哲學與數(shù)學史視域中的極限思想探析

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3、個過程的一個側面反應，是人類追求真理、追求理想，始終不渝地求實、創(chuàng)新的生動寫照。依據(jù)辨證唯物主義的觀點來研究數(shù)學的對象和特點，研究數(shù)學發(fā)生和發(fā)展的規(guī)律，研究數(shù)學思想和哲學思想的關系，研究數(shù)學內(nèi)容的現(xiàn)實原型和辯證性質(zhì)等問題，是很有意義的工作。本文將站在哲學和數(shù)學史的視角，僅就極限思想的來源、極限思想的發(fā)展歷程、極限內(nèi)容的辨證性質(zhì)等問題進行探析。在數(shù)學的發(fā)展中，數(shù)學問題的來源和發(fā)展表現(xiàn)為多種多樣的途徑和極其復雜的情況?？v觀極限思想的發(fā)展，首先哲學為其提供了直覺上的發(fā)展方向，數(shù)學家們依據(jù)這種直覺或直觀進行應用和探索；其后悖論一次次地出現(xiàn)，又促使數(shù)學家們一次一次地進行探究求證，使這一思想不斷得以發(fā)展和

4、完善。而數(shù)學的求證又給予了哲學以實在的支持，為哲學更好地描述和論證世界提供了強有力的工具。從最初時期樸素、直觀的極限觀，經(jīng)過了2000多年的發(fā)展，演變成為近代嚴格的極限理論，這其中的思想演變是漸進的、螺旋式發(fā)展的、相互推動的。極限理論是微積分學的基礎，極n76邊形得到：31415926兀31415927，這是領先國外上千年的驚人成果。在國外，古希臘時期也有極限思想。古希臘的巧辯派中有相當一批人對幾何三大問題感興趣。安提芬在研究?；瘓A為方一的問題時想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)6接正多邊形來接近圓面積，當多邊形的邊數(shù)不斷加倍時內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在的空隙就被逐漸“窮竭，而布賴森(Bryson，約公元

5、前450年)則從相反的方向，提出通過圓的外切正多邊的面積來逼近圓面積的思想。不過沒有他們具體計算的記載。公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克斯創(chuàng)立了較嚴格的確定面積和體積的一般方法一“窮竭法，這種方法假定量的無限可分性，并且以下面命題為基礎：“如果從任何量中減去個不小于它的一半的部分，從余部中再減去不小于他的一半的另一部分，等等，則最后將留下一個小于任何給定的同類量的量。一應用窮竭法，歐多克斯正確地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”以及“球的體積與直徑的立方成正比例等結論”。歐多克斯的窮竭法，也已體現(xiàn)出了極限論思想。德謨克利特(Democritus，約公元前46卜前357)，古希臘數(shù)學家、哲學家

6、，他把哲學上的原子論引入了數(shù)學，創(chuàng)立了數(shù)學原子論。數(shù)學原子認為，線段、面積、立體多是由一些不可分的原子構成的，而計算面積、體積就是將這些“原子累加起來。雖然思想比較粗糙，但卻是不可分量的雛形，帶有了古樸的積分思想。回古希臘最偉大的數(shù)學家阿基米德生于西西里島的一個希臘殖民城市敘拉古，他的數(shù)學著作主要有：圓的測量、論球與圓柱、拋物線求積法、論螺線等等，被譽為數(shù)學之神。他巧妙地把歐多克斯等人的窮竭法與德謨克利特的原子論觀點結合起來，通過嚴密的計算，解決了求幾何圖形的面積、體積、曲線長、計算萬值n數(shù)學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的到目前仍在使用的“一6方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、

7、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由于實數(shù)的嚴格理論尚未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數(shù)理論，并于十九世紀的七十年代各自建立了完整的實數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”的極限來定義無理數(shù)。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來了嚴謹?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數(shù)學分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數(shù)學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。

8、重建微積分學基礎這項重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學者的努力而勝利完成，極限理論的完善使微積分有了堅實的基礎。9(一)芝諾悖論芝諾悖論與極限思想芝諾，古希臘哲學家。他提出的四個悖論雖是哲學命題。但卻對數(shù)學無窮思想的發(fā)展產(chǎn)生了至深至遠的影響。芝諾?；钤诠畔ＥD的意大利半島南部的城邦愛利亞(E1ea)，芝諾是位唯心主義哲學家，屬于愛利亞學派。愛利亞學派的創(chuàng)始人是克塞諾芬(Xenophanes)，它否認世界的物質(zhì)“始基，認為“有一個唯一的神”。愛利亞學派把克塞諾芬的“唯一的神”解釋為“唯一的存在”，還否認運動的存在，因而陷入形而上學。芝諾是克塞諾芬的門徒巴門尼德(Pa瑚enides)的學生和義子，后來成為愛利亞學派的中堅人物。巴門尼德繼承并發(fā)展了他的先驅(qū)克塞諾芬的神論思想，他在回答世界本原問題時認為只有“存在”(=神)是不生不滅的，它是完整、唯一和不/*/3A學習網(wǎng)-專業(yè)提供交通土木專業(yè)論文、體育專業(yè)論文、教育專業(yè)論文、法律專業(yè)論文、 計算機專業(yè)論文、 美學專業(yè)論文、 宗教學專業(yè)論文、 語言學以及應用語言學專業(yè)論文、 刑事法專業(yè)論文、 倫理學專業(yè)論文、 科技技術與哲學專業(yè)論文 、管理類專業(yè)論文、 傳播學專業(yè)論文、漢語學文學專業(yè)論文、 農(nóng)業(yè)經(jīng)濟管理專