微分方程(數(shù)學(xué)競(jìng)賽部分)

1、第十二章 微分方程（數(shù)學(xué)競(jìng)賽部分）1若，求解 由得，故，2設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且滿(mǎn)足方程，且，求函數(shù)解 由已知得，上式對(duì)求導(dǎo)，得 ，即 ，是一階線(xiàn)性微分方程，所以，將代入，有，故3求滿(mǎn)足的可微函數(shù)解 ，原式可化為 ，上式對(duì)x求導(dǎo)，得，即 (1)式對(duì)x求導(dǎo)，得 (2)式對(duì)x求導(dǎo)，得 ，1 / 7于是，該微分方程通解為由(1), (2) ，可得，故4設(shè)在，求解 由已知，得。 ，又5設(shè)是二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)特解，求解1 將代入方程有，比較等式兩端同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)，可得解得，所以解2 由二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)可知：，是常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的兩個(gè)特解，是微分方程的特征根。所以特征方程為，即，故，

2、。又是非齊次線(xiàn)性微分方程的一個(gè)特解，代入方程有，故，所以6。解 所以7設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是的反函數(shù)。（1）試將所滿(mǎn)足的微分方程變換為滿(mǎn)足的微分方程；(2) 求變換后的微分方程滿(mǎn)足初始條件的解。分析 將轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單，=，關(guān)鍵是應(yīng)注意：=然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可。解 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=代入原微分方程，得 * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)方程( * )的特解為：，代入方程( * )，求得，故，從而的通解為 由，得. 故，所求初值問(wèn)題的解為8利用代換將方程化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。解 由，即，可得，代入原方程，得 ( * )此方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的

3、通解為：，設(shè)方程( * )的特解為。代入方程( * )，求得，從而，方程的通解為 ，再將代入，得原方程通解為。9設(shè)函數(shù)可導(dǎo)且，二元函數(shù)滿(mǎn)足，求。解 令，則，。代入，整理得，是可分離變量微分原方程。其通解為，再由得，故。10設(shè)函數(shù)方程，求。解 微分方程的通解為，由得。于是 .11(容器側(cè)壁的形狀問(wèn)題)一容器的側(cè)面是由曲線(xiàn)繞鉛直中心軸y軸旋轉(zhuǎn)而成, 其中在 連續(xù), 容器底面(過(guò)x軸的水平截面)為半徑R=1的圓(即f (0)=1). 當(dāng)勻速地向容器內(nèi)注水時(shí), 若液面高度h的升高速度與(2V+)成反比(這里V表示當(dāng)時(shí)容器內(nèi)水的體積) ,求容器側(cè)壁的軸截線(xiàn).解 設(shè)在時(shí)刻t, 容器內(nèi)水的液面高度為h, 而水的體積為V, 則有.于是有. 根據(jù)題意, , 代如上式, 可得 化簡(jiǎn)得 . 由 f (0)=1 可得 , 上式兩端同時(shí)對(duì)h求導(dǎo)得 , 即 .求出滿(mǎn)足f (0)=1 的解為, 即容器側(cè)壁的軸截線(xiàn)為.