數(shù)學(xué)分支之射影幾何

1、.數(shù)學(xué)分支之射影幾何射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，仍然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)絡(luò)起來。射影幾何的開展簡況十七世紀(jì)，當(dāng)?shù)芽▋汉唾M(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問世的時(shí)候，還有一門幾何學(xué)同時(shí)出如今人們的面前。這門幾何學(xué)和畫圖有很親密的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長準(zhǔn)備了充分的條件。這門幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)?；诶L圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開場研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右

2、，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。在文藝復(fù)興時(shí)期，人們?cè)诶L畫和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時(shí)候，人們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫家要把一個(gè)事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個(gè)過程中，被描繪下來的像中的各個(gè)元素的相對(duì)大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對(duì)圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)展研究，因此就逐漸產(chǎn)生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學(xué)科。射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在1

3、7世紀(jì)初期，開普勒最早引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門學(xué)科建立而做出了重要奉獻(xiàn)的是兩位法國數(shù)學(xué)家笛沙格和帕斯卡。笛沙格是一個(gè)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時(shí)候當(dāng)過陸軍軍官，后來鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作?試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿?，書中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的根底。用他的名字命名的迪

4、沙格定理：“假如兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立，就是射影幾何的根本定理。帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的奉獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線。這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。1658年，他寫了?圓錐曲線論?一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡化成少數(shù)幾個(gè)根本命題作為目的。帕斯卡承受了這些建議。后來他寫了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊(cè)子。不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)長度

5、、角度、面積。但他們?cè)谧C明中卻用到了長度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒有意識(shí)到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的討論也中斷了。射影幾何的主要奠基人是19世紀(jì)的彭賽列。他是畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期無視了，前人的許多工作他們不理解，不得不重新再做。1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識(shí)到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過幾何方法引進(jìn)無窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來確立對(duì)偶原理。稍后，

6、施泰納研究了利用簡單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對(duì)度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴于長度概念。由于無視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。另方面，運(yùn)用解析法來研究射影幾何也有長足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)立一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無窮遠(yuǎn)線的方程，無窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對(duì)偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。在19世紀(jì)

7、前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常劇烈；有些數(shù)學(xué)家完全否認(rèn)綜合法，認(rèn)為它沒有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，那么堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然成認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。1882年帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。射影幾何學(xué)的開展和其他數(shù)學(xué)分支的開展有親密的關(guān)系，特別是“群的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對(duì)這門幾何學(xué)的研究起了促進(jìn)作用。把各種幾何和變換群相聯(lián)絡(luò)的是克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)中

8、提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十清楚朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了宏大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類法。后來嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的奉獻(xiàn)。射影幾何學(xué)的內(nèi)容概括的說，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專門研究圖形的位置關(guān)系的，也是專門用來討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。在射影幾何學(xué)中，把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)。通常的直線再加上一個(gè)無窮點(diǎn)就是無窮遠(yuǎn)直線，假如一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。在引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線后，原來普通點(diǎn)

9、和普通直線的結(jié)合關(guān)系仍然成立，而過去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。由于經(jīng)過同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣但凡利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過一點(diǎn)作一直線和“在一直線上取一點(diǎn)叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖

10、形中，它們假如都是由點(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對(duì)偶圖形。在一個(gè)命題中表達(dá)的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對(duì)偶命題。這就是射影幾何學(xué)所特有的對(duì)偶原那么。在射影平面上，假如一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，這叫做平面對(duì)偶原那么。同樣，在射影空間里，假如一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，叫做空間對(duì)偶原那么。研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，

11、我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即

12、按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，

13、幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。假如就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來說，射影幾何學(xué)仿射幾何學(xué)歐氏幾何學(xué)，這就是說歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比方在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對(duì)象如簡比、平行性等和射影幾何學(xué)的對(duì)象如四點(diǎn)的交比等，反過來，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在愛爾朗根大學(xué)提出著名的?愛爾朗根方案書?中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)展分類，就是但凡一種變換，它的全體能組成“群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。