帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)問題分類解析

1、帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)問題分類解析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題。筆者在指導(dǎo)高三復(fù)習(xí)過程中，對帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行了專題復(fù)習(xí)，探究解題方法，取得了良好的教學(xué)效果。帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，綜合性較強(qiáng)，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識(shí)。下面按照有界磁場的形狀對這類問題進(jìn)行分類解析，供參考。一、帶電粒子在半無界磁場中的運(yùn)動(dòng)OBSVP圖1例1、（1983年高考試題）一個(gè)負(fù)離子，質(zhì)量為m，電量大小為q，以速率V垂直于屏S經(jīng)過小孔O射入存在著勻強(qiáng)磁

2、場的真空室中(如圖1).磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與離子的運(yùn)動(dòng)方向垂直,并垂直于圖1中紙面向里.(1)求離子進(jìn)入磁場后到達(dá)屏S上時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離.(2)如果離子進(jìn)入磁場后經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)位置P,證明:直線OP與離子入射方向之間的夾角跟t的關(guān)系是。OBSVP圖2O/解析：(1)離子的初速度與勻強(qiáng)磁場的方向垂直,在洛侖茲力作用下,做勻速圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)圓半徑為r,則據(jù)牛頓第二定律可得： ,解得如圖2所示，離了回到屏S上的位置A與O點(diǎn)的距離為：AO=2r 所以(2)當(dāng)離子到位置P時(shí),圓心角(見圖2)：MNO,LAO圖3P因?yàn)?，所?帶電粒子的半無界磁場中的運(yùn)動(dòng)問題在高考試題中多次出現(xiàn)：如99年全國高考物理試題

3、第24題、2001年全國高考理科綜合試題第30題等。二、帶電粒子在圓形磁場中的運(yùn)動(dòng)例2、圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個(gè)磁感強(qiáng)度為B、方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場，與區(qū)域邊緣的最短距離為L的O處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿方向垂直射入磁場，越出磁場后打在熒光屏上之P點(diǎn)，如圖3所示，求OP的長度和電子通過磁場所用的時(shí)間。MNO,LAO圖4R/2/2BPO/解析 ：電子所受重力不計(jì)。它在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O，半徑為R。圓弧段軌跡AB所對的圓心角為，電子越出磁場后做速率仍為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)， 如圖4所示，連結(jié)OB，OAOOBO，又OAOA，故OBOB，

4、由于原有BPOB，可見O、B、P在同一直線上，且OOP=AOB=，在直角三角形P中，OP=(L+r)tan，而，,所以求得R后就可以求出OP了，電子經(jīng)過磁場的時(shí)間可用t=來求得。 由得R=，帶電粒子的圓形磁場中的運(yùn)動(dòng)問題在高考試題中多次出現(xiàn)：如94年全國高考物理試題第31題、2002年全國高考理科綜合試題第27題等。BABdVV300O圖5三、帶電粒子在長足夠大的長方形磁場中的運(yùn)動(dòng)例3、如圖5所示，一束電子(電量為e)以速度V垂直射入磁感強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿透磁場時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是 ，穿透磁場的時(shí)間是( )。解析：電子在磁場中運(yùn)動(dòng)

5、，只受洛侖茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因?yàn)閒V，故圓心在電子穿入和穿出磁場時(shí)受到洛侖茲力指向交點(diǎn)上，如圖5中的O點(diǎn)，由幾何知識(shí)知，AB間圓心角30°，OB為半徑。r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又AB圓心角是30°，穿透時(shí)間t=T/12，故t=d/3V。帶電粒子在長足夠大的長方形磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)要注意臨界條件的分析。如已知帶電粒子的質(zhì)量m和電量e,若要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V必須滿足什么條件？這時(shí)必須滿足r=mV/Be>d,即V>Bed/m.四、帶電粒子在正方形磁場中的運(yùn)動(dòng)llr1OV+qV圖6例

6、4、長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，如圖6所示，磁感強(qiáng)度為B，板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是：A使粒子的速度V<BqL/4m； B使粒子的速度V>5BqL/4m；C使粒子的速度V>BqL/m；D使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。解析:由左手定則判得粒子在磁場中間向上偏，而作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，很明顯，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于某值r1時(shí)粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r2時(shí)粒子可從極板的左邊穿出，現(xiàn)在問題歸結(jié)為求粒子能在

7、右邊穿出時(shí)r的最小值r1以及粒子在左邊穿出時(shí)r的最大值r2，由幾何知識(shí)得：粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在O點(diǎn)，有：r12L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,V>5BqL/4m時(shí)粒子能從右邊穿出。粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O點(diǎn)，有r2L/4，又由r2mV2/Bq=L/4得V2BqL/4mV2<BqL/4m時(shí)粒子能從左邊穿出。綜上可得正確答案是A、B。圖7五、帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運(yùn)動(dòng)圖8r1例5、核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬

8、克裝置）。如圖7所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強(qiáng)度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×C/，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切,軌跡如圖8所示。由圖中知，解得由得圖9OO2所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大

9、速度為。（2）當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時(shí)，則以V1速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖9所示。由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度六、帶電粒子在有“圓孔”的磁場中運(yùn)動(dòng)abcdSo圖10例6、如圖10所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為、帶電量為q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)

10、之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）abcdSo圖11解析：如圖11所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿過了d，粒子就會(huì)在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點(diǎn)。設(shè)粒子進(jìn)入磁場區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動(dòng)能定理，有設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=r.由

11、以上各式解得;.七、帶電粒子在相反方向的兩個(gè)有界磁場中的運(yùn)動(dòng)例7、如圖12所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場。左側(cè)勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間磁場區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域后，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程。求：（1） 中間磁場區(qū)域的寬度d;BBELdO圖12（2） 帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間t.解析：（1）帶電粒子在電場中加速，由動(dòng)能定理，可得： 帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得：由以上兩式，可得。可見在兩磁場區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖13所示，三段圓弧的圓心組成的三角形O1O2O3是等邊三角形，其邊長為2R。所以中間磁場區(qū)域的寬度為OO3O1O2圖136