向量的加法與減法

1、相等向量與相等向量與相反向量相反向量復習回顧：復習回顧：單位向量單位向量與零向量與零向量向向 量量向量的大小向量的大小( (長度、模長度、模) )向量的方向向量的方向有向線段有向線段平行向量平行向量( (共線向量共線向量) )既有大小又有方向的量叫向量；既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小. .向量的表示向量的表示: :aAB或臺北臺北香港香港上海上海 向量的加法向量的加法F1F2F向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下的作用下,從從E點伸長到了點伸長到了O

2、點點.同時橡皮條在力同時橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點伸長到了點伸長到了O點點.問問:合力合力F與力與力F1、F2有怎樣的關系？有怎樣的關系？F1+F2=F力力F對橡皮條產生的效果，與力對橡皮條產生的效果，與力F1和和F2共同作用產共同作用產生的效果相同，物理學中把力生的效果相同，物理學中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.F1F2F1F2F FEOOE例如例如:橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下的作用下,從從E點伸長到了點伸長到了O點點.同時橡皮條在力同時橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點伸長到了點伸長到了O點點.問問:合力合力F與力與力F1、F2有怎樣的關系？有怎

3、樣的關系？F1+F2=FF是以是以F1與與F2為鄰邊所形成的為鄰邊所形成的平行四邊形的對角線平行四邊形的對角線上述事例表明，兩個向量可以相加，上述事例表明，兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量并且兩個向量的和還是一個向量. .一般地，求兩個向量和的運算，叫做一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量的加法. .向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法AC2.它們之們有聯(lián)系嗎它們之們有聯(lián)系嗎? 1.兩種方法做出的結果一樣嗎兩種方法做出的結果一樣嗎?向量加法的定義向量加法的定義任意給出兩個向量任意給出兩個向量a與與b.如何求如何求a+

4、b.ababBa + babBOACa + bACBCABbbaba向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法三三 角角 形形 法法 則則:平行四邊形法則平行四邊形法則:AC2.它們之們有聯(lián)系嗎它們之們有聯(lián)系嗎? 1.兩種方法做出的結果一樣嗎兩種方法做出的結果一樣嗎?向量加法的定義向量加法的定義任意給出兩個向量任意給出兩個向量a與與b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.

5、向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們將向量平移使得它們首尾相連首尾相連方法鞏固方法鞏固:2.和向量即是第一個向量的和向量即是第一個向量的首首指向第二個向量的指向第二個向量的尾尾向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到將向量平移到同一起點同一起點2.和向量即以它們作為鄰邊和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點的對角線平行四邊形的共起點的對角線ababa + bbaa + b,00aaaa對于零向量與任一向量我們規(guī)定特例：共線向量abABC方向相同abCAB方向相反baACbaAC_,abab (,

6、 ,)請選用合適符號連接：請選用合適符號連接：, a b 非零向量處于什么位置時？(1)(2)(3)(4)abababababababbaab， 不共線或共線反向ab ， 共線且同向abab ， 反向且abab ， 反向且探究探究例例1 在小船過河時在小船過河時,小船沿垂直河岸方向行駛的小船沿垂直河岸方向行駛的速度為速度為v1=3.46km/h，河水流動的速度，河水流動的速度v2=2.0km/h，試求小船過河實際航行速度的，試求小船過河實際航行速度的大小和方向大小和方向.。就是船實際航行的速度，則為鄰邊作平行四邊形、表示水流的速度，以駛的速度表示船向垂直于對岸行解：如圖，設OCAOBCOBOA

7、OBOA6073. 1tan)/( 0 . 4246. 3|/0 . 2| ,/46. 3|21222221CABvvBOChkmBCOBOChkmvOBhkmvBCOBCRt中在OBAC C練習：77頁31.兩個向量的和仍然是向量。 向量加法的三角形法則 以第一個向量的終點作為第二個向量的起點，則從第一個向量的起點到第二個向量的終點的向量就表示和向量.向量加法平行四邊形法則以兩個同一起點的向量為鄰邊作平行四邊形, 以這兩個向量的起點為起點的對角線所對應的向量就表示和向量.小結:尾首順次相接尾首順次相接首指向尾為和首指向尾為和起點相同，兩邊平行起點相同，兩邊平行同一起點，對角為和同一起點，對角

8、為和2.向量加法法則:練習練習（1）一架飛機向西飛行）一架飛機向西飛行 然后改變方向向南飛行然后改變方向向南飛行 , ,則飛機兩次位移的和為則飛機兩次位移的和為 km100km100（2） 一定成立嗎？一定成立嗎？baba 不一定不一定（3）在四邊形中）在四邊形中 ， ABCD_ BAADCBCD向量的加法向量的加法向西南方向飛行向西南方向飛行 km2100問題探究問題探究實數(shù)的加法運算滿足交換律，即對任意實數(shù)的加法運算滿足交換律，即對任意a，bR，都有，都有ab=ba.那么向量的那么向量的加法也滿足交換律嗎？如何檢驗？加法也滿足交換律嗎？如何檢驗？ba + babaabcabcABCDABC

9、D向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法a + b(a + b) + ca + (b + c)b + c實數(shù)的加法運算滿足結合律，即對任實數(shù)的加法運算滿足結合律，即對任意意a，b，cR，都有（，都有（ab）c=a（bc）.那么向量的加法也那么向量的加法也滿足結合律嗎？如何檢驗？滿足結合律嗎？如何檢驗？問題探究問題探究abba()a bcabc ( + )+向量加法滿足交換律和結合律向量加法滿足交換律和結合律(1)向量加法交換律：向量加法交換律：(2)向量加法結合律：向量加法結合律：以上兩個運算律可以以上兩個運算律可以推廣推廣到任意多個到任意多個向量向量.向向 量量 加加 法法向向 量量

10、加加 法法例例.化簡化簡_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 學以致用學以致用ADMN0已知已知D,E,F分別是三角形分別是三角形ABC三邊三邊BC,CA,AB的中點。的中點。AFCEBD) 1 ( 求證：CFBEAD)2(00例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船

11、速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度

12、；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法若水流速度和船速的大小保持不變若水流速度和船速的大小保持不變,最后要能使渡船垂直過江最后要能使渡船垂直過江,則船的則船的航向

13、應該如何航向應該如何?并作圖探究并作圖探究.探究探究DC2BA3210103akmbkmab1.若 表 示 “ 向 南 走” ，表 示 “ 向 西 走” ，則表 示 _.練習題練習題2.35ababababab 若 ， 滿足，求的最大值，并指出 ， 滿足什么條件時?取到最大值.向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法課堂小結：課堂小結：向量加法的物理背景向量加法的物理背景向量的加法運算向量的加法運算向量加法的運算律向量加法的運算律平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角形法則向向 量量 加加 法法 向量加法實際應用向量加法實際應用向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則baOa a a

14、 a a a a abbbbbbbBbaA注意：注意：a+b各向量各向量“首尾相連首尾相連”，和向量由第一個向，和向量由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點量的起點指向最后一個向量的終點. .復習：baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面內任取一點在平面內任取一點A； (2)以以點點A為起點為起點以向量以向量a、b為鄰邊作平行為鄰邊作平行 四邊形四邊形ABCD.即即ADBCa,AB=DC=b ； （3）則以）則以點點A為起點為起點的對角線的對角線ACa+b.向量加法的向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則復習：2.2.2 向量減法運算及其幾何意義回

15、憶：相反數(shù)是怎樣定義的？若兩個實數(shù)a和b，滿足b=-a我們說b就是a的相反數(shù)。. aaa的相反向量，記作的向量叫做的大小相等，方向相反規(guī)定：與?)(a思考：問：0有相反數(shù)嗎？規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。?)(aa思考： a bab求兩個向量差的運算叫做向量的減法表示為+(- )呢？作出根據減法的定義，如何已知baba,abOAabBbCDba.a bbaab方法：平移向量 、，使它們起點相同，那么 的終點指向 的終點的向量就是特殊情況特殊情況1.共線同向共線同向2.共線反向共線反向aBACaABCbbCBab ab思考例：例：如圖，已知向量如圖，已知向量a, b, c, d, 求作向量求作向量a-b, c-d.ababcdabcdOABCDcdABab例2：如圖，平行四邊形ABCD，AB=a，AD=b，1）用a、b表示向量AC、DB。 2） DC呢？結論？若互相垂直有怎樣