離散數(shù)學 函數(shù)

1、5-1 5-1 函數(shù)的基本概念函數(shù)的基本概念一一. .概念概念定義定義：X與與Y集合，集合，f是從是從X到到Y的關系，如果的關系，如果任何任何xX，都存在都存在唯一唯一yY，使得，使得f,則稱則稱f是是從從X到到Y的函數(shù)的函數(shù)，(變換、映射變換、映射)，記作，記作f:X Y, 或或X Y. 如果如果f:XX是函數(shù)是函數(shù), 也稱也稱f是是X上的函數(shù)上的函數(shù).下面給出下面給出A=1,2,3上幾個關系，哪些是上幾個關系，哪些是A到到A的函數(shù)？的函數(shù)？1。2。1。2。1。2。1。2。3333R2R1R3R4f下面下面哪些是哪些是R到到R的函數(shù)？的函數(shù)？ f=|x,yRy= g=|x,yRx2+y2=4

2、 h=|x,yRy= x2 r =|x,yRy=lgx v =|x,yRy= _ 1xx2.定義域、值域和陪域定義域、值域和陪域(共域共域)設設f:XY, f的的定義域定義域(domain)，記作，記作dom f，或或Df 即即 Df =dom f=x|xX y(yY f) =X f的的值域值域(range) ：記作記作ran f， 或或Rf 即或即或f(X) Rf =ran f=f(X)=y| yY x(xX f) f的的陪域陪域(codomain):即是即是Y(稱之為稱之為f的陪域的陪域)。二二. . 函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法 有有 枚舉法、枚舉法、關系關系圖、關系矩陣、謂詞描述法。圖

3、、關系矩陣、謂詞描述法。 三三. .從從X X到到Y Y的的函數(shù)的集合函數(shù)的集合Y YX X： YX =f| f:XY YX ：它是由：它是由所有所有的從的從X到到Y函數(shù)函數(shù)構成的集合構成的集合例例 X=1,2,3 Y=a,b 求求所有所有從從X到到Y函數(shù)函數(shù)結論：結論：若若X X、Y Y是有限集合，且是有限集合，且|X|=m|X|=m，|Y|=n|Y|=n，則，則| |Y YX X|=|Y|=|Y|X|X|=n=nm m。從從X到到Y的關系的關系= |P(X Y)|= Y)|= 2nm.規(guī)定：從規(guī)定：從 到到 的函數(shù)只有的函數(shù)只有f=f= 。從從 到到Y Y的函數(shù)只有的函數(shù)只有f=f= 。若

4、若XX ，則從則從X X到到 的函數(shù)不存在的函數(shù)不存在。四四. . 特殊函數(shù)特殊函數(shù) 1. 常值函數(shù)常值函數(shù)：函數(shù)：函數(shù)f:XY ，如果，如果 y0Y, 使得對使得對 xX, 有有f(x)=y0 , 即即ran f=y0 ,稱稱f是常值函數(shù)。是常值函數(shù)。2.恒等函數(shù)恒等函數(shù)：恒等關系：恒等關系IX是是X到到X函數(shù)，即函數(shù)，即IX:XX,稱之為稱之為恒等函數(shù)。顯然對于恒等函數(shù)。顯然對于 xX，有，有 IX(x)=x 。五五 . .兩個函數(shù)相等兩個函數(shù)相等 設有兩個函數(shù)設有兩個函數(shù)f:AB g:AB, f=g 當且僅當當且僅當 對任何對任何xA，有，有f(x)=g(x)。 六六. . 函數(shù)的類型函

5、數(shù)的類型 例子：例子：X1 Y。123ab。csX Y。123ab4。 。cgX1 Y1。123abd。chX Y。123ab4。 。cfRf=YRs=YRg YRh Y1一對一一對一一對一一對一函數(shù)的類型函數(shù)的類型1.滿射的滿射的：f:XY是函數(shù)，如果是函數(shù)，如果 ran f=Y,則稱則稱f 是是滿射的滿射的。2.入射的入射的：f:XY是函數(shù)，如果對于任何是函數(shù)，如果對于任何x1,x2X, 如果如果 x1x2 有有f(x1)f(x2),(或者若或者若f(x1)=f(x2),則則x1=x2),則稱則稱f 是是入射的入射的，也稱，也稱f 是是單射的單射的，也稱，也稱f 是是一對一的一對一的。3.

6、雙射的雙射的：f:XY是函數(shù)，如果是函數(shù)，如果 f 既是滿射的，又是既是滿射的，又是入射的，則稱入射的，則稱 f 是是雙射的雙射的，也稱，也稱f 是是一一對應的一一對應的。特別地：特別地：Y是單射；是單射； ：是雙射。是雙射。 思考題思考題：如果：如果 f:XX是入射的函數(shù)，則必是滿射的，所是入射的函數(shù)，則必是滿射的，所以以 f 也是雙射的。此命題也是雙射的。此命題在什么條件下在什么條件下成立嗎？成立嗎？5-2 5-2 函數(shù)的復合函數(shù)的復合 關系的復合：關系的復合： 設設R是從是從X到到Y的關系，的關系，S是從是從Y到到Z的關系，的關系，則則R和和S的復合關系記作的復合關系記作R S 。定義為

7、：。定義為： R S =|x X z Zy(y Y R S)函數(shù)的復合函數(shù)的復合v定義：設定義：設 f:XY, g:WZ是函數(shù)是函數(shù),若若f(X) W,則則 g f =|x X z Zy(y Y f g)稱為稱為g在在f的的左邊可左邊可復合復合。定理：兩個函數(shù)的復合是一個函數(shù)。定理：兩個函數(shù)的復合是一個函數(shù)。v證明：設證明：設 f:XY, g:WZ是函數(shù)是函數(shù),且且f(X) W。v（1）對任意的）對任意的x X，因為，因為f是函數(shù)，故存在唯一是函數(shù)，故存在唯一的序偶的序偶，使得，使得y=f(x)成立成立,而而f(x) f(X) W,又因為又因為g是函數(shù)，故存在唯一的序偶是函數(shù)，故存在唯一的序偶

8、，使，使得得z=g(y)成立，根據復合定義，成立，根據復合定義， g f,即即dom g f=X.v（2）假設）假設 g f且且 g f，由復合定，由復合定v義義存在存在y1 Y y2 Y，使得，使得v f g f g,由由于于f、g為函數(shù)，所以有，為函數(shù)，所以有，y1=y2，因而，因而z1=z2。由（由（1）、（）、（2）得）得g f是是X到到Z的函數(shù)。的函數(shù)。函數(shù)的復合函數(shù)的復合一一. . 定義定義: f:XY, g:YZ是函數(shù)是函數(shù),則定義則定義 g f =|x X z Zy(y Y f g)則稱則稱 g f 為為f與與g的復合函數(shù)的復合函數(shù)(左復合左復合).結論結論: g f(x)=g

9、(f(x)二二. . 復合函數(shù)的計算復合函數(shù)的計算 計算方法同復合關系的計算計算方法同復合關系的計算. 例例 f:XY, g:YZX=1,2,3 Y=1,2,3,4, Z=1,2,3,4,5, f= ,g= , 則則gf用關系圖復合用關系圖復合:三三. .函數(shù)復合的性質函數(shù)復合的性質定理定理1（滿足可結合性）（滿足可結合性）。 f:XY, g:YZ, h:ZW 是函數(shù)是函數(shù),則則 (h g) f=h (g f)。3。2。1。3。2。1。4X Y Z。3。2。1。4。5。3。2。1。3。2。1。4。5X Zg ffg定理定理2. f:XY, g:YZ是兩個函數(shù)是兩個函數(shù), 則則 如果如果f和和g

10、是是 滿滿射的，則射的，則 g f 也是也是滿滿射的；射的； 如果如果f和和g是是入入射的，則射的，則 g f 也是也是入入射的；射的； 如果如果f和和g是是雙雙射的，則射的，則 g f 也是也是雙雙射的。射的。證明證明： 設設f和和g是是滿射的，因滿射的，因g f :XZ,任取任取zZ, 因因g:YZ是是滿射的，所以存在滿射的，所以存在yY,使得使得z=g(y), 又因又因f:XY是是滿射的，所以存在滿射的，所以存在xX,使得使得y=f(x), 于是有于是有z=g(y)=g(f(x)= g f (x), 所以所以 g f 是是滿射的。滿射的。 設設f和和g是是入射的，因入射的，因g f :X

11、Z,任取任取x1, x2X, x1x2，因因f:XY是是入射的，入射的，f(x1)f(x2) , 而而 f(x1) ,f(x2)Y，因因g:YZ是是入射的，入射的，g(f(x1)g(f(x2) 即即g f (x1) g f (x2)所以所以g f 也是入射的。也是入射的。 定理定理3 如果如果 g f 是是滿滿射的，則射的，則g是是 滿滿射的；射的；如果如果g f 是是入入射的，則射的，則 f 是是入入射的；射的； 如果如果 g f 是是雙雙射的，則射的，則f是是入入射的射的和和g是是 滿滿射的。射的。定理定理4 f:XY是函數(shù)是函數(shù), 則則 f IX= f 且且 IY f=f 。5-3 5-

12、3 逆函數(shù)逆函數(shù)R是是A到到B的關系，其逆關系的關系，其逆關系RC是是B到到A的的關系。關系。 RC=| R f:XY fC:YX, 是否是函數(shù)？是否是函數(shù)？。3。2。1。c。b。a。3。2。1。c。b。af:X YfC:Y X定理定理1 若若f是是XY的雙射，則的雙射，則fC是是YX的函數(shù)。的函數(shù)。v證明：證明：（1）對任意的）對任意的yY，由，由f是雙射，得是雙射，得f是滿是滿射，所以射，所以ran f=Y 故故 dom fC=ran f=Y （2）對任意的）對任意的yY，若存在，若存在x1X， x2X使使 fC 且且 fC 則則 f 且且 f 由于由于f是單射，有是單射，有x1=x2。

13、由（由（1）、（）、（2），）， fC是是YX的函數(shù)。的函數(shù)。逆函數(shù)的定義逆函數(shù)的定義v定義：設定義：設f是是XY的雙射函數(shù)，則稱的雙射函數(shù)，則稱fC：YX為為f的逆函的逆函數(shù)，并記數(shù)，并記f-1。v定理：定理： f-1是是YX的雙射函數(shù)。的雙射函數(shù)。v證明：由于證明：由于ran f-1=dom f=X， 所以，所以， f-1是滿射。是滿射。 對任意對任意xX，若存在，若存在y1, y2 Y,使得使得 f-1 且且 f-1 則則 f 且且 f，由于由于f是函數(shù)，所以是函數(shù)，所以y1= y2，即，即f-1是單射。是單射。因此，因此， f-1是雙射。是雙射。二二. .性質性質1.定理定理1 設設f

14、:XY是雙射的函數(shù)，則是雙射的函數(shù)，則(f-1)-1= f 。 2.定理定理2 設設f:XY是雙射的函數(shù)，則有是雙射的函數(shù)，則有 f-1 f= IX 且且 f f-1 = IY 。證明證明：先證先證明明定義域、陪域相等。定義域、陪域相等。 因為因為 f:XY是雙射的，是雙射的，f-1:YX也是雙射的也是雙射的，所以所以 f-1 f :XX , IX:XX可見可見f-1 f 與與IX 具有相同的定義域和陪域。具有相同的定義域和陪域。 再證再證它們的對應規(guī)律相同：它們的對應規(guī)律相同： xX，因，因f:XY， y Y, 使得使得 y=f(x),又又f 可逆，故可逆，故 f-1(y)=x，于是，于是

15、f-1 f (x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x= IX (x) 同理可證同理可證 f f-1 = IY 。 3.定理定理3 令令 f:XY, g:YX是兩個函數(shù)是兩個函數(shù), 如果如果g f= IX 且且 f g = IY ,則則 g= f-1 。證明證明：證證f和和g都可逆。因為都可逆。因為g f= IX ， IX是雙射的，是雙射的，由關系復合性質由關系復合性質3得，得， f是是入入射的射的和和g是是 滿滿射的。射的。同理由同理由 f g = IY，得，得g是是入入射的射的和和f 是是 滿滿射的。所射的。所以以f和和g都可逆。都可逆。 顯然顯然f-1和和g具有相同的定義域和陪域。具有相同的定義域和陪域。X Y。123ab。cf。123Xf-1。123X。123XIX證明它們