數(shù)列知識點典型例題

1、等差(等比數(shù)列知識網(wǎng)絡111111(2 (2 (1 (1 ( 22( n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q -=-=+-=+=+=+=+兩個基 等比數(shù)列的定義 本數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 等比數(shù)列 數(shù)列 數(shù)列的分類 數(shù)列 數(shù)列的通項公式 函數(shù)角度理解的概念 數(shù)列的遞推關系 等差數(shù)列的定義 等差數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列 等差數(shù)列的求和公式 等差數(shù)列的性質(zhì) 1111(1 (111(1 (n n n n m p q a a q a q q q q S na q a

2、 a a a m n p q -=-=+=+等比數(shù)列的求和公式 等比數(shù)列的性質(zhì) 公式法 分組求和 錯位相減求和 數(shù)列 裂項求和 求和 倒序相加求和 累加累積歸納猜想證明 分期付款 數(shù)列的應用 其他 一、考點回顧1.數(shù)列的概念,數(shù)列的通項公式與遞推關系式,等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關公式和性質(zhì)。 2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比數(shù)列常有三種方法:(1定義法:對于 n2的任意自然數(shù) , 驗證 11(/ n n n n a a a a -為同一常數(shù)。 (2通項公式法:若 1(1 ( n k a a n d a n k d =+-=+-, 則 n a 為等差數(shù)列; 若,則 n a 為等比數(shù)列;中項公式

3、法:驗證都成立。 3.在等差數(shù)列 n a 中 , 有關 S n 的最值問題常用鄰項變號法求解:(1當 10a >,d<0時,滿足 的項數(shù) m 使得 m S 取最大值 .(2 當 10a <,d>0時,滿足 的項數(shù) m 使得 m S 取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時 , 注意轉化思想的應用。4.數(shù)列通項公式的常用方法:累加法、累乘法、迭代法(或換元法 。數(shù)列求和的常用方法:公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序相加法、累加累積 法、歸納猜想證明法等。5.數(shù)列的綜合應用:函數(shù)思想、方程思想、分類討論等思想在解決數(shù)列綜合問題時常常用到。 數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等

4、式的綜合、用數(shù)列知識解決實際問題等內(nèi)容。 6.注意事項:證明數(shù)列 n a 是等差或等比數(shù)列常用定義,即通過證明 11-+-=-n n n n a a a a 或 11-+=n n n n a aa a 而得。 注意 n s 與 n a 之間關系的轉化。如:n a, ,11-n n s 21=n n n a =-+nk k ka aa 211 (二、經(jīng)典例題:題型一:等差、等比數(shù)列的判定例 1:已知數(shù)列 an 滿足 a 1=2a , a n =2a -12-n a a (n2 .其中 a 是不為 0的常數(shù),令 b n =a a n -1。求證:數(shù)列 bn 是等差數(shù)列。 解: a n =2a -1

5、2-n a a (n2 bn =(11111a a a a a a a a a n n n n -=-=- (n2 bn -b n -1=a a a a a a a n n n 11 (111=- (n2 數(shù)列 bn 是公差為 a1的等差數(shù)列.例 2:已知公比為 3的等比數(shù)列 n b 與數(shù)列 n a 滿足 *, 3N n b n an =, 且 11=a , 判斷 n a 是何種數(shù)列, 并給出證明。解:1111333, 13n n n na a a n n n a n b a a b +-+=-=,即 n a 為等差數(shù)列。題型二:等差、等比數(shù)列的基本運算例 3:設 n a 為等差數(shù)列,公差 d

6、 = -2, n S 為其前 n 項和,若 1011S S =,則 1a =( 練:已知數(shù)列 n a 的前 n 項和 23-=nn S ,求其通項公式 .例 4:設 n a 是等差數(shù)列,若 273, 13a a =,則數(shù)列 n a 前 8項和為( A. 128B. 8064D. 56 練:已知等差數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S ,若 =+=118521221a a a a S ,則 (42例 5:10項,其奇數(shù)項之和為 15,偶數(shù)項之和為 30,則其公差為( A.5 B.4 D. 2 例 6:等差數(shù)列 n a 中, 12910S S a =>, ,則前 項的和最大。 例 7:已知

7、等比數(shù)列 a n 中,(1 若 a 3·a 4·a 5=8,則 a 2·a 3·a 4·a 5·a 6= 32 . (2 若 a 1+a 2=324, a 3+a 4=36,則 a 5+a 6= 4 . (3 若 S 4=2, S 8=6,則 a 17+a 18+a 19+a 20= 32 .練:已知數(shù)列-1, a 1, a 2,-4成等差數(shù)列,-1, b 1, b 2, b 3,-4成等比數(shù)列,則 212b a a -的值是 ( . A . 21 B .-2121或 21 D .41 題型三:求數(shù)列的通項公式類型 1 (1n f a

8、 a n n +=+解法:把原遞推公式轉化為 (1n f a a n n =-+,利用累加法 (逐差相加法 求解。例 : 已知數(shù)列 n a 滿足 11211n n a a n a +=+=, ,求數(shù)列 n a 的通項公式。 解:由 121n n a a n +=+得 121n n a a n +-=+則112322112( ( ( ( 2(1 12(2 1(221 (211 12(1 (2 21(1 1(1 2(1 12(1(1 1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n -=-+-+-+-+=-+-+=-+-+-+-=+-+=-+=

9、 所以數(shù)列 n a 的通項公式為 2n a n =。類型 2 n n a n f a (1=+ 解法:把原遞推公式轉化為(1n f a a nn =+,利用累乘法 (逐商相乘法 求解。 例 : a 1=1, a n =11-n a n n (n2 解: a n =n1類型 3 q pa a n n +=+1(其中 p , q 均為常數(shù), 0 1(-p pq 解法:令 (1x a p x a n n +=+,與已知遞推式比較,解出 x ,轉化為 x a n +是公比為 p 的等比數(shù)列。 例 : a1=1, a n =2a n -1+1 (n2 解: a n +1=2(a n -1+1 變式訓練:

10、已知數(shù)列 an 中, a 1=1, a n +1=22+n na a (n N * ,求該數(shù)列的通項公式。類型 4 nn n q pa a +=+1(其中 p , q 均為常數(shù), 0 1(1(-q p pq 解法:把原遞推公式轉化為 nn n q pa a =-+1,再變?yōu)?11=-+nnn n q a q p qa 求解 已知數(shù)列n a 中,651=a , 11 21(31+=n n n a a ,求 n a解:在 11 21(31+=n n n a a 兩邊乘以 12+n 得:1 2(32211+=+n n n n a a令 nnn a b =2,則 1321+=+n n b b , 應用

11、類型 3解法得:nn b 32(23-=1( + n n 所以nn nn n b a 31(2 21(32-=練: 已知 111, 32n n a a a -=+,求 n a ; a n +1=3(a n -1+1 已知 111, 32nn n a a a -=+,求 n a ;類型 5 遞推公式為 n S 與 n a (即 ( n n S f a = 和 n S 與 n ( n S f n = 的關系式。 解法:這種類型一般利用 -=-2(1(11n S S n S a n n n例 : 數(shù)列 n a 的前 n 項和記為 11, 1, 21(1 n n n S a a S n +=+, 求數(shù)

12、列 na 的通項公式。 13n n a -=類型 6 遞推公式為 n n n qa pa a +=+12(其中 p , q 均為常數(shù)解法:令 (112n n n n ra a p ra a -=-+,與已知遞推式比較,解出 r ,轉化為類型 4的問題。 例 :數(shù)列 n a : , 0(025312N n n a a a n n n =+-+, b a a a =21, ,求數(shù)列 n a 的通項公式。題型四:數(shù)列求和分組求和:若 an 為等差數(shù)列 ,bn 為等比數(shù)列 , 則 an+b n 的前 n 項和 S n =11111246248162n n + , 11111, ,392781 錯位相減:若 an 為等差數(shù)列 ,bn 為等比數(shù)列 , 則 an b n 的前 n 項和可用錯位相減法 . 求和 S n =n n n n 2x x x n x +-裂項相消:利用前后對稱,正負相消來達到求和目的。常見拆項公式有: = (n1-11+n (2 11+n n =n n -+1(1求和:S n =1(1321211+×+×n n 1