初中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力缺失分析及培養(yǎng)對策

1、初中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力缺失分析及培養(yǎng)策略宣威市寶山鎮(zhèn)第二中學(xué)校 余俊表摘要數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活。數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題有著內(nèi)在聯(lián)系，基于此，數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識出發(fā)，找出初中生數(shù)學(xué)建模困難、缺失的原因，創(chuàng)設(shè)生動、有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)踐活動中觀察問題、思考問題，理解數(shù)學(xué)。提高初中學(xué)生解應(yīng)用題建模能力的幾種策略：降低起步難度，樹立建模信心；豐富生活背景，增強(qiáng)建模能力；提高學(xué)生的閱讀理解能力；培養(yǎng)多向思維，開闊建模思路；注重模型歸類，提高建模能力；一題多模，多題一模，訓(xùn)練學(xué)生歸納能力；從社會熱點(diǎn)問題出發(fā)，讓學(xué)生直接接觸數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力。關(guān)

2、鍵詞建模能力 興趣培養(yǎng) 生活背景 思維模式 數(shù)學(xué)模型全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中指出“數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)”，從以上敘述中我們可以了解到數(shù)學(xué)模型的重要性，數(shù)學(xué)建模是初中數(shù)學(xué)的重要任務(wù)之一，它是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力的有效途徑和強(qiáng)有力的教學(xué)手段。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地推進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)幾乎滲透到每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面。難怪有人認(rèn)為“海灣戰(zhàn)爭”實(shí)際是一場“數(shù)學(xué)的戰(zhàn)爭”，能用數(shù)學(xué)眼光看待生活，認(rèn)識世界，并綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實(shí)際問題，將成為每個(gè)公民應(yīng)該具備的

3、基本素養(yǎng)。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)從生產(chǎn)、生活等實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，去解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識與能力。但從教學(xué)的反饋信息看，初中學(xué)生對應(yīng)用題普遍感到害怕，特別是文字較多、背景復(fù)雜、數(shù)字較多的應(yīng)用題更是束手無策，遇到這樣的題目就認(rèn)為是難題，感到無從下手。主要原因是初中學(xué)生不能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立解決日常生活實(shí)際情境和非數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)科問題的數(shù)學(xué)模型。通過23年的教學(xué)實(shí)踐，在教學(xué)研討的基礎(chǔ)上吸取別人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺略總結(jié)出了初中生數(shù)學(xué)建模缺乏的一些主要原因，提出在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的一些策略。一、初中生建模能力缺失的原因分析1、缺乏解決問題的自信心，有畏難心理在小學(xué)低段里，數(shù)學(xué)主要是加減乘除

4、的運(yùn)算，學(xué)生只要細(xì)心點(diǎn)，一般能考高分。到高段出現(xiàn)應(yīng)用題后，由于一些學(xué)生對應(yīng)用題的理解能力較弱，數(shù)學(xué)成績明顯下降，從而導(dǎo)致學(xué)生對應(yīng)用題產(chǎn)生懼怕心理。有的學(xué)生看到應(yīng)用題就當(dāng)作難題，認(rèn)為自己肯定做不來。學(xué)生對解決實(shí)際問題缺乏自信心，這種不良心理直接影響到初中用建模思想解應(yīng)用題的能力。其次，新課程與原教材相比，數(shù)學(xué)實(shí)際問題的文字?jǐn)⑹龈诱Z言化，更貼近現(xiàn)實(shí)生活，題目也比較長，數(shù)量也比較多，數(shù)量關(guān)系顯得分散隱蔽。因此，學(xué)生在面對一大堆非形式化的材料，感到很茫然，不知從何下手，產(chǎn)生懼怕數(shù)學(xué)應(yīng)用題的心理。如在信息的加工處理過程中，受自身閱讀能力以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度的影響，即使讀懂題目，也無法把應(yīng)用題中包

5、含的數(shù)學(xué)對象間的復(fù)雜關(guān)系線性化，從而無法解題；在信息的提煉過程中，受學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力的影響，無法把實(shí)際問題與對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來。一旦學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，只要看到閱讀量大的題目，就會影響到閱讀的興趣；甚至一些學(xué)生遇到這類題，連題目都沒有讀一遍，總認(rèn)為難，采取的行動總是放棄。2、思維定勢思維定勢是由先前活動而造成的一種對活動的特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)或活動的傾向性。在環(huán)境不變的條件下，定勢能夠使人應(yīng)用已掌握的方法迅速地解決問題，而在情境已發(fā)生變化時(shí)，它則會妨礙人們采用新的解決方法。由于小學(xué)應(yīng)用題比較簡單，采用算術(shù)方法解題可直接寫出計(jì)算的式子。而初中里的應(yīng)用題背景更加復(fù)雜，很難直接寫出計(jì)算的式子。要

6、通過合理設(shè)元找到變量與常量的關(guān)系，通過解方程（組）、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)方法來解決。由于小學(xué)算術(shù)法的思維定勢，阻礙了學(xué)生用建模思想來解應(yīng)用題的思維。3、同類數(shù)量關(guān)系不清楚用方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出同類量之間的數(shù)量關(guān)系，由于一些學(xué)生對同類量關(guān)系沒搞清楚，如多、少、倍、分、早、遲、快、慢等，從而影響解題的正確性。例如：八年級學(xué)生去距離學(xué)校10千米的博物院參觀，一部分同學(xué)騎自行車先走，過了20分鐘后，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)。已知汽車的速度是騎車的同學(xué)的2倍，求騎車同學(xué)的速度？針對這類問題，學(xué)生不理解“先走同時(shí)到”，“先走后到”，“先走先到”的題目含意；找不到數(shù)量關(guān)系，特別是“過了20分鐘

7、后”這句話難以理解。4、不理解實(shí)際問題中的一些術(shù)語由于數(shù)學(xué)應(yīng)用題中往往有許多其他知識領(lǐng)域的名詞術(shù)語，學(xué)生與這些術(shù)語有關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)較少，不理解術(shù)語的含義，從而讀不懂題目，更無法正確理解題意。例如實(shí)際生活中的利率、利潤、打折、保險(xiǎn)金、保險(xiǎn)費(fèi)、納稅率、折舊率等概念，如果這些基本的概念都搞不懂，那么涉及這些概念的實(shí)際問題就無法正確理解題意，更談不上解決問題。例如：關(guān)于個(gè)人所得稅法的問題隨著我國法制制度的逐步健全，公民享有充分的權(quán)利和義務(wù)，依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，中華人民共和國個(gè)人所得稅法規(guī)定，公民全月的工資、獎金等所得收入不超過1600元的不必納稅；超過1600元的部分為全月應(yīng)納稅所得額（應(yīng)該納

8、稅的工資、薪金收入），此項(xiàng)稅款按下表分段進(jìn)行計(jì)算：應(yīng)納稅所得額稅率不超過500元部分5%超過500元到了2000元部分10%超過2000元到了5000元部分15%超過5000元到了10000元部分20%（1）若某人一個(gè)月的收入為2300元，則應(yīng)納稅：500×5%+200×10%=45（元），（2）若某人上月繳了250元的稅，說明他上月的收入在世界上3600元納稅額為500×5%+1500×10%=175（元），若沒超過3600元的部分為X元，則:X·15%=250-175X=500于是知道這個(gè)人上月的收入是4100元。本問題學(xué)生不熟悉的名詞術(shù)語

9、是：全月應(yīng)納稅額、稅率。由于本題是函數(shù)中的分段函數(shù)，學(xué)生不理解工資、資金的那部分納稅時(shí)稅率是5%，10%，15%，20%，對應(yīng)的是哪部分，而是把所有的工資、資金收入除去1600元后，不超過500元按5%納稅，超過500元不超過2000元按10%納稅，而不知道要逐級納稅。這就是學(xué)生不懂題目，不理解題意所產(chǎn)生的錯(cuò)解。特別是某人繳250元的稅，不知道上月的收入在3600元到6600元之間，這是解此類題的一個(gè)難點(diǎn)。5、不善發(fā)現(xiàn)隱含條件有些應(yīng)用題的背景較復(fù)雜，一些具有關(guān)鍵意義的特征被其他因素所掩蓋，學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)隱含條件，從而很難找到數(shù)量關(guān)系中的“等量關(guān)系”，導(dǎo)致無法列出方程（組）或函數(shù)關(guān)系。例如：一列火

10、車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20S的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10S。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長度？若能，火車的長度是多少？若不能，請說明理由。這是一道需要對兩種結(jié)果進(jìn)行判斷的問題。設(shè)火車長Xm，垂直向下的燈光照在火車上10S，即從火車頭經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)到火車尾經(jīng)過這點(diǎn)用時(shí)10S，車速為m/s，另一方面，粗看題目容易誤認(rèn)為火車速度是5m/S,（即300÷20），于是得到火車長150m。仔細(xì)考慮會發(fā)現(xiàn)：火車經(jīng)過300米的隧道是指從火車頭進(jìn)隧道起至火車尾出隧道止，這20S的時(shí)間火車經(jīng)過的路程是（300+X）m，因此車速為（300+X）

11、47;20，于是：=X=3007、不會采用有效的方法處理實(shí)際問題中復(fù)雜的數(shù)據(jù)在許多問題中，涉及到的數(shù)據(jù)多且雜亂，學(xué)生面對如此多而雜亂的數(shù)據(jù)感到無從下手，不知該把哪個(gè)數(shù)據(jù)作為思維的起點(diǎn)，從而找不到解決問題的突破口。例如：某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需要用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利潤700元。生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需要用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元。（1）按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？（2）生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤y元，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出x與y,試寫

12、出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲利潤最大？最大利潤是多少？解：（略）本題是一道從利潤角度安排生產(chǎn)計(jì)劃的實(shí)際應(yīng)用題，這道題是制訂生產(chǎn)方案，而方案的制訂主要受生產(chǎn)原料的制約，在現(xiàn)有甲、乙兩種材料分別為360千克和290千克的情況下，題目數(shù)量眾多，許多學(xué)生不采取有效的方法梳理這些量的關(guān)系，從而不能正確用這些已知量解決問題。8、不會靈活設(shè)未知數(shù)列方程解應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生習(xí)慣采用直接設(shè)元，即求什么就設(shè)什么。但對一些復(fù)雜的問題，直接設(shè)元很難表達(dá)相關(guān)的量，或找出的關(guān)系式很復(fù)雜，從而就很難用建模思想解決實(shí)際問題。9、缺乏生活經(jīng)驗(yàn)由于初中生缺乏一些生活常識，對應(yīng)用題中的一些名詞不理

13、解，從而使審題受到阻礙，導(dǎo)致學(xué)生不能解題或解題產(chǎn)生錯(cuò)誤。如單循環(huán)賽、上漲幅度、采光影響、翻二番、% 0等，這些概念很多學(xué)生都是不清楚的。二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略1、降低起步難度，樹立建模信心為了克服學(xué)生對應(yīng)用題的懼怕心理，教師要根據(jù)學(xué)生實(shí)際，降低起步難度。例題要分析清楚，講解仔細(xì)，分步到位；對較難的應(yīng)用題，要設(shè)置過渡性問題，讓學(xué)生分層遞進(jìn)。例如：已知一個(gè)容器內(nèi)盛滿純酒精50L，第一次倒出一部分純酒精后，用水加滿，第二次又倒出同樣多的酒精溶液，再用水加滿，這時(shí)容器中的酒精溶液含純酒精32L，求每次倒出溶液的升數(shù)。（1）已知一個(gè)容器內(nèi)盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為90%的酒精溶液50L，求容器中含有的純酒精

14、為多少？（2）已知一個(gè)容器內(nèi)盛有純酒精50L，倒出10L后用水加滿，酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)是多少？（3）已知一個(gè)容器內(nèi)盛有純酒精50L，倒出10L后用水加滿，加滿后再倒出10L，求倒出后容器中還剩多少純酒精？為了降低本題難度，我又設(shè)置以下兩個(gè)問題：（1）設(shè)每次倒出溶液x升，則第一次倒出酒精_升，容器內(nèi)剩酒精_升；用水加滿后，容器內(nèi)酒精溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為_。（2）第二次倒出x升酒精溶液中含有純酒精_升，容器中還剩純酒精_升（用x的代表式表示）。學(xué)生閱讀思考，教師引導(dǎo)學(xué)生分析以上問題，這類問題就迎刃而解了。學(xué)生練習(xí)設(shè)置要有梯度，從易到難，循序漸近。課外作業(yè)采用分層布置：A組基礎(chǔ)題；B組加強(qiáng)題；C組提高題，讓

15、學(xué)生根據(jù)自己的現(xiàn)有能力挑選作業(yè)。更重要的是單元測試題不能偏難，要注重基礎(chǔ)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的快樂，這樣才能提高學(xué)生解應(yīng)用題的信心。2、豐富生活背景，增強(qiáng)建模意識數(shù)學(xué)建模問題往往不是單純的數(shù)學(xué)問題，它涉及到其它學(xué)科知識及生活知識。所以教師要查閱資料、收集信息，千方百計(jì)拓寬自己的知識面，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生多接觸社會，豐富自己的生活閱歷，為正確建立數(shù)學(xué)模型，奠定必要的基礎(chǔ)。為了培養(yǎng)學(xué)生對解應(yīng)用題的興趣，教師要根據(jù)學(xué)生已有知識改編書上例題背景，盡可能設(shè)置與學(xué)生息息相關(guān)的生活背景，捕捉社會熱點(diǎn)問題讓學(xué)生去解決問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無處不在，生活中離不開數(shù)學(xué)，從而增強(qiáng)學(xué)生的建模意識。例如：把面積為4平方米的長方形

16、割成如圖所示的正方形和長方形兩個(gè)部分，求正方形的邊長。我把它設(shè)計(jì)成貼近學(xué)生生活的實(shí)際背景。為了美化校園，學(xué)校決定把面積為400平方米的長方形草坪分割成如圖所示的正方形和長方形兩部分，在正方形內(nèi)種上茶花。為保證陽光充足，每0.5平方米內(nèi)種一株茶花，請你為學(xué)?？倓?wù)處算一算，需購買多少株茶花？30xxx分析：欲求購買茶花株數(shù)，要先求出正方形面積，求正方形面積就是正方形邊長。此題與書上的例題實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題，只是設(shè)計(jì)了更豐富的生活背景，不僅激發(fā)學(xué)生的解題興趣，還能更好地培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，可謂一舉兩得。3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)的閱讀、理解能力數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)閱讀。作為數(shù)學(xué)教師，不僅要重視培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力

17、，還要注重教給學(xué)生科學(xué)有效的數(shù)學(xué)閱讀方法，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)閱讀的重要性，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)閱讀的樂趣及對學(xué)習(xí)的益處，從而在興趣的驅(qū)動下，自覺主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀。在數(shù)學(xué)閱讀中，對問題中的重點(diǎn)語句、關(guān)鍵詞認(rèn)真的加以分析，將問題轉(zhuǎn)化為符號語言，進(jìn)而挖掘其所含的數(shù)學(xué)知識。4、培養(yǎng)多向思維，開闊建模思路數(shù)學(xué)建模的問題都有假設(shè)條件及要達(dá)到的目標(biāo)，建模就是要將條件與目標(biāo)聯(lián)系起來，這種聯(lián)系是多向的，要完成它，不僅需要順向思維，也需要逆向思維，更需要多向思維的結(jié)合。教師要通過學(xué)生對同一個(gè)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)不同的生活背景，如給出方程、函數(shù)編寫應(yīng)用題，讓學(xué)生自主探究，合作交流，激發(fā)思維，幫助學(xué)生克服思維定勢，改變思維角度，

18、從而開闊建模思路。例：對一次函數(shù)設(shè)置不同的生活背景。學(xué)生通過討論，設(shè)置了多種不同的生活背景。（1）彈簧原長10cm，每掛1千克的物體彈簧伸長5cm，則彈簧長度y(cm)與掛物重x千克的函數(shù)關(guān)系為。（2）“五四”青年節(jié)，我們學(xué)校準(zhǔn)備舉辦書畫展，按規(guī)定每班選送5幅作品，另選10幅青年教師作品參展，則作品展覽總數(shù)y與班級數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為。（3）某城市出租車起步價(jià)為10元，超過規(guī)定的公里數(shù)外，每公里再加5元，則出租車費(fèi)y與超出規(guī)定公里數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為。（4）下課后，小敏在距旗桿10米處活動。上課鈴響后，小敏以每秒5米的速度離開旗桿向教室跑去，則小敏離開旗桿的距離y（米）與行走時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為。

19、（5）校園里有一個(gè)長為5米，寬為2米的長方形花壇，現(xiàn)把花壇加寬x米以擴(kuò)大花壇面積，則花壇面積y與x的函數(shù)關(guān)系為。5、注重模型歸類，提高建模能力初中階段常用的數(shù)學(xué)模型有方程和不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、三角形模型等。教師要注重模型的歸類，特別是學(xué)業(yè)考試復(fù)習(xí)，更應(yīng)根據(jù)不同模型進(jìn)行分類復(fù)習(xí)。使學(xué)生能根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確數(shù)學(xué)關(guān)系，正確運(yùn)用方程思想、函數(shù)思想，解決不同的實(shí)際問題。在同一個(gè)生活背景下，讓學(xué)生靈活應(yīng)用方程、不等式、函數(shù)等來解決不同的實(shí)際問題，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。例1、長征中學(xué)七年級、八年級學(xué)生共400人，學(xué)校決定組織兩年級學(xué)生到紅軍長征

20、教育基地接受教育，并安排10位教師同行，經(jīng)學(xué)校與汽車出租公司協(xié)商，有兩種型號的客車可供選擇，其座位數(shù)（不含司機(jī)座位）與租金如下表，學(xué)校決定租用客車10輛。大巴中巴座位數(shù)（個(gè)/輛）4530租金（元/輛）800500為保證每人都有座位，設(shè)租大巴x輛，根據(jù)要求，請你設(shè)計(jì)出可行的租車方案共有哪幾種？設(shè)大巴、中巴的租金共y元，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，在上述租車方案中，哪種租車方案的租金最少？最少租金為多少元？解：據(jù)題意得 解得，又因?yàn)檐囕v數(shù)只能取整數(shù)，所以租車方案共3種：租大巴8輛，中巴2輛；租大巴9輛，中巴1輛；租大巴10輛。為一次函數(shù)，且y隨x的增大而增大，x取8時(shí)，y最小。元。答：租大巴8輛，

21、中巴2輛時(shí)租金最少，租金為7400元。例2、長征中學(xué)決定組織七年級、八年級學(xué)生到紅軍長征教育基地接受教育，并安排10位教師同行。了解到基地團(tuán)體購買票價(jià)如下：購票人數(shù)15051100101200200以上每人門票(元)70656050已知七年級師生少于200人，若兩年級分開購票，則兩年級共付門票22480元；若兩年級一起購票，則兩年級共付門票20500元，試求七、八年級師生各多少人？解：設(shè)七年級師生a人，八年級師生b人由題意得 即 解得 答：七年級師生共198人，八年級師生共212人。6、一題多模、多模一題，訓(xùn)練學(xué)生歸納能力（1）一題多模，現(xiàn)實(shí)生活中問題是很復(fù)雜的，有些問題表面看來毫無相同之處，但抽象為數(shù)學(xué)模型，本質(zhì)都是相同的，這些問題都可以用類似的方法解決。（2）有些現(xiàn)實(shí)問題，抽象成數(shù)學(xué)問題，往往不只是一個(gè)模型，不同的模型解法不同，難易程度也不一樣 ，在進(jìn)行一題多模訓(xùn)練的同時(shí)，還要注意通過對比，構(gòu)造易于求解的模型。例如：在初三學(xué)完相似三角形后，為鞏固三角形的有關(guān)知識，讓學(xué)生做：有一個(gè)池塘要測量池塘兩端A、B的距離，直接測量有障礙，用什么方法測出AB的長度？解：（略）。建模（1）：構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問題，求出AB;建模（2）：構(gòu)造等腰三角形，求出AB;建模（3）：構(gòu)造三角形及