數(shù)列的極限教學(xué)設(shè)計

1、第三節(jié) 數(shù)列的極限 西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 汪媛媛引言：極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法-割圓術(shù), 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀）在莊子.天下篇一書中對“截丈問題”，有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想. 極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法. 本節(jié)將首先給出數(shù)列極限的定義.分布圖示 極限概念的

2、引入 數(shù)列的定義 數(shù)列的極限 數(shù)列極限的嚴格定義 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 收斂數(shù)列的有界性 極限的唯一性 例9 子數(shù)列的收斂性 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題 1-3 返回教學(xué)目的：1理解極限的概念，了解極限的定義；2會用極限的嚴格定義證明極限.；3了解極限的性質(zhì)； 教學(xué)重難點：理解掌握數(shù)列極限的概念內(nèi)容要點一、數(shù)列的定義極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形

3、，其面積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：1 / 8它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。當越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓面積的近似值也越精確。但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積。因此，設(shè)想無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當時的極限。在圓面積問題中我們看到，正是這個數(shù)列的極限才精確地表達了圓的面積。在解

4、決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明。先說明數(shù)列的概念。如果按照某一法則，有第一個數(shù)，第二個數(shù)，這樣依次序排列著，使得對應(yīng)著任何一個正整數(shù)有一個確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第項叫做數(shù)列的一般項。例如：都是數(shù)列的例子，它們的一般項依次為。以后，數(shù)列也簡記為數(shù)列。注：打印錯誤：L等為省略號。二、數(shù)列的極限如果數(shù)列，當無限增大時，數(shù)列的取值能無限接近常數(shù)，我們就稱是當時的極限，記作它的解析1定義：如果數(shù)列與常數(shù)有下列關(guān)系：對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)，使得對于時的一切，不等式都成立

5、，則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為或 。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。顯然論證法，其論證步驟為：（1）對于任意給定的正數(shù), 令 ；（2）由上式開始分析倒推, 推出 ；（3）取 ，再用語言順述結(jié)論.下面我們將學(xué)習(xí)數(shù)列極限的性質(zhì)：三、極限的唯一性性質(zhì)1（極限的唯一性） 數(shù)列不能收斂于兩個不同的極限。四、收斂數(shù)列的有界性性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性） 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。五、子數(shù)列的收斂性性質(zhì)3（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系） 如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是。例題選講例1 (E01)下列各數(shù)列是否收斂, 若收斂, 試指出其收斂于何值.(1); (2);

6、(3); (4).解 (1)數(shù)列即為易見,當無限增大時, 也無限增大, 故該數(shù)列是發(fā)散的;(2)數(shù)列即為易見,當無限增大時,無限接近于0, 故該數(shù)列是收斂于0;(3)數(shù)列即為易見,當無限增大時, 無休止地反復(fù)取1、-1兩個數(shù),而不會接近于任何一個確定的常數(shù),故該數(shù)列是發(fā)散的;(4)數(shù)列即為易見,當無限增大時, 無限接近于1, 故該數(shù)列是收斂于1.例2 (E02) 證明證 由，故對任給要使只要即所以，若取則當時，就有 即 例3 設(shè)(為常數(shù))，證明證 因?qū)θ谓o對于一切自然數(shù)恒有所以， 即：常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).注：用定義證數(shù)列極限存在時，關(guān)鍵是：對任意給定的尋找但不必要求最小的例4 證明其中證 任給若則若欲使必須即故對任給若取則當時，就有從而證得例5 設(shè)且求證證 任給由 要使即要對當時，從而當時，恒有故例6 用數(shù)列極限定義證明 證 由于只要解得因此，對任給的取則時， 成立，即 例7 (E03) 用數(shù)列極限定義證明 證 由于，要使只要即因此，對任給的取當時，有即 例8 (E04) 證明：若則存在正整數(shù)當時，不等式成立. 證 因由數(shù)列極限的定義知，對任給的存在當時，恒有由于故時，恒有從而有由此可見，只要取則當時，恒有 . 證畢.例9 (E05) 證明數(shù)列是發(fā)散的證 設(shè)由定義，對于使得當時，恒有即當時，區(qū)間長度為1.而無休止地反復(fù)取1，1兩個數(shù)，不可能同時位于長度為1