人工腎數(shù)學(xué)模型

1、人工腎模型摘要本文研究單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量是多少.我們通過探討發(fā)現(xiàn)，在人工腎與血液之間能發(fā)生滲透的這一段長L的距離中，其不同點(diǎn)的廢物濃度都是不相同的，因此若考慮全段，此模型將變的很復(fù)雜而難解。所以我們只考慮在區(qū)間上一小段，在這段中我們可以知道血液中廢物的減少量=人工腎中廢物增加量。再通過微積分的運(yùn)算我們可以得出單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量是多少= m=關(guān)鍵詞： 人工腎 清除率 濃度 微積分一、問題的重述人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通，如下圖，人工腎中通以某種液體，其流動方向與血液在血管中的流動方向相反，血液中的廢物透過薄膜進(jìn)入人工腎。設(shè)血

2、液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。人工腎總長為。我們建立單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型。血管人工腎薄膜血液流動方向液體流動方向二、問題的分析我們都知道腎臟是用來排尿液的，在這個模型中廢物相當(dāng)于尿液，血液中某物質(zhì)的濃度是廢物的濃度，其它也如此。為了求單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量，我們不得不從L長的人工腎和血管中截取其中及其微小一小段，忽略其時間 即 我們查找大量資料得到以下知識點(diǎn)：腎臟清除率是指某一種物質(zhì)在一定時間內(nèi)(通常以1 min為單位)由尿液排出的量相當(dāng)于多少毫升血漿含該物質(zhì)的量。以公式表示，即。其中C為清除率(mlmin)；V為每分

3、鐘排尿量(ml)；U和P分別為測定的尿液和血漿的物質(zhì)濃度。某物質(zhì)每分鐘的清除量血漿中該物質(zhì)的濃度(P)×每分鐘的腎臟清除率(C)。某物質(zhì)每分鐘清除量每分鐘的尿中排出量尿中該物質(zhì)的濃度(U)×每分鐘尿量，亦即假設(shè)在L段中任意取某點(diǎn)X，及廢物開始從此點(diǎn)滲透直到點(diǎn)X+處，及這段中能發(fā)生滲透作用，其他地方先不予考慮，在此段中從血液中滲透過去的廢物與人工腎帶走的廢物量是相等的，從而可以得出在單位時間有關(guān)廢物的相應(yīng)等式，再將其進(jìn)行微分，即可得出人工腎在整段L時，人工腎在單位時間內(nèi)帶走的廢物量。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)人工腎及血管的形狀、大小在整個血液透析過程中不會發(fā)生變化。2、假設(shè)血管和

4、人工腎中的液體有廢物滲出和滲入，均視為溶液；3、假設(shè)流入血管和人工腎中的液體的濃度始保持不變；4、整個血液液透析過程中不會發(fā)生反滲透；5、血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)；6、廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比； 四、符號及其說明L -人工腎總長；P-血管中廢物的濃度；K-血管中血液的流速；U-人工腎中廢物的濃度；K-人工腎中血液的流速；廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比的比例系數(shù)；Q - 單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物的數(shù)量五、模型的建立及求解血管人工腎薄膜血液流動方向液體流動方向根據(jù)血管中廢物減少量等于人工腎中廢增加量 在L長的人工腎和血管中：我們在區(qū)間上任意

5、選取一小段區(qū)間 則：血管中廢物通過X處時廢物量通過X+X處時廢物量人工腎中廢物通過X處時廢物量通過X+處時廢物量在X過程中廢物濃度的變化為： 以血管為對象：= 以人工腎為對象： = 初始時血管中廢物濃度為P 即 當(dāng)人工腎中廢物運(yùn)行至L長度時，廢物量為0 即我們由可以得出：= P0 m=在區(qū)域0 L上，單位時間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量為：= 六、模型的檢驗(yàn)由某物質(zhì)每分鐘的清除量血漿中該物質(zhì)的濃度(P)×每分鐘的腎臟清除率(C)我們可以得出： C= 在我們查找的資料中得知： 將式代入 得到的結(jié)果符合查找的公式確定我們這個模型是正確的。測定腎清除率的意義 測定腎清除率不僅可了解腎臟的功

6、能狀態(tài)，還可以測定腎小球?yàn)V過率、腎血流量和推測腎小管的轉(zhuǎn)運(yùn)功七、模型的進(jìn)一步研究由于人的血液是不可壓縮的黏滯流體，所以血液在血管中心和邊緣的流速是不同的。根據(jù)牛頓黏滯性定律和力平衡原理建立血液流動微分方程。L取長度為L的血管，左端血壓為P ,右段血壓為P(P>P),血管半徑為R,由于流速穩(wěn)定，所以由牛頓黏滯性定律和力平衡原理，推動半徑為r， 推進(jìn)力有F= （1） 阻力有 F=- （2）F=F 即=-對兩邊積分，當(dāng)r=o處流速最大 r=R處流速為0 （3）將血管中的圓截面分成多個圓環(huán)，圓環(huán)厚度為dr,1秒內(nèi)通過該圓環(huán)的流量為,所以，一秒內(nèi)通過半徑為R圓截面的流量為Q= (4) （3）和（4

7、）聯(lián)立，得：八、模型的評價優(yōu)點(diǎn)：本模型設(shè)計簡單，針對醫(yī)學(xué)方面的這類問題具有很大的實(shí)用性，若必要時可根據(jù)此模型設(shè)定相應(yīng)的方案，從而也可以進(jìn)一步對此模型在實(shí)踐中檢驗(yàn)，進(jìn)一步的完善優(yōu)化。因而也可以推廣到其他方面的問題，如：香煙過濾嘴的問題，藥物代謝的問題，飲酒后血液中酒精含量的變化等等。缺點(diǎn)：本模型在人工腎及血管的形狀、大小在整個血液透析過程中是不會發(fā)生變化的而在實(shí)際中往往很復(fù)雜；血壓及血管半徑都需要去測量數(shù)據(jù)，不可避免的會產(chǎn)生誤差，造成結(jié)果的偏離；整個滲透作用當(dāng)做是理想狀態(tài)(可能會發(fā)生反滲透的情況)，所以具有一定的局限性。若必要時可根據(jù)此模型設(shè)定相應(yīng)的方案，從而也可以進(jìn)一步對此模型在實(shí)踐中檢驗(yàn)，進(jìn)一步的完善優(yōu)化。九、