全等三角形總復習課件

1、全等三角形（復習）全等三角形（復習）一、全等三角形一、全等三角形1. 1.什么是全等三角形？一個三角形經過哪些變化可以得什么是全等三角形？一個三角形經過哪些變化可以得到它的全等形？到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性質？：全等三角形有哪些性質？能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。一個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全個三角形經過平移、翻折、旋轉可以得到它的全等形等形（1 1）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。（2 2）全等三角形的周長相等、面積相等。）全等三角形的周長相等、面積相等。（3 3）全等三

2、角形的對應邊上的對應中線、角平分）全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。線、高線分別相等。2.全等三角形的判定全等三角形的判定: 一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL一般三角形一般三角形 全等的條件全等的條件：1.1.定義（重合）法；定義（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的條件：的條件：HLHL. .包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形狀

3、的三角形狀的三角形解題解題中常中常用的用的4 4種種方法方法3.三角形全等的證題思路：三角形全等的證題思路： 已知一邊一角 ASA找夾邊已知兩角 SAS找夾角已知兩邊SSS找另一邊HL找直角 SAS找夾角的另一邊邊為角的鄰邊AAS找任一角ASA找夾角的另一角AAS找邊的對角AAS找任一邊邊為角的對邊1. 1.證明兩個三角形全等，要結合題目的條件和結論，選證明兩個三角形全等，要結合題目的條件和結論，選擇恰當的判定方法擇恰當的判定方法2.2.全等三角形，是證明兩條全等三角形，是證明兩條線段線段或兩個或兩個角角相等的重要方相等的重要方法之一，證明時法之一，證明時 要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全

4、等的三要觀察待證的線段或角，在哪兩個可能全等的三角形中。角形中。 分析分析要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺要證兩個三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。什么條件。 有有公共邊公共邊的，的，公共邊公共邊一定是對應邊，一定是對應邊， 有有公共角公共角的，的，公共角公共角一定是對應角，有一定是對應角，有對頂角對頂角，對頂角對頂角也是對應角也是對應角總之，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路?？傊?，證明過程中能用簡單方法的就不要繞彎路。例題選講例題選講1 1：如圖，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么補充下列一具條件后，仍無法判定ABEACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE

5、=CD DAB=ACB2 2：已知：如圖，CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點，1=2，圖中全等的三角形共有( )A1對 B2對 C3對 D4對 D3. 3.如圖：在如圖：在ABCABC中，中，C =90C =900 0，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB交交ABAB于于E E，BC=30BC=30，BDBD：CD=3CD=3：2 2，則，則DE=DE= 。12cABDE4 4 已知：已知： ACBCACBC，BDADBDAD，AC=BD. AC=BD. 求證：求證：BC=AD.BC=AD.ABCD5 5:下面條件中, 不能證出RtABCRtA BC的是 (

6、A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC 6：如圖，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你添加一個適當的條件： ，使ADB CEB。BE=BDBA=BCDA=EC7：求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。：求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知：如圖，已知：如圖，AD是是ABC 的中線，求證：的中線，求證：)(21ACABADABCDE證明：中線延長它一倍中線延長它一倍課堂練習課堂練習1. 1.已知已知BDBDCDCD，ABDABD

7、ACDACD，DEDE、DFDF分別分別垂直于垂直于ABAB及及ACAC交延長線于交延長線于E E、F F，求證：，求證：DEDEDFDF2.點A、F、E、C在同一直線上，AFCE，BE = DF，BEDF，求證：ABCD。證明：4. 4.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B B，C C，D D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=ADBE=AD EDCAB證明證明： ABC和和ECD都是等邊三角形都是等邊三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC

8、 BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS) BE=AD EDCAB3.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=AD變式：變式：以上條件不變，將以上條件不變，將ABC繞點繞點C順時針旋轉一定順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉當順時針旋轉10時，時， 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=AD變式：變式：以上條件不變，將以上條件不變，將ABC繞點繞點C順時針旋轉一定順時針旋轉一

9、定角度，以上的結論還成立嗎？角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉當順時針旋轉60時，時，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=AD變式：變式：以上條件不變，將以上條件不變，將ABC繞點繞點C順時針旋轉一定順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉當順時針旋轉120時，時，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=AD變式：變式：以上條件不變，將以上條件不變，將ABC繞

10、點繞點C順時針旋轉一定順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉當順時針旋轉180時，時，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：在一條直線上求證：BE=AD變式：變式：以上條件不變，將以上條件不變，將ABC繞點繞點C順時針旋轉一定順時針旋轉一定角度，以上的結論還成立嗎？角度，以上的結論還成立嗎？當順時針旋轉當順時針旋轉240時，時，EDCAB4.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，當都是等邊三角形，當ABC繞繞點點C順時針旋轉順時針旋轉時，連接時，連接BE，DA；結論；結論BE

11、=AD還成立還成立嗎？若成立請加以證明。嗎？若成立請加以證明。EDCABEDCAB 引申：引申：.已知，已知，ABC和和ECD都是等邊三角形，且點都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上，在一條直線上，AC與與BE相交于相交于M，CE與與AD相交于相交于N，試判定，試判定的形狀的形狀 EDCABMN解：解：是等邊三角形是等邊三角形證明：證明：（）先證（）先證ACE（）證明（）證明BCE ACDBECADC（）在證（）在證MCE NCDCM=CN5：如圖，已知：如圖，已知E在在AB上，上，1=2， 3=4，那么那么AC等于等于AD嗎？為什么？嗎？為什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由

12、：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD6：如圖，已知，如圖，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。請問圖中有那幾對全等三角形？請任選一對給予請問圖中有那幾對全等三角形？請任選一對給予證明。證明。FEDCBA答：答：ABC DEF證明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）7：如圖，已知，：如圖，已知，EGAF，請你從下面三個

13、條件中，再，請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推出一個正選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推出一個正確的命題。（只寫出一種情況）確的命題。（只寫出一種情況）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知： EGAF 求證：求證：GFEDCBA高高8.如圖，在等邊如圖，在等邊ABC中，中，D，E，F(xiàn)分別為分別為AB，BC，CA上的點，（不是中點）且上的點，（不是中點）且ADBECF，圖中全等三角形有那些？圖中全等三角形有那些？解：共六個解：共六個AFEDCBGIH BEH CFIBH BCI CAGBE BCF CADHF BID CGEBF BCD CAE8引申

14、如圖，在等邊引申如圖，在等邊ABC中，中，D，E，F(xiàn)分別為分別為AB，BC，CA上的上的點，（不是中點）且點，（不是中點）且DEF也是等邊三角形，圖中（）除已知相也是等邊三角形，圖中（）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移）這些相等的線段可以看出平移 旋轉而得到，如旋轉而得到，如AE和和BF，把，把AE繞這繞這A點沿順時針方向選旋轉點沿順時針方向選旋轉，

15、再沿著再沿著AB方向平移使點方向平移使點A至點至點F即可即可得到得到BF，其余類同，其余類同AFEDCB8引申如圖，在等邊引申如圖，在等邊ABC中，中，D，E，F(xiàn)分別為分別為AB，BC，CA上的上的點，（不是中點）且點，（不是中點）且DEF也是等邊三角形，圖中（）除已知相也是等邊三角形，圖中（）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，等的邊外，還有那些相等的線段？（）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移）這些相等的線段可以看出

16、平移 旋轉而得到，如旋轉而得到，如AE和和BF，把，把AE繞這繞這A點沿順時針方向選旋轉點沿順時針方向選旋轉，再向下然后再向左平移使點再向下然后再向左平移使點A至點至點F即可得到即可得到BF，其余類同，其余類同AFEDCB.閱讀理解閱讀理解（）如果兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等（）如果兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等1閱讀：閱讀：我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等。等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等。（）如果兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（）如果兩個三角

17、形均為鈍角三角形，可證它們全等（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等2證明：證明：請你從（）（）選擇一個加以證明請你從（）（）選擇一個加以證明（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等（）如果兩個三角形均為銳角三角形，可證它們全等已知：已知：ABC和和ABC均為銳角均為銳角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求證：，求證：ABC ABC，ABCDABC已知：已知：ABC和和ABC均為銳角均為銳角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求證：，求證：ABC ABC，ABCDABCD 證明：分別作證明：分別作B，B兩點作兩點作BDCA于

18、于D，BDCA于于D，先證：先證：ABD ABD 再證：再證：ABC ABC（3）由此你得出一個什么結論：）由此你得出一個什么結論：結論：兩邊及其中一邊的對邊分別相等的兩個銳角（直結論：兩邊及其中一邊的對邊分別相等的兩個銳角（直角三角形或者鈍角三角形）三角形是全等三角形角三角形或者鈍角三角形）三角形是全等三角形10 已知命題：如圖點已知命題：如圖點A，D，B，E在同一條直線上，且在同一條直線上，且ADBE，A=FDE，則，則ABC DEF，判定這個命題是真命題還是假命，判定這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題請加以證明；如果是假命題，請題，如果是真命題請加以證明；如果是假命題，請 添加一個

19、適當添加一個適當的條件使它稱為真命題，并加以證明的條件使它稱為真命題，并加以證明AFCEDB解答：題設命題是假命題；可以下解答：題設命題是假命題；可以下添加一個條件均可證明三角形全等添加一個條件均可證明三角形全等（1）當）當ACDF（）（）CBAE（）（）CF證明：略證明：略1 已知：如圖線段已知：如圖線段AC與與BD 相交與點相交與點O，連接，連接AB，DC，E為為OB的中點，的中點，F(xiàn)為為OC的中點，連接的中點，連接EF；ABCDOFE（1）添加條件）添加條件A=D，OEF=OFE，求證：，求證：ABDC（）分別將（）分別將AD記為記為；OEFOFE記為記為；AB=DC記為記為；添加條件；

20、添加條件，以，以為結論構成命題為結論構成命題1；添加條；添加條件件，以，以為結論構成命題為結論構成命題2，命題，命題1是是命題；命題命題；命題2是是命題（選命題（選“真真”或或“假假”）證明：（證明：（1）略）略（）命題（）命題1為真命題；可以為真命題；可以AAS證明；命題證明；命題2是假命題，此命是假命題，此命題的條件為題的條件為SSA，不能證明全等，不能證明全等13 已知點已知點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，且在同一條直線上，且AECF，過，過EF兩兩點分別作點分別作DEAC，BFAC，且，且ABCD，（）求證：，（）求證：BD平平分分 EF（2）若將）若將DEC的邊的邊EC沿沿AC方向移

21、動，變化為方向移動，變化為2時，其余時，其余條件不變，上述結論是否成立，說明理由條件不變，上述結論是否成立，說明理由ADBCEFG圖圖1ADBCEFG圖圖2E證明：在證明：在DC上截取上截取DEDB，連接連接AEACDB。如圖在三角形。如圖在三角形ABC中，中，BC上的高為上的高為AD，且，且B=2C求證：求證：CD=ABBD15 已知已知AFD和和CEB中，點中，點A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有在同一條直線上，有如下四個論斷：（如下四個論斷：（1）ADCB（）（）AECF （3）B=D（4)AD /BC ,請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，編一請用其中三個作為條件，余下一個作為結論，

22、編一道數學問題，并寫出解答過程。道數學問題，并寫出解答過程。其中其中的組合是錯誤的，無法證明的組合是錯誤的，無法證明ABCEFD解：解：由（由（1）（）（2）（）（3）為條件（）為條件（4）為結論）為結論由（由（1）（）（2）（）（4）為條件（）為條件（3）為結論）為結論由（由（1）（）（3）（）（4）為條件（）為條件（2）為結論）為結論由（由（2）（）（3）（）（4）為條件（）為條件（1）為結論）為結論下面我們以下面我們以為例寫出已知，求證，并進行證明為例寫出已知，求證，并進行證明 已知：已知：AECF ，B=D，AD /BC 求證：求證：AD=BC證明：略證明：略16 在正方形在正方形AB

23、CD中，中，E是是AD是中點，是中點，F(xiàn)是是BA的延長線的一點，的延長線的一點，AF=AE，已知，已知ABE （）在圖中可以通過平移，翻折，旋轉（）在圖中可以通過平移，翻折，旋轉中的哪一種方法，使中的哪一種方法，使ABE變到變到的位置的位置FEDCBA（）線段（）線段BE與與DF有什么位置關系？有什么位置關系？證明你的結論證明你的結論解：圖中通過繞解：圖中通過繞A點按逆時針方向旋轉點按逆時針方向旋轉，使使ABE變到變到的位置（圖）的位置（圖）理由：延長理由：延長BE交交DF于點于點G，F(xiàn)EDCBAGABE ABE=ADF 又又AEB=DEGDGB=DABBEDF17。如圖在三角形。如圖在三角形

24、ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是過點是過點A的一條直線，且的一條直線，且BC兩點在兩點在AE的異側，的異側，BDAE于于D，CEAE于點于點E求證：（）求證：（）=DE +CECBAED提示證明：提示證明：ABD ACE（AAS）證明：證明：17。如圖在三角形。如圖在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是過點是過點A的一條直線，且的一條直線，且BC兩點在兩點在AE的異側，的異側，BDAE于于D，CEAE于點于點E求證：（）求證：（）=DE +CECBAED（）若直線（）若直線AE繞點繞點A旋轉到右旋轉到右圖位置時，（圖位置時，（BDCE），其余條），其余條件不變，問

25、件不變，問BD與與DE和和CE的關系的關系如何？請直接寫出結果，不需證如何？請直接寫出結果，不需證明明提示證明：提示證明：ABD ACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE17。如圖在三角形。如圖在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是過點是過點A的一條直線，且的一條直線，且BC兩點在兩點在AE的異側，的異側，BDAE于于D，CEAE于點于點E求證：（）求證：（）=DE +CECBAED（）若直線（）若直線AE繞點繞點A旋轉到右旋轉到右圖位置時，（圖位置時，（BDCE），其余條），其余條件不變，問件不變，問BD與與DE和和CE的關系的關系如何？請直接寫出結果，不需證如何？請直接寫

26、出結果，不需證明明（）若直線（）若直線AE繞點繞點A旋轉到右圖位置時，（旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余），其余條件不變，問條件不變，問BD與與DE和和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需的關系如何？請直接寫出結果，不需證明證明提示證明：提示證明：ABD ACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE17。如圖在三角形。如圖在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是過點是過點A的一條直線，且的一條直線，且BC兩點在兩點在AE的異側，的異側，BDAE于于D，CEAE于點于點E求證：（）求證：（）=DE +CECBAED（）若直線（）若直線AE繞點繞點A旋轉到右旋轉到右圖位置時，（圖位

27、置時，（BDCE），其余條），其余條件不變，問件不變，問BD與與DE和和CE的關系的關系如何？請直接寫出結果，不需證如何？請直接寫出結果，不需證明明（）若直線（）若直線AE繞點繞點A旋轉到右圖位置時，（旋轉到右圖位置時，（BDCE），其余），其余條件不變，問條件不變，問BD與與DE和和CE的關系如何？請直接寫出結果，不需的關系如何？請直接寫出結果，不需證明證明（）歸納（）（）（）請用簡潔的語言表達（）歸納（）（）（）請用簡潔的語言表達BD，DE和和CE的關系的關系歸納：當歸納：當B，C在在AE的異側時，的異側時，BDDE+CE； 當當B，C在在AE的同側時，的同側時，BD=DE-CE拓展題拓展

28、題1.如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEFBCAFED2.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;ECAB21D(2)怎樣變換ABC和AED中的一個位置,可使它們重合?(3)觀察ABC和AED中對應邊有怎樣的位置關系?(4)試證EDBC(1)觀察圖中有沒有全等三角形?3.如圖如圖,已知已知ACBD，EA、EB分別平分分別平分CAB和和DBA，CD過點過點E，則，則AB與與AC+BD相等嗎？請相等嗎？請說明理由。說明理由。ACEBD要證明要證明兩條線段的和與一條線兩條線段的和與一條線段相等段相等時常用的兩種方法：時常用的兩種方法：1、可在、可在長線段上截取長線段