復(fù)雜二次分式函數(shù)極值的快速解法

1、復(fù)雜二次分式函數(shù)極值的快速解法在高考中,我們經(jīng)常會(huì)碰到二次分式函數(shù)問題,這類問題通常比較麻煩, 有時(shí)運(yùn)算量很大,很難在短時(shí)間內(nèi)解決.所以本文將研究求解二次分式函數(shù)單調(diào)性,值域,極值的簡(jiǎn)便方法.希望能得到一個(gè)極值通用公式, 以便在考試中套用,節(jié)約時(shí)間.二次分式函數(shù)具有形式.我們將要研究它的定義域,值域,單調(diào)性,極值.1. 定義域和有界性,設(shè) .則函數(shù)定義域 .當(dāng).此時(shí)函數(shù)無界.當(dāng),函數(shù)有界且為常值函數(shù)(很少遇到的情況,比如 ).所以通常當(dāng) ,二次分式函數(shù)是無界的. 是函數(shù)的漸近線.當(dāng),函數(shù)定義域?yàn)?.函數(shù)有界.2. 單調(diào)性,極值,值域當(dāng),可以將函數(shù)化為 .對(duì)于值域中的每一個(gè)y,方程都有實(shí)數(shù)解,

2、.這樣就可以求出值域.值域的兩個(gè)端點(diǎn)(方程的兩個(gè)解)為函數(shù)極大值和極小值.但為了計(jì)算在何處取得極值,需將極值代入函數(shù)解出 ,計(jì)算可能有點(diǎn)慢.下文會(huì)給出一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法. ,根據(jù)極值與的大小即可判斷單調(diào)區(qū)間.這種情況最多有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.當(dāng),用判別式法可能會(huì)產(chǎn)生增根.此時(shí)通常會(huì)解出 .出現(xiàn)這種情況,求解和 .分式可化為一次分式,根據(jù)定義去求出這個(gè)一次分式值域.比如 分離變量和換元再用基本不等式求解也是解決二次分式的常規(guī)方法,再.下面給出一個(gè)具體例子. .首先定義域 解得 .分離分子中的二次項(xiàng)得 . .代入得 函數(shù)值域 根據(jù), 可判斷出單調(diào)區(qū)間 共有5個(gè)單調(diào)區(qū)間順便再算一下函數(shù)零點(diǎn) 有了這些信息,

3、我們很容易畫出函數(shù)大致圖像通過這樣一個(gè)例子,我們意識(shí)到,如果在考試中碰到這樣的函數(shù),分離變量換元的方法計(jì)算量非常大并且需要一定的技巧,浪費(fèi)了我們很多的時(shí)間.而判別式法只能求極值和值域,對(duì)于何處取極值,還需將極值代入原函數(shù).對(duì)于上面的例子,直接代會(huì)函數(shù)運(yùn)算過于復(fù)雜對(duì)于一些簡(jiǎn)單二次分式函數(shù),分離變量是可行的,并且非常快.但是對(duì)于像上面這種二次分式函數(shù),我們找到需要一種計(jì)算量很小的方法.二次分式函數(shù)極值公式很多老師不贊成用導(dǎo)數(shù)計(jì)算二次分式函數(shù)極值.但為了找到一個(gè)簡(jiǎn)便公式,我們必須通過導(dǎo)數(shù)來研究二次分式函數(shù).我們只關(guān)心導(dǎo)數(shù)的符號(hào),導(dǎo)數(shù)分母是個(gè)正數(shù),我們記分子 .函數(shù)取極值時(shí) .我們只需解方程即可得到函

4、數(shù)取極值時(shí)的x值.為了防止錯(cuò)誤,最好驗(yàn)證的得到的x值是否在定義域內(nèi).將方程系數(shù)與比較.發(fā)現(xiàn)N可以寫成三階行列式. .這樣就很容易記住了.對(duì)于上面的例子, 解得.這種方法比分離變量快多了.要求單調(diào)區(qū)間,由于N的符號(hào)和相同,大致畫出 的圖像,只需畫出開口方向,標(biāo)出零點(diǎn)和漸近線即可確定單調(diào)區(qū)間.由此可知二次分式函數(shù)最多可有5個(gè)單調(diào)區(qū)間.如果要求極值,把x代入函數(shù) 計(jì)算量很大,對(duì)于x很復(fù)雜的情況建議用判別式求值域.想到取極值時(shí)的x值可用方程表示,我們也找到一個(gè)關(guān)于y的方程.聯(lián)立 ,消去x整理得 .我們只需特別記住一次項(xiàng)系數(shù).比較發(fā)現(xiàn)這一項(xiàng)也挺好記的:二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)積的和的4倍減一次項(xiàng)系數(shù)積的兩

5、倍對(duì)于上面的例子,將系數(shù)代入該方程得 解得 .根據(jù)已求出的單調(diào)區(qū)間, 比較 和極值的大小即可區(qū)分極大值和極小值.我們重新回顧判別式求值域的方法. 的解即為極值.重新整理方程可得 和剛才的到的方程是一樣的.說明導(dǎo)數(shù)和判別式這兩種方法是等價(jià)的.在考試中,我們碰到的二次分式函數(shù)定義域不是根據(jù)函數(shù)本身的得出的,而是已知條件給定的.在特定的定義域內(nèi)求解函數(shù)值域時(shí),用判別式求解可能會(huì)放大值域.但我們能可用判別式求出極值.再用和漸近線求出單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出值域.下面給出一道有二次分式函數(shù)應(yīng)用的高考例題.(2013浙江)如圖,點(diǎn) 是橢圓 的一個(gè)頂點(diǎn),的長(zhǎng)軸是圓 的直徑. 是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中交圓(1) 求橢圓的方程;(