123角的平分線性質(zhì)

1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(上)12.3角平分線的角平分線的性質(zhì)（性質(zhì)（1）ADBCEADCB 不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？AOBC活活 動(dòng)動(dòng)1（對(duì)折）（對(duì)折）1、如圖，是一個(gè)角平分儀，、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中其中AB=AD,BC=DC。將點(diǎn)將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)放在角的頂點(diǎn),AB和和AD沿著角的兩邊放下沿著角的兩邊放下,沿沿AC畫一畫一條射線條射線AE,AE就是角平分線，就是角平分線，你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?活活 動(dòng)動(dòng)2ADBCE 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦

2、呢？p2、證明： 在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等）應(yīng)邊相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）角器）OABCE活活 動(dòng)動(dòng)3NOMCENM1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的

3、步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線把它反向延長(zhǎng)得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。線的方法?；罨?動(dòng)動(dòng)4ABOCD探究角平分線的性質(zhì) (1)(1)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)：將：將AOBAOB對(duì)折，再折出一個(gè)對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)觀察兩次折疊形成的

4、三條折痕，你能得出什么結(jié)論？論？活活 動(dòng)動(dòng)5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分線上的點(diǎn)到角的角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等兩邊的距離相等. .探究角平分線的性質(zhì)探究角平分線的性質(zhì)證明：證明：OCOC平分平分 AOB AOB （已知）（已知） 1= 21= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OAPD OA，PE OBPE OB（已知）（已知） PDO= PEOPDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDOPDO和和PEOPEO中中 PDO= PEOPDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 1= 2 （已證）（已證） OP=OP OP=OP （公共邊）（公共邊） P

5、DO PDO PEOPEO（AASAAS） PD=PEPD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于點(diǎn)于點(diǎn)DD，PEOBPEOB于點(diǎn)于點(diǎn)E E求證求證: PD=PE: PD=PE活活 動(dòng)動(dòng)5(3)驗(yàn)證猜想驗(yàn)證猜想(4)得到角得到角平分線的平分線的性質(zhì)：性質(zhì)：活活 動(dòng)動(dòng)5 利 用 此 性 質(zhì)利 用 此 性 質(zhì)怎樣書寫推理過怎樣書寫推理過程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相

6、等）角形的對(duì)應(yīng)邊相等）P PA AOOB BC CE EDD12思考：思考：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺米，應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路 如 圖 ： 在 如 圖 ： 在 A B C 中 ，中 ，C=90 AD是是BAC的平分的平分線，線，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EBACDEBF 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等們所在的兩個(gè)三角形全等,即即R

7、tCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個(gè)條件現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需要我們找什么條件要我們找什么條件DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明.試試自己寫試試自己寫證明。你一證明。你一定行！定行！ 做一做做一做駛向勝利的彼岸w已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.w求證求證:EB=FC. :EB=FC. 老師期望老師期望: :做完題目后做完題目后, ,一定要一定要“悟悟”到點(diǎn)東

8、到點(diǎn)東西西, ,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去. . BAEDCF例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、FBM是是ABCABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上（已上（已知）知）PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等相等）同理同理 PE=PF.PE=PF. PD=PE=PF.=PF.即點(diǎn)即點(diǎn)P P到邊到邊ABAB、BCBC、CACA的距離相等的距離相等DEFABCPMN練習(xí)：練習(xí)：如圖，如圖，的的的外角的平的外角的平分線與分線與的外角的平分線相交于的外角的平分線相交于點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，點(diǎn)求證：點(diǎn)到三邊，所在直線的距離相等所在直線的距離相等F FGH一、過程小結(jié)：一、過程小結(jié)：情境情境觀察觀察作圖作圖應(yīng)用應(yīng)用探究探究再應(yīng)用再應(yīng)用二、知識(shí)小結(jié)：二、知識(shí)小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些知識(shí)？有哪些運(yùn)用？你本節(jié)課學(xué)習(xí)了那些知識(shí)？有哪些運(yùn)用？你學(xué)了嗎？做了嗎？用了嗎？學(xué)了嗎？做了嗎？用了嗎？回味無窮w定理定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等的兩邊距離相等. .wOCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上上任