第5章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課 (1)

1、143251 剛 體 力 學(xué) 基 礎(chǔ) 習(xí) 題 課143252一、基本概念1.剛體及其平動、轉(zhuǎn)動、定軸轉(zhuǎn)動理想化的力學(xué)模型 特性：特殊的質(zhì)點(diǎn)系(牛頓力學(xué)) 剛 體 力 學(xué) 基 礎(chǔ) 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的總和。2i iiJm r 2dmJrm 2.轉(zhuǎn)動慣量3.轉(zhuǎn)動動能 212kiiiEmv 212kEJ (剛體中各質(zhì)元的總動能) 1432534.力矩及其功和功率 （1）對轉(zhuǎn)軸的力矩ziiiMrF （2）力矩的功(力矩的空間積累效應(yīng))ddAM 總功：21 dAM 元功:（3）功率：ddANt ddMMt MrF 143254(1) 沖量矩

2、力矩乘以力矩所作用的時間。力矩在t1t2內(nèi)總沖量矩：21dttM t dMt 元沖量矩：（力矩對時間的積累效應(yīng)）5.沖量矩和動量矩(2) 角動量（動量矩） 剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積。LJ 1432552.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2221211122kkAJJEE 合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量。ddMJJt 外外1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律 剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)動軸的合外力矩等于剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。二、基本規(guī)律1432564. 角動量守恒定律 如果剛體所受的對于某一固定軸

3、的合外力矩為零，則它對于這一固定軸的角動量保持不變。.constJ Mzz，則外03. 剛體的角動量定理ddLMt 外外微分形式：5. 機(jī)械能守恒 對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立。 積分形式：2121dttM tLLL 1432571.定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)問題解法：利用定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)描述關(guān)系2.轉(zhuǎn)動慣量的計算解法：（1）定義法：2iiiJm r 22ddJrmr V 三、習(xí)題基本類型ddt 22ddddtt vr 2nar tar v r Ov定 軸P zr 0t 20012tt 22002 ( () )143258（2）平行軸定理 若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體

4、對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有 JJCm d 2。3.定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題解法：利用定軸轉(zhuǎn)動中的轉(zhuǎn)動定律MJ 步驟： （1）審題，確定研究對象；（2）建立坐標(biāo)系； （3）對研究對象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方程（注：受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將F=ma與M=J 聯(lián)系起來；（4）計算對軸的轉(zhuǎn)動慣量；（5）解方程，求未知，并對結(jié)果進(jìn)行必要的討論。1432594.定軸轉(zhuǎn)動中的功能問題解法：利用動能定理和機(jī)械能守恒定律5.角動量原理及角動量守恒定律6.混合題型解法： 應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式、轉(zhuǎn)動定律和角動量守恒定律。四、典型習(xí)題分析與講解1432510=60

5、rev/min=1rev/s=2rad/s1. (P24 17) . 一剛體以每分鐘 60 轉(zhuǎn)繞 z 軸做勻速轉(zhuǎn)動( 沿Z軸正方向)。設(shè)某時刻剛體上一點(diǎn)P的位置矢量為 , 其單位為“10-2m”，若以“10-2ms-1”為速度單位，則該時刻P點(diǎn)的速度為：kjir543( )94.2125.6157.0A vijk ()25.118.8B vij ()25.118.8C vij ()31.4D vk k 2 分析：345rijk P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)對圓心 o的矢徑為:34Rij 該時刻P點(diǎn)的速度為:v R 68ji 25.118.8ij kij2(34 )選（B ）14325112.(P24 18

6、) .質(zhì)量為m的小孩站在半徑為R 的水平平臺邊緣上，平臺可以繞通過其中心的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為 J 。平臺和小孩開始時均靜止。當(dāng)小孩突然以相對于地面為V 的速率在臺邊沿逆時針轉(zhuǎn)向走動時，則此平臺相對地面旋轉(zhuǎn)的角速度和旋轉(zhuǎn)方向分別為 0JRmV )(22RVmRJmR（C） ，順時針；)(22RVmRJmR（D） ，逆時針。)(2RVJmR（B） ，逆時針；)(2RVJmR（A） ，順時針；選（A ）2()0VJmRR 分析：2()mRVJR 同課本p120.5-14選逆時針為正14325123.（p29. 45 ） 半徑為20cm 的主動輪，通過皮帶拖動半徑為50cm的被動輪轉(zhuǎn)動

7、。主動輪從靜止開始作勻角加速轉(zhuǎn)動，在4s內(nèi)，被動輪的角速度達(dá)到8rad.s-1，則主動輪在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過了_圈。2210 11 11 11122ttt 101 11 1tt 2211rr 121211412trrn 則兩輪邊緣上點(diǎn)的線速度大小相等：主動輪在4s內(nèi)的角位移)rev(20482541 121221trr 111t 解：t = 4s 時，14325134. (P29 46) 一可繞定軸轉(zhuǎn)動的飛輪，在20Nm的總力矩作用下，在10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到8 rad/s，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J。 初角速度為: 0=0末角速度為: =8(rad/s)角加速度為：解：0t 2800.8(/)10r

8、ads 利用定軸轉(zhuǎn)動中的轉(zhuǎn)動定律MJ MJ 22025()0.8kg m 1432514 5. (P29 47) 一長為l、重W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為k 的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時，彈簧處于自然長度，墻和地面都是光滑的。當(dāng)梯子依墻而與地面成角且處于平衡狀態(tài)時，(1)地面對梯子的作用力的大小為。(2)墻對梯子的作用力的大小為 。(3)W、k、l、應(yīng)滿足的關(guān)系式為 。 補(bǔ)充:剛體在平面力系作用下靜止平衡的條件： 作用于剛體平面力系的矢量和為0，對與力作用平面的任意軸的力矩的代數(shù)和為0.BAl1432515yxAB(O)FWNBNA原長l由剛體的平衡條件：無平動： co

9、s0klFNFBiix WNFAiiy 0無轉(zhuǎn)動：0 iizM若以A為轉(zhuǎn)軸，選力矩 為正，則0cos2sin lWlNB將NB的值代入 sin2klW 1432516 5. (P29 47) 一長為l、重W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為k 的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時，彈簧處于自然長度，墻和地面都是光滑的。當(dāng)梯子依墻而與地面成角且處于平衡狀態(tài)時，(1)地面對梯子的作用力的大小為。(2)墻對梯子的作用力的大小為 。(3)W、k、l、應(yīng)滿足的關(guān)系式為 。 解：剛體平衡的條件：BAl0 iiF 0 iiM WNANBf ANW BNf cos kl 12cossincos0 AW

10、lf lNl cos fkl cos kl W2sin Wkl 2sin Wkl 1432517 6. (P2948) 轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t=0時角速度為0 。此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為k（ k為大于0的常數(shù)）。當(dāng)= 0/3 時，飛輪的角加速度=_。從開始制動到= 0/3 所經(jīng)過的時間 t =_。 解：由轉(zhuǎn)動定律 M=JMJ 00/ 31()Jtk 2kJ 2200(/ 3)9k kJJ 當(dāng)= 0/3 時，M= - k2分離變量得2ddJ tk 2ddktJ 再由00/320dd()tJtk 02Jk1432518 7. (P30 49)

11、.長為l的桿如圖懸掛，O為水平光滑固定轉(zhuǎn)軸，平衡時桿鉛直下垂，一子彈水平地射入桿中，則在此過程中， 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸O的守恒。 桿和子彈角動量mM8. (P30 50) . 地球的自轉(zhuǎn)角速度可以認(rèn)為是恒定的，地球?qū)τ谧赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J=9.81037kgm2。地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動量L 。 解：JL 剛體的角動量大小：)/rev( 1日日 )s/rad(6060242 .()Lkg ms 137332298 107 1 10246060.()kg ms 13327 1 101432519 9. (P30 51) 質(zhì)量分別為m 和2m 的兩物體（都可視為質(zhì)點(diǎn)），用一長為 l 的輕質(zhì)剛性細(xì)桿相連，系統(tǒng)繞通過

12、桿且與桿垂直的豎直固定軸o轉(zhuǎn)動，已知o軸離質(zhì)量為2m的質(zhì)點(diǎn)的距離為l/3，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的線速度為v且與桿垂直，則該系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量(動量矩)大小為_。m2moll /3解：剛體的角速度 JL 231232io)l(m2)l(mJJ2ml32233()2vvll 22332vmlmvll 1 12 2Lmv rmv r212()32 3vmvlmlmvl 或143252010. (P30 52) 動量矩定理的內(nèi)容是 ，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫成 ， 動量矩守恒的條件是。 轉(zhuǎn)動物體所受的合外力矩的 沖量矩等于在合外力矩作用時間內(nèi)轉(zhuǎn)動物體動量矩的增量22110dtMtJ J 物體所受合外力矩為零 11.

13、 (P3053) .如圖所示，一勻質(zhì)木球固結(jié)在一細(xì)棒下端，且可繞水平光滑固定軸 o 轉(zhuǎn)動，今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中，則在此擊中過程中，木球、子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的 守恒，原因是 , 在木球被擊中和球升高的過程中，對木球、子彈、細(xì)棒、地球系統(tǒng)的 守恒。 對 o 軸的角動量對該軸的合外力矩為零 機(jī)械能143252112.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P34.73）在一光滑的水平面上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量m=1kg的滑塊，如圖所示。彈簧自然長度l0=0.2m，倔強(qiáng)系數(shù)k=100N.m-1，設(shè)t=0時。彈簧長度為l0，滑塊速度v0=5m.s-1，方向與彈簧垂直。在某一時刻，彈簧位于

14、與初始位置垂直的位置，長度l=0.5m。求該時刻滑塊速度的大小和方向。1432522以表末速度與彈簧長度方向的夾角。0M外外角動量守恒:0 0sinmv lmvl 22200111()222mvmvk ll 解：知知機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒由由非非保保內(nèi)內(nèi)外外0AA對（滑塊+彈簧）系統(tǒng)，對（滑塊+彈簧+地球）系統(tǒng)， 選彈簧原長時為彈性勢能零點(diǎn)，光滑水平面為重力勢能零點(diǎn)，則兩式聯(lián)立，可解出結(jié)果。(選 為正)143252313.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P36.81）oR2Rv 在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸線的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10。開始時盤載人對地以角速度0

15、勻速轉(zhuǎn)動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作圓周運(yùn)動，如圖所示。已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為MR2/2。求：（1）圓盤對地的角速度；（2）欲使圓盤對地靜止，人應(yīng)沿著R/2圓周對圓盤的速度 的大小及方向？v1432524 當(dāng)人以相對于盤的速率v沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向走動時，盤對地的角速度為，人對地的角速度為.盤盤地地人人盤盤人人地地 解： (1)2(1)2vvRR 盤盤地地人人盤盤人人地地 選 為正，有（人盤）系統(tǒng)對軸的合外力矩為0，角動量守恒：oR2Rv )2()2R(10MMR21)2R(10MMR2122022 1432525（1）（2）兩式聯(lián)立可得022 1vR （2）

16、欲使盤對地靜止，須02021vR “”號表示人走動方向與上一問中人走動方向相反，即與盤初始轉(zhuǎn)動方向一致。0212Rv 143252614.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P37.83）有一質(zhì)量為m1、長為l的均勻細(xì)棒，靜止放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞通過端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一水平運(yùn)動的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 和 ， 如圖所示。1v2v求碰撞前后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程所需的時間。已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Jm1l2/3()0(1)3tfMtJm l 對(棒滑塊)系統(tǒng)，在碰撞過程

17、中，由于碰撞時間極短，棒所受的摩擦力矩滑塊的沖力矩，故可近似認(rèn)為合外力矩為0，因而系統(tǒng)的角動量守恒。（在俯視圖中，選 為正方向）由角動量定理，設(shè) Mf 為摩擦力矩，則22 12 211(2)3mvlmv lml 解()0(1)3tfMtJm l 對(棒滑塊)系統(tǒng)，在碰撞過程中，由于碰撞時間極短，棒所受的摩擦力矩滑塊的沖力矩，故可近似認(rèn)為合外力矩為0，因而系統(tǒng)的角動量守恒。（在俯視圖中，選 為正方向）由角動量定理，設(shè) Mf 為摩擦力矩，則22 12 211(2)3mvlmv lml 解：1432529棒上 x 處 dx 段小質(zhì)元:1ddmmxl 受摩擦力 df=gdm

18、,對o軸的摩擦力矩 dMf= xdf10dlm gxxl 以上三式聯(lián)立，解得12212vvtmm g dAffOMM 10dm g xm 11(3)2 m gl 15.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)p18，例3）質(zhì)量為m的物體懸于輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上.軸水平且輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在光滑的固定軸承之上. 物體從靜止釋放，在時間t內(nèi)下降了距離s.試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量J（用m、r、t和s表示）.mromromgTTmaTmg JTr ra 221ats )sgt(mrJ1222 解：方法2：222121Jmvmgs tvs2 rv J1432532三、73、74、75、76、77、78、80

19、、81、82、83五、90、92、93、94四、85、86、87學(xué)習(xí)指導(dǎo)大題重點(diǎn)題目 14325335-1. 如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為m、半徑為r 的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為mr2/2，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為2m 和m 的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。T解：受力分析如圖，可建立方程：222mgTma 1Tmgma ()2TT rJ 1()TT rJ ar /22Jmr14ag118Tmg聯(lián)立，解得： （選向下為正）（選向上為正）（選順時針為正）14325345-2.如

20、圖所示，一均勻細(xì)桿長為l ，質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設(shè)開始時桿以角速度0繞過中心O且垂直于桌面的軸轉(zhuǎn)動。試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。解：（1）設(shè)桿的線密度為： ml 在桿上取一小質(zhì)元 ddmx 有微元摩擦力： dddfmgg x 微元摩擦力矩： ddMg xx 考慮對稱性，有摩擦力矩： 2012d4lMgx xmgl 1432535（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 ddMJJt 有： 000ddtM tJ 2011412mgltm l 03ltg 或利用： 0MtJJ考慮到 0 2112Jml 有： 03ltg 或利用： 3MmgJl 0t03ltg 1

21、4325365-3.如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M，半徑為 R，其轉(zhuǎn)動慣量為MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。解：受力分析如圖，可建立方程：m gTm a TRJ aR 212JmR 22mgaMm聯(lián)立，解得： 2MmgTMm 考慮到 ddvat ，002dd2vtmgvtMm 有： 22mgtvMm （選向下為正）（選逆時針為正）14325375-4.輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為M/4,均勻分布在其邊緣上，繩子A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了

22、一質(zhì)量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量J=MR2/4 ，設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求B端重物上升的加速度？解：分別對人、滑輪與重物列出動力學(xué)方程1AMgTMa 人:244BMMTga物: 12T RT RJ 滑輪:（選向下為正）（選逆時針為正）（選向上為正）ABaaR ，/24JMR 解得： 2ABgaa其中:1432538解二：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè)u為人相對繩的速度，v為物上升的速度，注意到u為勻速， d0dut 系統(tǒng)對軸的角動量為： 而力矩為： 213()()442MLM v RM uv RRM v RM uR 重重物物人人( () )(

23、 () )( (滑滑) )13M44MgRMgRMgR 根據(jù)角動量定理 ddLMt 有： 3d 3()4d2MgRMvRMuRt 2ga 14325395-5計算質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動慣量。解：球體密度 334mR 考慮均質(zhì)球體內(nèi)一個微元： 2dsin d d dmrr 微元到軸的距離為 sinr 2( sin ) dJrm 有： 222000( sin )sin d d dRJrrr 520012(1cos)dcos 5Rr 225mR 14325405-6一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù) k=40N/m,當(dāng)=0時彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量m=5.0k

24、g，求在=0的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度 ，才能轉(zhuǎn)動到水平位置？解：選（彈簧+細(xì)棒+地球）為系統(tǒng)。 以圖示 下方的三角樁為軸，從 =0=90o時，機(jī)械能守恒。=0時機(jī)械能為： =90o時機(jī)械能為：221 122 3lmgml （）212k x有： 2 2 211 1223 2lmg ml kx （）根據(jù)幾何關(guān)系： 222(0.5)1.51x 得： 13.28rad s 重力勢能 +轉(zhuǎn)動動能14325415-8如圖所示，長為l 的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l/3和2l/3。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，

25、以水平速度v0與桿下端小球m作對心完全彈性碰撞，試求小球的反彈速度和碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：碰撞瞬間 , 角動量守恒，有：0 M022.133mvlmvlJ （）22221222333Jmlmlml （）因?yàn)樽鲗π耐耆珡椥耘鲎?，動能不?,有: 22201113222mvmvJ （）解得:0061,55vvvl 14325425-8（舊版）如圖所示，長為l 的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l/3和2l/3。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以v0/2的速度返回，試求

26、碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動量守恒，有：22002122()2()32333llmvlmvlmm 有： 22004221()9933llv lv l 032vl 解得： 14325435-9一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M ，半徑為R放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為）,圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動。開始時，圓盤靜止，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動。 (圓盤繞通過O的豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量為MR2/2,忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用

27、角動量守恒： 2212mvRMRmR 得： 2(2)mvmM R 1432544（2）選微分 d2dmr r 面密度 2MR 202d2 d3RfMMgr mgrr rM gRR 由: fMtJ 有:2221()032MgRtMRmR 知： 22,4MmtRMg 將 22mvMm R 代入，32mvtM g 即得： 14325455-10有一質(zhì)量為m1 、長為 l 的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一水平運(yùn)動的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端 A相碰撞，設(shè)碰撞時間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 和 如圖所

28、示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程所需的時間。(已知棒繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動慣量J=m1l2/3) 1v2v解：由碰撞時角動量守恒，考慮到 和1v2v方向相反，以逆時針為正向，有： 22112213m v lm lm v l 得： 21213()m vvm l 1432546又細(xì)棒運(yùn)動起來所受到的摩擦力矩可由積分求得：1101d2lfmMg xxm gll 利用 ddfMJt 有：210011d3d12tm ltm gl 得： 21212()23m vvltgm g 14325475-11如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為 0.01kgm2 ,半徑為7cm;物體的質(zhì)量為5kg,用一細(xì)繩與勁度系數(shù)k=200

29、N/m的彈簧相連,若繩與滑輪間無相對滑動,滑輪軸上的摩擦忽略不計。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離； （2）物體的速度達(dá)最大值時的位置及最大速率。 解：（1）設(shè)彈簧的形變量為x, 下落最大距離為 xmax 。由機(jī)械能守恒： 2maxmax12k xmgx 有： max20.49mgxmk 222111222kxmvJmgx （2）當(dāng)物體下落時，由機(jī)械能守恒： 考慮到 vR 有： 2222111222k xm RJmg x1432548欲求速度最大值，將上式兩邊對x求導(dǎo)，且令 d0dx 有： 21d() 22dk xm RJmgx 將 d0dx 代入，有： 0.245

30、()mgxmk 當(dāng)x=0.245m時物體速度達(dá)最大值，有： 22max2121()2mgxkxvJmr 代入數(shù)值可算出： m ax1.31 /vm s 14325495-1一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量 m1和m2的物體（ m1m2 ）,如圖所示，繩與輪之間無相對滑動，某時刻滑輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，則繩的張力多大？解：思考題111m gTma （1）222Tm gm a （2）12()TT rJ （3） ar （4）聯(lián)立方程可得 T1 ,T2 ,21TT 14325505-2一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度 按圖示方向轉(zhuǎn)動，若如圖所示的情況那樣，將兩個

31、大小相等方向相反但不在同一條直線的力 F沿盤面方向同時作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？ 答：增大14325515-3一個人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動平臺組成的系統(tǒng)：（A）機(jī)械能守恒，角動量守恒；（ B）機(jī)械能守恒，角動量不守恒；（C）機(jī)械能不守恒，角動量守恒；（ D）機(jī)械能不守恒，角動量不守恒。 答：（C）1432552解:（1）20021tt st4 1. 半徑為r =1. 5m的飛輪，初角速度0 = 10 rads-1，角加速度=5 rads-2，則在 t =_時角位移為零，而此時邊緣上點(diǎn)的線速度v=

32、_ 。,5211002ttt 0rv （2）)rad/s(104510 )sm(155 . 1101 補(bǔ)充題14325532. 一飛輪作勻減速運(yùn)動，在5 s 內(nèi)角速度由40 rads-1減到10rads-1，則飛輪在 5s 內(nèi)總共轉(zhuǎn)過了_圈，飛輪經(jīng)_的時間才能停止轉(zhuǎn)動。解：t 0)srad(65301020 t 2202 125)6(2)40()10(22 )(67. 161000st t 0)(5.622125圈圈合合 n14325543. 一飛輪以600rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動慣量為2.5kgm2，現(xiàn)加一恒定的制動力矩使飛輪在1S內(nèi)停止運(yùn)動，則該恒定制動力矩的大小M。 解：0t 20

33、2020 (/)1rads 角加速度為：初角速度為: 0= 600rev/min=20 (rad/s)末角速度為: =0 MJ 2.5( 20 ) 2.5 ( 20) 3.14157()N )(157 N14325554.半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩，繩的下端掛一質(zhì)量為m的物體。繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對滑動。若物體下落的加速度為a，則定滑輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量J。 解：RmTmgTa :maTmgm對 JRTM：對Ra :運(yùn)動關(guān)系 TT:牛三律 aRagmJ2)( 1432556 5. 對一個繞固定水平軸 o勻速轉(zhuǎn)動的圓盤，沿如圖所示的同一水平直線從相反方向同時射入兩顆質(zhì)量相

34、同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉(zhuǎn)盤的角速度是否改變？如何變？解： （盤兩子彈）系統(tǒng)所受對O軸的合外力矩為0， JJ 兩子彈射入前對O軸的角動量等值、反向，正好抵消。當(dāng)兩子彈射入后，系統(tǒng)對O的轉(zhuǎn)動慣量JJ，其角動量守恒：故射入前的J只是轉(zhuǎn)盤的角動量。故，即轉(zhuǎn)盤的角速度減小。1432557 6. 如圖，一靜止的均勻細(xì)棒，長L，質(zhì)量M，可繞通過棒的端點(diǎn)且棒長的光滑固定軸O在光滑水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為(ML2/3) . 一質(zhì)量為m速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒的方向射入棒的自由端。設(shè)擊穿棒后子彈的速率減為/2，則此時棒的角速度為_。(A)mV/ML (B)3mV/2ML (C)5mV/

35、3ML (D)7mV/4ML.解：系統(tǒng)（子彈+桿），對o軸角動量守恒角動量守恒外外 0M選 為正向，則 JL2mLmML2m3ML31Lm212 選（B）14325587.一質(zhì)量為m的小蟲，在有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤邊緣上，沿逆時針方向爬行，它相對于地面的速率為，此時圓盤正沿順時針方向轉(zhuǎn)動，相對于地面的角速度為0，設(shè)圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，若小蟲停止爬行，則圓盤的角速度為解： )mRJ(RmJ2020mRJRmJ （蟲+盤）系統(tǒng)，對O軸角角動動量量守守恒恒外外 0M選 為正向0OmR14325598. 一力學(xué)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點(diǎn)組成，它們之間只有引力作用，若兩質(zhì)點(diǎn)所受外力的矢量和為零，則此

36、系統(tǒng)(A)動量、機(jī)械能以及對一軸的角動量都守恒。(B)動量、機(jī)械能守恒，但角動量是否守恒不能斷定。(C)動量守恒，但機(jī)械能和角動量守恒與否不能斷定。(D)動量和角動量守恒，但機(jī)械能是否守恒不能斷定。選（C ）14325609. 一 汽車發(fā)動機(jī)的轉(zhuǎn)速在7.0s內(nèi)由200rev/min均勻地增加到3000rev/min。 （1）求這段時間內(nèi)的初角速度、末角速度及角加速度； （2）求這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度； （3）發(fā)動機(jī)軸上裝有一半徑為r=0.2m的飛輪，求它邊緣上一點(diǎn)在這第7.0s末的切向加速度、法向加速度和總加速度。（1）初角速度為 0=2200/60=20.9(rad/s) 末角速度為： =23

37、000/60=314(rad/s) 角加速度為：解：t0)/(9 .410 . 79 .203142srad1432561ran2)(1097. 12 . 0314242ms總加速度為：22ntaaa )(1097. 1)1097. 1 (37. 824242ms總加速度與速度（切向）之間的夾角)(tan1tnaa（2）轉(zhuǎn)過的角度為t20)(1017. 10 . 723149 .203rad)(186圈（3）切向加速度為rat)/(38. 82 . 09 .412sm法向加速度為9589)37. 81097. 1(tan0411432562ROR/2C10. 從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個直

38、徑為R的圓板，所形成的圓洞中心在距原薄板中心R/2處，所剩薄板的質(zhì)量為m。求此薄板對于通過原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。ROR/2C解： 由于轉(zhuǎn)動慣量具有可加性，所以已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動慣量J 加上挖去的圓板補(bǔ)回原位后對原中心的轉(zhuǎn)動慣量J1就等于整個完整圓板對中心的轉(zhuǎn)動慣量J2 即 J= J2 - J1設(shè)板質(zhì)量密度為厚度為a，則22121)(=RmamR 221)(=22123)(=RmOC111JJJ+=221)(+Rm143256322221Rm=J4123213RaJJJmaR=)(-R222由于則ma34=2R最后求得22413mRJ =2212223)()(=RaRJ4323Ra4

39、212RaJ =aRm22ROR/2C1432564 11. 如圖，兩物體質(zhì)量為m1 、m2 ，滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為k，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各為多少。設(shè)繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計。解：amTgmm1111=-：amfTm222=-：（繩在輪上不打滑）(向下為正)(向右為正)線角量關(guān)系：對m1 、 m2 、滑輪分別進(jìn)行受力分析，畫出示力圖JrT-rTm21：(順時針為正)aam2m1rT1m1gfT2T1T2 Ra1432565方程組的解為：gmmmmmgmmmmakRJk21122121221)()(gm

40、mmmmmagmTk12121212111)()(gmmmmmmgamTkkk22121211221)()(143256612. 如圖，兩個圓輪的半徑分別為R1和R2 , 質(zhì)量分別為 M1 、M2 ，二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起，可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動。今在兩輪上繞有細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量為m1和m2的兩個物體。求在重力作用下，m2下落時輪的角加速度。解：11111amgmTm：22222amTgmm：(向上為正)(向下為正)對m1 、 m2 、整個滑輪分別進(jìn)行受力分析，畫出示力圖JRT-RT2112整個輪：(順時針為正)m1m2R2R1M1M2oa1T1m1ga2T2m2gT1T21432567線角量關(guān)系（繩在輪上不打滑）：221