勾股定理知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、 勾股定理知識(shí)點(diǎn)回顧各位同學(xué)下午好，今天我將帶領(lǐng)大家回顧下勾股定理方面的知識(shí)點(diǎn)。一、首先請(qǐng)看黑板，例1試通過(guò)等積法得出啊a，b，c三者的關(guān)系。沒(méi)錯(cuò)，這個(gè)過(guò)程就是我們勾股定理的證明過(guò)程。那么勾股定理具體是怎樣表述的呢？我們拿出例1中的三角形ADE來(lái)研究，我們可以總結(jié)出勾股定理的定義。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三邊存在關(guān)系a2b2c2。即勾股定理可以表述為：二、勾股定理的定義：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。簡(jiǎn)單的說(shuō)，勾股定理就是直角三角形三邊的一種數(shù)量關(guān)系。其中較短的直角邊我們叫它：勾；較長(zhǎng)長(zhǎng)邊

2、我們叫它：股；斜邊叫它：弦。既然直角三角形三邊是這樣關(guān)系，那么對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形又是怎樣的關(guān)系呢？這里大家可以通過(guò)特殊三角形來(lái)記憶：銳角三角形就通過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形來(lái)特殊化，顯然a2b2c2 對(duì)于鈍角三角形，可以通過(guò)底角為30度，腰為2的等腰三角形來(lái)記憶，計(jì)算可知a2b2c2大家不僅要掌握勾股定理，對(duì)于勾股定理的逆定理也是必須掌握的，它是我們判斷直角三角形時(shí)一個(gè)很好的方法，那我們看看它的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：A、若已知邊長(zhǎng)：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）若c2a2

3、b2，則ABC是以C為直角的三角形；若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）B、若未知邊長(zhǎng)，則直接進(jìn)行第二步。例2：在ABC中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 三、對(duì)于勾股定理，還有個(gè)很重要的概念：勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。） *附：常見(jiàn)勾股數(shù)：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。例3：在直角三角形中兩直角邊分別為3、2，求斜邊長(zhǎng);例4：在直

4、角三角形中兩邊長(zhǎng)分別為3、2，求第三邊。 （2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。:（3）用于證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題。例 5： 如圖所示，在中，為BC邊上任意一點(diǎn)求證：AB2AP2=BP·PC（先直接因式分解不行，再間接分解）（4）利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段。例6：請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出（5）解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例7、 梯子滑動(dòng)問(wèn)題：（1）一架長(zhǎng)2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動(dòng) 0.8 米 例8、 爬行距離最短問(wèn)題：如圖，一只螞蟻沿邊長(zhǎng)為a的正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則它走過(guò)的路程最短為（ D ）A.

5、B. C. D. 例9、折疊問(wèn)題：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，將ABC沿AC對(duì)折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說(shuō)明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長(zhǎng)有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”) 五、例10： 如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是：C=90°，（用幾何語(yǔ)言表示）兩銳角之間的關(guān)系： ；若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線 ；若B=30°，則B的對(duì)邊和斜邊： ；三邊之間的關(guān)系： 。歸納下當(dāng)題目提到直角三角形的時(shí)候應(yīng)該立刻在腦子里想到：（1）角度關(guān)系。（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（3）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （4）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°。 （5）勾股定理。練習(xí)1.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為 （ 5+9=14）2.已知 與互為相反數(shù)，