人教版高中數(shù)學選修2-1《橢圓及其標準方程》教案

1、人教版高中數(shù)學選修2-1橢圓及其標準方程教案一、 課型新授課二、教學內(nèi)容1、 橢圓的定義；2、 橢圓的兩類標準方程；3、 根據(jù)橢圓的定義及標準方程的知識解決一些簡單的問題。三、教學目標1、 知識與技能：理解并掌握橢圓的定義；明確焦點、焦距的概念；掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；掌握a、b、c三個量的幾何意義及它們之間的關系。能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程；2、 過程與方法：通過對橢圓概念的引入教學，培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力；通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題

2、的能力。讓學生感知數(shù)學知識與實際生活的普遍聯(lián)系；3、 情感態(tài)度與價值觀：通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣和創(chuàng)新意識。培養(yǎng)學生的探索能力和進取精神，提高學生的數(shù)學思維的情趣，給學生以成功的體驗，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。通過橢圓的形成過程培養(yǎng)學生的數(shù)學美感，同時培養(yǎng)團隊協(xié)作的能力。四、教學重點、難點重點：橢圓的定義及橢圓的標準方程；難點：橢圓標準方程的推導過程。五、教學方法教師引導為主、學生自主探究為輔。六、教學媒體 幻燈片、黑板。七、教學過程（一）創(chuàng)設情境，導入新課用多媒體演示神舟飛船繞地球旋轉(zhuǎn)的模型，它運行的軌跡又是什么圖形呢？可以看出，

3、它的運行軌跡是橢圓。此時老師指出：在實際生活中，橢圓隨處可見，很多學科也涉及到橢圓的應用，所以學習橢圓的相關知識是十分必要的。這就是我們這節(jié)課所要學習的內(nèi)容橢圓及其標準方程。（二）問題探究老師提問：我們從直觀上認識了橢圓，那么橢圓它是如何形成的呢？橢圓滿足什么樣的條件呢？它的定義又是如何？ 1、 橢圓的形成下面請各小組拿出老師之前讓大家準備的工具：一段固定長的細繩、兩顆釘子、一塊長3分米，寬3分米的硬紙板。然后將釘子系在細繩的兩頭，將釘子固定在圖板上，使得兩個釘子之間的距離小于細繩的長度（請同學們考慮一下，為什么兩頂子之間的距離要小于細繩的長度？），我們用筆尖將細繩拉緊，讓筆尖在圖板上慢慢移動

4、，請同學們觀察筆尖運動的軌跡是什么圖形呢？如果我們將兩個釘子之間的距離變大，使得兩個釘子之間的距離恰好等于細繩的長度，同樣用筆尖將細繩拉緊，讓筆尖在圖板上慢慢移動。我們發(fā)現(xiàn)筆尖只能在兩個釘子之間來回運動，這時筆尖運動的軌跡是兩個釘子之間的線段。將兩個釘子之間的距離再增大，此時就可以發(fā)現(xiàn)，細繩的長度比兩個釘子之間的距離小，筆尖沒有軌跡。再用課件給學生進行演示：通過演示可以發(fā)現(xiàn)，繩長大于圖釘間的距離是畫出橢圓的關鍵。請同學們根據(jù)作圖的過程和老師剛才的演示，思考：在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變化？有哪些量沒有變化？如何來歸納橢圓的定義呢？ 2、 橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常

5、數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。通常常數(shù)記作2a，焦距記作2c，則有2a2c。注意：這里的常數(shù)必須大于|F1F2|。如果常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，必須得加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”。3、 橢圓標準方程的推導首先復習求曲線方程的一般步驟：建系設點；尋找動點滿足的幾何條件；把幾何條件坐標化；化簡得方程。（1）建系設點：設橢圓的焦距為2c（c0），M與F1、F2的距離之和為2a，以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂12yoFFMx直平分線為y軸，建立直

6、角坐標系，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）。（2）動點M滿足的幾何條件：由橢圓的定義不難得出動點M滿足的條件為： (3）動點M滿足的代數(shù)方程：（4）化簡方程：（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)由橢圓的定義可知，2a>2c,即a>c,所以a2-c2>0。令a2-c2=b2,其中b>0,代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2,兩邊同除以a2b2,得（a>b>0）,此即為橢圓的標準方程。它所表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是，中心在坐標原點的橢圓方程。其中。如果使點F1、F2在y軸上，點F1、F2的坐標分別為F1（0

7、，-c）、F2 (0,c)，a、b的意義同上，那么所得方程變?yōu)椋╝>b>0）4、標準方程的觀察、對比 當焦點落在x軸上時，焦點坐標為F1(-c,0),F2(c,0)；當焦點落在y軸上時，焦點坐標為F1(0,-c),F2(0,c)。請同學們思考：焦點的位置和方程之間有什么關系呢？那下面這個方程它的焦點位置又該如何來判斷呢？當m>n時，焦點在x軸上，此時m=a2，n=b2；當m<n時，焦點在y軸上，此時m=b2，n=a2。判斷橢圓焦點位置的方法：觀察含x的項和含y的項，哪個項的分母較大，焦點就在相應的那個軸上 。（三）例題講解例1、（1）已知橢圓的焦點坐標是F1（4，0）,

8、F2（4，0），橢圓上任一點P到F1、F2的距離之和為 10，求橢圓的標準方程； （2）兩個焦點的坐標分別是（0，-2）、（0,2），并且橢圓經(jīng)過點（-3/2,5/2），求橢圓的標準方程。解：（1）因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為（a>b>0） 2a=10,2c=8，a=5,c=4.b2=a2-c2=52-42=9.所以所求橢圓的標準方程為.（2）因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為（a>b>0）由橢圓的定義知， a=又c=2 b2=a2-c2=10-4=6 所以所求橢圓的標準方程為例2、已知B,C是兩定點，三角形ABC的周長為16，求頂點A的軌跡方

9、程。xyAO分析：由ABC的周長等于16，可知，點A到B、C兩點的距離的和是常數(shù)，即,因此，點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓，據(jù)此可建立如下的草圖（圖8-1）解：如圖8-1，建立坐標系，使x軸經(jīng)過點B、C,原點O與BC的中點重合。 由已知, 有，即點A的軌跡是橢圓，且 2c=6,2a=16-6=10, c=3,a=5,b2=a2-c2=52-32=16. 圖8-1 但當點A在直線BC上，即y=0時，A、B、C三點不能構成三角形，所以點A的軌跡方程是 注意：求出曲線的方程后，要注意檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如果有不符合題意的點，應在所得方程后注明限制條件。（四）鞏固練習1、平面內(nèi)兩定點的距離是8，一動點M到這兩定點的距離之和是10，建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出動點M的軌跡方程。2、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）a=4，b=1，焦點在x軸上；（2）a2=16，c2=15，焦點在y軸上；（3）a+b=10,c=。（五）課時小結(jié)本節(jié)課學習了橢圓的定義及橢圓的標準方程，在實際解題過程中應注意：（1）一個重要關系式：a2=b2+c2 且a>b>0；（2）橢圓的焦點位置由含x，y的分式的分母大小來確定；（3