積分中值(函數(shù)平均值)

1、第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用【授課時數(shù)授課時數(shù)】【學習目標【學習目標】 1、會求變力沿直線所作的功、液體靜壓力； 2、會用定積分求連續(xù)函數(shù)的平均值?！局?、難點【重、難點】 重點重點：用元素法求變力沿直線所作的功和液體的靜壓力，由定積分的元素法引出。 難點難點：正確使用定積分的元素法求變力沿直線所作的功和液體的靜壓力，由實例講解方法。 總時數(shù)：2 學時。第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分

2、在物理上的應用定積分在物理上的應用用元素法求一個量的用元素法求一個量的一般步驟一般步驟：這種方法通常叫做元素法元素法（或微元法或微元法）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用解

3、解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,ba積分區(qū)間是 drr 得功元素得功元素,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq若要考慮將單位電荷移到無窮遠處，則所須功為若要考慮將單位電荷移到無窮遠處，則所須功為drrkqwa 2 arkq1.akq 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停解解建立坐標系如圖，建立坐標系如圖，xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5

4、取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用xoxdxx 5這一薄層水的質量為這一薄層水的質量為dx23功元素為功元素為,32dxgxdwxdxw4501028 . 8502421082. 8x610462. 3(J)即即dxxdw233108 . 9xdxdw41082. 8第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用解解 例例3 3 使

5、宇宙飛船脫離地球引力的速度叫第二宇宙使宇宙飛船脫離地球引力的速度叫第二宇宙速度速度，計算第二宇宙速度計算第二宇宙速度.orRHMm與例與例1類似，克服地球引力把飛船從地面類似，克服地球引力把飛船從地面R處發(fā)處發(fā)發(fā)射到距地心發(fā)射到距地心H處需作的功處需作的功 drrGMmWHRH2HRGMm11使飛船脫離地球引力場，即相當于使飛船脫離地球引力場，即相當于把飛船發(fā)射到無窮遠處，所需作功把飛船發(fā)射到無窮遠處，所需作功 HRGMmWH11limRGMm第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應

6、用orRHMm在地球表面地球對物體的引力就是重力在地球表面地球對物體的引力就是重力 發(fā)射宇宙飛船所作的功等于飛船飛行時的動能，有發(fā)射宇宙飛船所作的功等于飛船飛行時的動能，有 這就是第二宇宙速度這就是第二宇宙速度 ,2RGMmmg 則有,RGMmmgR 因而.mgRW 221mvmgR gRv231063718 . 92)/(2 .11skm即第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十

7、九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用解解 在一端側面建立坐標系如圖，在一端側面建立坐標系如圖，xo取取x為積分變量，為積分變量，, 0R積分區(qū)間是xdxx 小小矩矩形形片片的的面面積積為為.222dxxR xp第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用dxxRxdF222dxxRxFR2202)(22022xRdxRR RxR032232 .323R 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積

8、分在物理上的應用定積分在物理上的應用解解 建立坐標系如圖所示，建立坐標系如圖所示，a2a2a直線直線AB的方程的方程,323020aaaxayxoy)0 ,3( aA)2 ,2(aaB即即xay26 ，x為積分變量以.3 ,2aa積分區(qū)間是第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用面積元素面積元素,)26(dxxadAdxxaxdF)26(dxxaxFaa32)26(aaxax3232323a2a2axoy)0 ,3( aA)2 ,2(aaB,3 ,2dxxxaa上任取小區(qū)間在壓力元

9、素壓力元素薄板一側所受的壓力薄板一側所受的壓力.373a第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用 實例：實例：用某班所有學生身高的算術平均值來描述這用某班所有學生身高的算術平均值來描述這個班學生身高的概貌個班學生身高的概貌.nyyyyn 21算術平均值公式算術平均值公式只適用于有限個數(shù)值只適用于有限個數(shù)值 問題：問題：求氣溫在一晝夜間的平均溫度（氣溫的變求氣溫在一晝夜間的平均溫度（氣溫的變化是連續(xù)的）化是連續(xù)的）.入手點：入手點：連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的平均值上的平均值

10、.)(xf,ba討論方法：討論方法：分割、求和、取極限分割、求和、取極限.第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用（1）分割：）分割：把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每個小區(qū)間的長度每個小區(qū)間的長度;nabx 設各分點處的函數(shù)值為設各分點處的函數(shù)值為nyyyy,210函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的平均值近似為上的平均值近似為)(xf,ba;1210nyyyyn 每個小區(qū)間的長度趨于零每個小區(qū)間的長度趨于零.（2）求和：）求和：（3）取極限：）取極限：

11、第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用,lim1210nyyyyynn 函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的平均值平均值為為)(xf,banababyyyyynn1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的公式公式區(qū)間長度區(qū)間長度yab)( )()( fab 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積

12、分在物理上的應用性質性質7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，幾何解釋：幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。)(xfy 第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用解解dxxxy)332(14141241233233231xx

13、x.219第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用解解設電阻為，設電阻為，R則電路中的電壓為則電路中的電壓為iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm一個周期區(qū)間一個周期區(qū)間,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm2022sin12第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用tdtRIpm2022sin12)(sin22022ttdRIm )()2co

14、s1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm ：純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電：純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流、電壓的峰值的乘積的二分之一流、電壓的峰值的乘積的二分之一第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、水壓力思想求變力作功、水壓力和連續(xù)函數(shù)平均值等物理問題和連續(xù)函數(shù)平均值等物理問題（注意熟悉相關的物理知識）（注意熟悉相關的物理知識）第三章第三章 一元函數(shù)積分學一元函數(shù)積分學四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題十九課題十九 定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用練練 習習 題題3732727akc（其（其為為中中 k