定積分的應(yīng)用62962

1、第 15周 班級(jí)：技師一班 2010年 5月30日 到6月3日 2課時(shí) 張 偉課題定積分的運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1. 換元積分法2. 分部積分法教材分析重點(diǎn)1.換元積分法2分部積分法難點(diǎn)方法的靈活應(yīng)用教具多媒體 粉筆 教法講授法課時(shí)2教學(xué)過(guò)程（）復(fù)習(xí)引入（10分鐘）復(fù)習(xí)牛頓萊布尼茨公式和不定積分（）習(xí)題講解（50分鐘）圖11、微積分基本定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上可積以為積分上限的定積分 與相對(duì)應(yīng)，顯然它是的函數(shù)，記作（圖1），即這種積分上限為變量的定積分稱為變上限定積分定理1（微積分基本定理）變上限定積分所確定的函數(shù)是被積函數(shù)的原函數(shù)，即設(shè)在上連續(xù)，則 (1)（證明從略）公式（1）告訴我們(1) 變

2、上限定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，這表明變上限定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)這揭示了微分（或?qū)?shù)）與（變上限）定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，因而稱為微積分基本定理(2)定理1要求函數(shù)在上連續(xù)，于是附帶給出了原函數(shù)存在定理，即推論某區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上存在原函數(shù)(3)既然變上限定積分是被積函數(shù)的原函數(shù)，這就為計(jì)算定積分開(kāi)辟了新途徑例1 求解例2 求例3 求2、牛頓萊布尼茲公式定理2設(shè)在上連續(xù)，且是的一個(gè)原函數(shù)，則(2)公式(2)是著名的牛頓萊布尼茲公式，常記作牛頓萊布尼茲公式把定積分的計(jì)算問(wèn)題歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)在上、下限處函數(shù)值之差的問(wèn)題，從而巧妙地避開(kāi)了求和式極限的艱難道路，為運(yùn)用定積分計(jì)算普遍存在

3、的總量問(wèn)題另辟坦途例4 求由拋物線，直線和軸圍成的曲邊三圖2角形的面積解設(shè)所求曲邊三角形（圖2）的面積為，則例5 求例6 求例7 求解先用換元積分法求不定積分令，則，于是 取一個(gè)原函數(shù)，由公式（2），得注意：在本例求原函數(shù)時(shí)用到了不定積分的換元積分法需消去新變量，還原為原積分變量，而后用牛頓萊布尼茲公式二、定積分的換元積分法和分部積分法我們已經(jīng)會(huì)依據(jù)牛頓萊布尼茲公式給出的步驟求定積分：先求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再求原函數(shù)在上、下限處的函數(shù)值之差這是計(jì)算定積分的基本方法但這種方法遇到用換元積分法求原函數(shù)時(shí)，需將新變量還原為原來(lái)的積分變量，才能求原函數(shù)之差，如例所做的那樣這樣做比較麻煩現(xiàn)介紹省略還

4、原為原積分變量的步驟計(jì)算定積分的方法1 定積分的換元積分法先看例用新方法來(lái)計(jì)算令，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是這樣做省略了將新變量還原為原積分變量的麻煩但需注意兩點(diǎn)：第一，引入的新函數(shù)必須單調(diào)，使在區(qū)間上變化時(shí)，在區(qū)間上變化，且，第二，改變積分變量時(shí)必須改變積分上、下限，簡(jiǎn)稱為換元必?fù)Q限嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，關(guān)于定積分的換元積分法有下面的定理定理3設(shè)(1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)(2) 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(3) 時(shí)，且，則 (3)公式(3)稱為定積分的換元積分公式證明從略例8 求解令，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，于是 2定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由，得兩端從到對(duì)求定積分，便得定積分的分部積分公式：例

5、9 求解例10 求例11 計(jì)算（為整數(shù)）解設(shè)，則，移項(xiàng)得：.上述公式稱為遞推公式例如同樣地依次進(jìn)行下去，直到的下標(biāo)遞減到或?yàn)橹褂谑抢纾ǎ┬〗Y(jié)（10分鐘）、1、變上限的定積分是變上限的函數(shù)。 、用牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）公式計(jì)算定積分時(shí)，只要求出被積函數(shù) f (x) 的任意一個(gè)原函數(shù)F (x) ，然后求這個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間 a , b 上的增量F (b) F (a) 即可。3、用定積分的換元積分法計(jì)算定積分時(shí)需注意在換元的同時(shí)，必須相應(yīng)地變換積分的上、下限，這樣求出原函數(shù)后，就不必用原來(lái)的變量代回，計(jì)算起來(lái)就比較簡(jiǎn)單了。 4.定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法完全類似，只是多了一個(gè)積分限，使用時(shí)