 【閱讀延伸 開闊視野】 我國古代超視距的遠(yuǎn)距離測量 簡單說，我國古代是借助太陽進(jìn)行超視距的

11、遠(yuǎn)距離測量的。我國古人創(chuàng)造了一種獨(dú)特的方法，即利用日影的長短變化進(jìn)行遠(yuǎn)距離測量。具體方法是：在同一天（如夏至）的中午，在南北方向上的兩地分別豎起同高的表?xiàng)U，然后測量表?xiàng)U的影，并根據(jù)日影差一寸實(shí)地相距千里的原則推算兩地距離?！按缬扒Ю铩背闪俗钤绲倪h(yuǎn)距離測量原則，如左圖所示(圖注：AE、BF為同高的表?xiàng)U，按影長AC與BD的差“寸影千里”推算AB兩地的距離)。 漢代以前，人們一直遵循“寸影千里”這一定則。南朝時(shí)，科學(xué)家在進(jìn)行陽城（河南登封縣境內(nèi)）和交州（今越南境內(nèi)）的聯(lián)測時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“寸影千里”的不準(zhǔn)確性。唐代一行高僧等在河南平原上成功地進(jìn)行了子午線長度測量和緯度測量后，才最終否定了“寸影千里”的測量

12、定則。這一定則雖然被否定了，但它借天量地的思路是值得稱道的，曾經(jīng)是克服山川湖海障礙進(jìn)行遠(yuǎn)距離測量的有效辦法，在中國測繪史上具有啟迪意義。 【教材作業(yè)】習(xí)題1.2 A組1.【解答】【基礎(chǔ)】【中檔】【測量距離問題】【思路】首先求出BC邊的長度，然后利用正弦定理求出AC的長度即為貨輪到達(dá)點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離.【解答】在中，n mile ，根據(jù)正弦定理，（n mile） 貨輪到達(dá)點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離是約8.82n mile【反思】要解決好本題必需準(zhǔn)確利用兩個(gè)方位角以及三角形的內(nèi)角和定理，然后應(yīng)用正弦定理求出即可.2.【解答】【基礎(chǔ)】【中檔】【測量距離問題】【思路】由中午12時(shí)航行到下午2時(shí)，兩船的航行距離分別

13、為50、30，又航向夾角為，故問題轉(zhuǎn)化為已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊的問題.【解答】依題意做出圖形，轉(zhuǎn)化為已知三角形的兩邊分別為，夾角為，利用余弦定理可得下午2時(shí)兩船之間的距離為（n mile） 3.【解答】【提升】【較難】【綜合應(yīng)用問題】【思路】首先在中利用正弦定理求出BD的長度，再在中利用正弦定理求出AD,AB，然后求出船從開始到所需要的時(shí)間.【解答】在中，3060BCA20 min（n mile），根據(jù)正弦定理，在中，根據(jù)正弦定理，就是，（n mile）(n mile)如果這一切正常，此船從開始到所需要的時(shí)間為：t=（min）即約小時(shí)26分59秒所以此船約在11時(shí)27分到達(dá)島【反思

14、】在解決有關(guān)解三角形的實(shí)際問題由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，往往需要考慮解幾個(gè)相關(guān)的三角形問題最終才能夠解決，本小題需要先后解和，注意認(rèn)真分析題意，準(zhǔn)確選擇要解的三角形.4.【解答】【鞏固】【中檔】【解三角形】【思路】根據(jù)所給條件，由兩個(gè)俯角可知和的內(nèi)角的大小，在中可求出AP的長度，再在中利用正弦定理可求出PQ的大小.A8000m27PQB【解答】如圖所示，在中，在中，由正弦定理得【反思】本題借助于直角三角形，求出斜邊的長，再由正弦定理求出兩點(diǎn)間的距離。5.【解答】【基礎(chǔ)】【容易】【解三角形】【思路】利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，又知其對(duì)邊AB的長度，求三角形的另外兩邊的長度，只需要利用正弦定理即

15、可求出BC,AC的大小，這樣BC+AC-AB的值就是飛機(jī)多飛行的距離.【解答】在中，km，A700km21BC根據(jù)正弦定理，（km），所以路程比原來遠(yuǎn)了約km 【反思】準(zhǔn)確理解并利用好兩個(gè)角度時(shí)解決好本題的關(guān)鍵，注意所給的兩個(gè)角度都是指與原來的飛行方向所成的角.【補(bǔ)充作業(yè)】1.【選擇】【基礎(chǔ)】【容易】【測量術(shù)語】從房頂A看地面B處的俯角為,從B看A的仰角為，則下列關(guān)系一定正確的是（ ） 【思路】 根據(jù)俯角和仰角的定義，從A處A看B處的俯角等于從B處看A處的仰角，從而?！窘獯稹坑筛┙呛脱鼋堑亩x，知，故答案為C。【反思】在利用正余弦定理求解三角形的有關(guān)實(shí)際問題時(shí)，正確理解有關(guān)的術(shù)語是非常重要的，

16、一般可以結(jié)合圖示進(jìn)行理解和記憶。2.【選擇】【鞏固】【中檔】【測量距離】某人向正東方向走了xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值為（）A2 3 或 3 B2 3 C 3 D3 【思路】作出圖象，三點(diǎn)之間正好組成了一個(gè)知兩邊與一角的三角形，由余弦定理建立關(guān)于x的方程即可求得x的值【解答】由題意,作出示意圖,由余弦定理列出關(guān)于x的方程,解方程即可.解法一:如圖,由題意可知,AB=x，AC=，BC=3，ABC=30°，由余弦定理,知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosABC.3=x2+9-2×3x

17、cos30°.整理,得x2-x+6=0，解得x=或x=解法二:先求A,由正弦定理,得sinA=.BCAC，AB，B=30°.A有兩解,即A=60°或120°.當(dāng)A=60°時(shí),ACB=90°，x=.當(dāng)A=120°時(shí),ACB=30°，x=AC=.答案:或【反思】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵是依據(jù)題意從應(yīng)用題中抽象出三角形根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的定理建立方程求解3.【選擇】【基礎(chǔ)】【中檔】【測量距離】已知兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°方向，燈塔B在觀測站C的南偏東40&#

18、176;方向，則燈塔A與B的距離為()Aa km B.a km C.a km D2a km【思路】準(zhǔn)確做出圖形，標(biāo)出相應(yīng)方向角和距離，利用正弦定理解出長度即可。【解答】如圖所示，由題知ACB180°20°40°120°，又CACBa km，CABB30°.在ABC中，由正弦定理，得AB2a·a(km)即燈塔A與B的距離為a km.故選B.【反思】利用圖形找到ACB180°20°40°120°是解決本題的突破口，當(dāng)然本題也可以通過余弦定理進(jìn)行求解。4.【填空】【基礎(chǔ)】【容易】【測量距離】如圖，A、B兩點(diǎn)間隔有一小山，現(xiàn)選定能直接到達(dá)點(diǎn)A、B的C點(diǎn)，并測得AC60 m，BC160 m，ACB60°，則A、B兩點(diǎn)間的距離為_m.【思路】由題目條件知三