第二十章向量自回歸和誤差修正模型

1、第二十章 向量自回歸和誤差修正模型聯(lián)立方程組的結構性方法是用經(jīng)濟理論來建立變量之間關系的模型。但是，經(jīng)濟理論通常并不足以對變量之間的動態(tài)聯(lián)系提供一個嚴密的說明。并且，內生變量既可以出現(xiàn)在等式的左端又可以出現(xiàn)在等式的右端使得估計和推斷更加復雜。為解決這些問題產(chǎn)生了一種用非結構性方法來建立各個變量之間關系的模型。就是這一章講述的向量自回歸模型（Vector Auto regression, VAR）以及向量誤差修正模型（Vector Error Correction, VEC）的估計與分析。同時給出一些檢驗幾個非穩(wěn)定變量之間協(xié)整關系的工具。§ 向量自回歸理論向量自回歸（VAR）常用于預測

2、相互聯(lián)系的時間序列系統(tǒng)以及分析隨機擾動對變量系統(tǒng)的動態(tài)影響。VAR方法通過把系統(tǒng)中每一個內生變量作為系統(tǒng)中所有內生變量的滯后值的函數(shù)來構造模型，從而回避了結構化模型的需要。一個VAR(p 模型的數(shù)學形式是：這里是一個維的內生變量，是一個維的外生變量。和是要被估計的系數(shù)矩陣。是擾動向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關及不與等式右邊的變量相關。作為VAR的一個例子，假設工業(yè)產(chǎn)量（IP）和貨幣供應量（M1）聯(lián)合地由一個雙變量的VAR模型決定，并且讓常數(shù)為唯一的外生變量。內生變量滯后二階的VAR(2模型是：其中，是要被估計的參數(shù)。也可表示成：§ 估計VAR模型及估計輸出選擇

3、Quick/Estimate VAR或者在命令窗口中鍵入var，并在出現(xiàn)對話框內添入適當?shù)男畔ⅲ?選擇說明類型：Unrestricted VAR（無約束向量自回歸）或者Vector Error Correction（向量誤差修正）2設置樣本區(qū)間。3在適當編輯框中輸入滯后信息。這一信息應被成對輸入：每一對數(shù)字描述一個滯后區(qū)間。4在相應的編輯欄中輸入適當?shù)膬壬巴馍兞俊?VAR視圖和過程在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜單下將提供一系列的診斷視圖。（一）Lag Structure(滯后結構1AR Roots Table/Graph(AR

4、根的圖表2Pairwise Granger Causality Tests(Granger 因果檢驗Granger 因果檢驗主要是用來檢驗一個內生變量是否可以作為外生變量對待。3Lag Exclusion Tests(滯后排除檢驗4Lag Length Criteria(滯后長度標準（二）Residual Tests(殘差檢驗1相關圖顯示VAR在指定的滯后數(shù)的條件下的被估計的殘差交叉相關圖（樣本自相關）。交叉相關圖能以三種形式顯示：（1）Tabulate by Variable；（2）Tabulate by Lag；（3）Graph。2自相關檢驗計算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關的多變量Q統(tǒng)計

5、量，同時計算出Q統(tǒng)計量和調整后的Q統(tǒng)計量。在原假設是滯后期沒有序列相關的條件下，兩個統(tǒng)計量都近似的服從自由度為的統(tǒng)計量，其中p為滯后階數(shù)。3自相關LM檢驗：計算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關的多變量LM檢驗4正態(tài)檢驗：計算J-B殘差正態(tài)檢驗的多變量范圍。5 White 異方差檢驗這些檢驗是針對系統(tǒng)方程的Whites檢驗范圍，這個回歸檢驗是通過殘差序列每一個回歸量交叉項乘積的回歸來實現(xiàn)的，并檢驗回歸的顯著性。No Cross Terms選項僅僅用于原始回歸量的水平和平方檢驗。With Cross Terms選項包括被檢驗方程中原始回歸變量所有的非多余的交叉乘積。§20.4 脈沖響應函數(shù)

6、（一）脈沖響應函數(shù)方法對第個變量的沖擊不僅直接影響第個變量，并且通過VAR模型的動態(tài)結構傳導給所有的其它內生變量。脈沖響應函數(shù)刻畫的是在一個擾動項上加上一次性的一個沖擊，對內生變量的當前值和未來值所帶來的影響。設VAR(p模型為 這里是一個k維內生變量向量，是方差為的擾動向量。的VMA(的表達式 假如VAR(p可逆，的VMA的系數(shù)可以由VAR的系數(shù)得到。設，q =1 , 2 , 3 ,. ，則y的第i個變量可以寫成： 其中k是變量個數(shù)。下面僅考慮兩個變量(k=2的情形：現(xiàn)在假定在基期給一個單位的脈沖，即： 1 2 0 1 2 3 4 5 t由的脈沖引起的的響應函數(shù)：因此，一般地，由對的脈沖引起

7、的的響應函數(shù)可以求出如下： （二）由VAR產(chǎn)生脈沖響應函數(shù)從VAR工具欄中選擇Impulse Response，得到的對話框，有兩個菜單：1Display菜單提供下列選項：Display Format :選擇以圖或表來顯示結果。Display Information :輸入希望產(chǎn)生擾動的變量和希望觀察其脈沖響應的變量。為了顯示累計的響應，需要選中Accumulate Response框。Response Standard Error：提供計算脈沖響應標準誤差的選項。2Impulse Definition菜單提供了轉換脈沖的選項：（1）Residual-One Unit 設置一單位殘差的沖擊。（

8、2）Residual-One Std.Dev. 設置殘差的一單位標準偏差的沖擊。（3）Cholesky 用正交于脈沖的Cholesky 因子的殘差協(xié)方差矩陣的逆。：在估計的殘差協(xié)方差矩陣除以Cholesky 因子時進行小樣本的自由度修正。：在估計的殘差協(xié)方差矩陣除以Cholesky 因子時不進行小樣本的自由度修正。（4）Generalized Impluses:描述Pesaran和Shin(1998構建的不依賴于VAR中等式的次序的正交的殘差矩陣。（5）Structural Decomposition:用結構因子分解矩陣估計的正交轉換矩陣。6User Specified:在這個選項中允許自己定

9、義沖擊。 方差分解脈沖響應函數(shù)描述的是VAR中的一個內生變量的沖擊給其他內生變量所帶來的影響。而方差分解是把內生變量中的變化分解為對VAR的分量沖擊。因此，方差分解給出對VAR中的變量產(chǎn)生影響的每個隨機擾動的相對重要性的信息。一、 方差分解的基本思路(20.12式中各括號（）中的內容是第j個擾動項從無限過去到現(xiàn)在時點對第i個變量影響的總和。求其方差，因為無序列相關，故 j = 1 ,2 ,.,k （20.17）這是把第j個擾動項對第i個變量的從無限過去到現(xiàn)在時點的影響，用方差加以評價的結果。此處還假定擾動項向量的協(xié)方差矩陣是對角矩陣。于是的方差是上述方差的k項簡單和 （20.19）的方差可以分

10、解成k種不相關的影響，因此為了測定各個擾動相對的方差有多大程度的貢獻，定義了RVC（Relative Variance Contribution）（相對方差貢獻率）,根據(jù)第j個變量基于沖擊的方差對的方差的相對貢獻度來作為觀測第j個變量對第i個變量影響的尺度。實際上，不可能用直到s=的來評價，只需有限的s項。 i ,j = 1 , 2,k （20.22）如果大時，意味著第j個變量對第i個變量的影響大，相反地，小時，可以認為第j個變量對第i個變量的影響小。二、如何由VAR計算方差分解從VAR的工具欄中選View/Variance decomposition項。應當提供和上面的脈沖響應函數(shù)一樣的信息

11、。§20.6 VAR過程在這里僅就對VAR是唯一的過程進行討論。Make Systerm：產(chǎn)生一個包括等同于VAR詳細定義的對象。By Variable選項產(chǎn)生一個系統(tǒng)，其詳細的說明和系數(shù)的顯示是以變量的次序來顯示。By Lag 產(chǎn)生一個以滯后數(shù)的次序來顯示其詳細的說明和系數(shù)的系統(tǒng)。§ 向量誤差修正及協(xié)整理論Engle和Granger（1987a）指出兩個或多個非平穩(wěn)時間序列的線性組合可能是平穩(wěn)的。假如這樣一種平穩(wěn)的或的線性組合存在，這些非平穩(wěn)（有單位根）時間序列之間被認為是具有協(xié)整關系的。這種平穩(wěn)的線性組合被稱為協(xié)整方程且可被解釋為變量之間的長期均衡關系。向量誤差修正模型

12、（VEC）是一個有約束的VAR模型，并在解釋變量中含有協(xié)整約束，因此它適用于已知有協(xié)整關系的非平穩(wěn)序列。當有一個大范圍的短期動態(tài)波動時，VEC表達式會限制內生變量的長期行為收斂于它們的協(xié)整關系。因為一系列的部分短期調整可以修正長期均衡的偏離，所以協(xié)整項被稱為是誤差修正項。一個簡單的例子：考慮一個兩變量的協(xié)整方程并且沒有滯后的差分項。協(xié)整方程是：且VEC是：在這個簡單的模型中，等式右端唯一的變量是誤差修正項。在長期均衡中，這一項為0。然而，如果在上一期偏離了長期均衡，則誤差修正項非零并且每個變量會進行調整以部分恢復這種均衡關系。系數(shù)代表調整速度。如果兩個內生變量和不含趨勢項并且協(xié)整方程有截距，則

13、VEC有如下形式：另一個VEC表達式假設在序列中有線性趨勢并且在協(xié)整方程中有常數(shù)，因此它的形式如下：相似地，協(xié)整方程中可能有趨勢項，但在兩個VEC方程中沒有趨勢項。最后，如果在每個VEC等式的括號外存在線性趨勢項，那么序列中便存在著隱含的二次趨勢項。§20.8 協(xié)整檢驗協(xié)整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，如下面將要介紹的Johansen協(xié)整檢驗。另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如ADF檢驗。（一）ADF檢驗考慮k個變量的時間序列，我們可以建立三種回歸方程： （20.28） （20.29） （20.30）其中為擾動項。在EViews中執(zhí)行ADF協(xié)整檢驗，須

14、先計算殘差，對進行單位根檢驗，從而確定之間是否有協(xié)整關系。（二）Johansen協(xié)整檢驗協(xié)整檢驗的目的是決定一組非穩(wěn)定序列是否是協(xié)整的?？紤]階數(shù)為p的VAR模型： （20.31）其中，是一個含有非平穩(wěn)的I (1變量的維向量；是一個確定的維的向量，是擾動向量。我們可把VAR重寫為以下形式：其中： ， Granger定理指出：如果系數(shù)矩陣的秩，那么存在階矩陣和，它們的秩都是，使得，并且是穩(wěn)定的。其中是協(xié)整關系的數(shù)量（協(xié)整秩）并且的每列是協(xié)整向量。正如下面解釋，中的元素是向量誤差修正模型VEC中的調整參數(shù)。Johansen方法是在無約束VAR的形式下估計矩陣，然后求出，從而檢驗出協(xié)整秩，（秩（），得

15、出協(xié)整向量。為了完成協(xié)整檢驗，從VAR或組的工具欄中選擇View/Cointegration Test即可。EViews對Johansen考慮的下面五種可能的決定趨勢形式提供了檢驗（1）序列y沒有確定趨勢，協(xié)整方程沒有截距：（2）序列y沒有確定趨勢，協(xié)整方程有截距：（3）序列y有線性趨勢，協(xié)整方程僅有截距：（4）序列y和協(xié)整方程都有線性趨勢：（5）序列y有二次趨勢且協(xié)整方程有線性趨勢：Johansen協(xié)整檢驗結果的解釋：表中第一部分的報告結果檢驗了協(xié)整關系的數(shù)量，并以兩種檢驗統(tǒng)計量的形式顯示：第一種檢驗結果是所謂的跡統(tǒng)計量，列在第一個表格中：第二種檢驗結果是最大特征值統(tǒng)計量；列在第二個表格中。

16、對于每一個檢驗結果，第一列顯示了在原假設成立條件下的協(xié)整關系數(shù)；第二列是（20.32）式中矩陣按由大到小排序的特征值；第三列是跡檢驗統(tǒng)計量或最大特征值統(tǒng)計量；最后兩列分別是在5%和1%水平下的臨界值。在跡統(tǒng)計量的輸出中檢驗原假設是有r個協(xié)整關系，而不是k個協(xié)整關系，其中k是內生變量的個數(shù)，r=0 , 1 , , k-1。對原假設是有r個協(xié)整關系的跡統(tǒng)計量是按如下的方法計算的： 其中是（20.32）式中矩陣的第i個最大特征值，在輸出表的第二列顯示。最大特征值統(tǒng)計量的檢驗結果表，它所檢驗的原假設是有r個協(xié)整關系，反之，有r+1個協(xié)整關系。統(tǒng)計量是按下面的方法計算的： §20.10 向量誤差修正模型(VEC的估計VEC模型是一種受約束的VAR模型，是用已知協(xié)整的非穩(wěn)定序列來定義的。（一） 如何估計VEC模型為建立一個VEC，擊VAR工具欄中的Estimate，然后從VAR/VEC Specification中選擇Vector Error Correction項。在VAR/VEC Specification欄中，應該提供與無約束的VAR相同的信息。VEC