求函數(shù)極值的若干方法

1、求函數(shù)極值的若干方法摘要 函數(shù)的極值是函數(shù)的很重要性質(zhì)之一，在我們的日常生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用.很多的實(shí)際問題最終都可以歸結(jié)為求函數(shù)極值的問題.本文主要總結(jié)了一元函數(shù)和二元函數(shù)極值的判斷方法和求法，從而使計(jì)算簡(jiǎn)潔，并給出了相關(guān)的一些例子.關(guān)鍵詞：函數(shù)極值 充分條件 乘數(shù)法1 一元函數(shù)極值問題1.1 一元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)的不同于的所有的x都有以下不等式成立，即，那么我們就把稱為函數(shù)的極小值, 就是的極小值點(diǎn); 反過來，如果，那么我們就把稱為的極大值，就是的極大值點(diǎn).無論是函數(shù)的極小值還是極大值，我們都把它們叫做函數(shù)的極值.極值點(diǎn)有兩類，分別為極小值

2、點(diǎn)和極大值點(diǎn).1.2 對(duì)于不同類型的一元函數(shù)極值的求解方法1.2.1 二次函數(shù)：在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們?cè)v了二次函數(shù)的圖象是一條拋物線, 從所學(xué)的圖象中可以很清楚地分析出：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象拋物線開口向上, 它的縱坐標(biāo)由遞減變?yōu)檫f增，從而這個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就相當(dāng)于極小值.當(dāng)時(shí), 函數(shù)的圖象拋物線開口向下, 它的縱坐標(biāo)由遞增變?yōu)檫f減，從而這個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就相當(dāng)于極大值.因此, 想要求得二次函數(shù)的極大值或者極小值只需要求得這個(gè)該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可 ，于是用配方法將寫成如下形式2 / 18，則該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是. 當(dāng)時(shí), 該坐標(biāo)值就是極小值.當(dāng)時(shí)，該坐標(biāo)值 即為極大值.例1 某玩具廠生產(chǎn)某種兒童玩具，年產(chǎn)

3、量為x百件，總成本是(萬(wàn)元)，其總收入為，試求總利潤(rùn)為最大時(shí)最佳產(chǎn)量.解 設(shè)為總利潤(rùn)，則 為一元二次函數(shù)的形式，則由上可知，即當(dāng)產(chǎn)量為4百件時(shí)，利潤(rùn)取得極大值5萬(wàn)元，此時(shí)極大值就是最大值.1.2.2 一般函數(shù)定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處是連續(xù)的，在的某個(gè)鄰域內(nèi)是可求導(dǎo)的.(1)當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足；當(dāng)時(shí)，所有的x 都滿足，如果上述兩個(gè)條件都成立時(shí)，那么我們得出在處可以取到極小值. (2)當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足，而當(dāng)時(shí)，所有的x都滿足，如果上述兩個(gè)條件也都成立時(shí)，那么我們就可以得出在處可以取到極大值. (3)當(dāng)時(shí)，的符號(hào)一直不會(huì)改變，即所有的都滿足或所有的都滿足，那么在這種情況下，我們可以得出在點(diǎn)不能取到

4、極值.定理2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在二階的導(dǎo)數(shù)，如果滿足=0且，那么可以取到極值. (1)當(dāng)時(shí)，則我們可以在點(diǎn)取到極小值，就叫做的極小值點(diǎn). (2)當(dāng)時(shí)，就叫做的極大值點(diǎn)，在點(diǎn)可以取到極大值.應(yīng)該值得注意的是：如果出現(xiàn)=0且的情形，那么這個(gè)時(shí)候如果我們還想著用上述定理2的方法去尋找極值就不滿足了，以下的定理可以幫助我們解決.定理3：設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)存在著直到階的導(dǎo)函數(shù)，在點(diǎn)處階是可以求導(dǎo)的，并且成立（1，2，），那么,(1)當(dāng)為偶數(shù)的時(shí)候，在點(diǎn)處可以取到極值，并且如果 我們可以在點(diǎn)處取到極小值，如果 時(shí)，極大值在點(diǎn)取到.(2)當(dāng)為奇數(shù)的時(shí)侯，在這種情況下在點(diǎn)處的極值我們是取不到的.例2：對(duì)于上述

5、事例1，也可用微分法求得極值.解 ，令，那么,當(dāng)時(shí)， ,當(dāng)時(shí)， ,根據(jù)定理1，我們得出,在的時(shí)候可以取到極大值,這個(gè)時(shí)候的極大值其實(shí)也就是我們所要求得的最大值.例3：求函數(shù)的極值.解 對(duì)原函數(shù)求一階導(dǎo)得，令 ，得到駐點(diǎn)，如果用定理1，我們無法判別，繼續(xù)求導(dǎo),有，,這時(shí)發(fā)現(xiàn)定理2條件也不滿足，再進(jìn)行求導(dǎo),有，繼續(xù)求導(dǎo)，得，,. 由定理3，知：，導(dǎo)數(shù)第一個(gè)不是零的階數(shù)，它是偶數(shù)的，因此這個(gè)函數(shù)我們是可以取到極值的，而且可以進(jìn)一步斷定是極小值.例4：設(shè)是方程的一個(gè)解而且，那么這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處（ ）. A可以取到極大值 B某鄰域內(nèi)是呈現(xiàn)單調(diào)遞減的C. 可以取到極小值 D某鄰域內(nèi)是呈現(xiàn)單調(diào)遞增的分析 這

6、是一道考研題目，乍一看是關(guān)于微分方程方面的問題，假如從微分方程方面著手，那么就會(huì)容易走入誤區(qū)，我們觀察一下四個(gè)選項(xiàng)可以知道是關(guān)于極值問題的.由于 ，所以 ，又 ，所以 .根據(jù)定理2我們就可以得出 在點(diǎn)處取到了極大值。這個(gè)題目巧妙地根據(jù)已知信息變形，然后運(yùn)用了定理2，從而得到答案，故選(A).總結(jié)：求一元函數(shù)（一般）的步驟： a 首先我們把所要討論的函數(shù)的定義域給求出來 b 求出導(dǎo)數(shù)（當(dāng)使用極值第一充分條件即定理1進(jìn)行判斷）和 （當(dāng)使用極值第一充分條件即定理2進(jìn)行判斷）. c 我們令，求出函數(shù)和的所有的穩(wěn)定點(diǎn)，還有的所有不可導(dǎo)點(diǎn)，因?yàn)榇颂幨怯锌赡艹蔀闃O值點(diǎn)的. d 當(dāng)我們采用定理1的方法判定時(shí)，

7、要判斷出所有的穩(wěn)定點(diǎn)左右鄰域的符號(hào)；當(dāng)我們采用定理2判定時(shí)，則要確定出在其穩(wěn)定點(diǎn)兩邊的符號(hào)，然后再對(duì)照對(duì)照點(diǎn)點(diǎn)（ 定理1或者2來判別出該點(diǎn)是不是極值點(diǎn). e 對(duì)于定理1和定理2的條件都不滿足的情形，我們要運(yùn)用定理3，繼續(xù)求導(dǎo)，直到求導(dǎo)不為零為止，查看n的奇偶性，再做出進(jìn)一步的判斷，看看是取到極大值還是極小值.f 將各個(gè)點(diǎn)帶入原函數(shù)，就可以得到我們判定的每個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值.2 二元函數(shù)極值問題2.1 二元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任何的點(diǎn)，都有不等式（或者）成立，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)取得極小值（或極大值），點(diǎn)叫作的極?。ɑ驑O大）值點(diǎn).我們把極小值和極大值都叫做極值.備注：在

8、這里討論的函數(shù)極值都只是限定于定義域里的內(nèi)點(diǎn).2.2 關(guān)于求二元函數(shù)極值的方法2.2.1定理7：如果函數(shù)在處存在偏導(dǎo)數(shù)，而且函數(shù)在處取得極值，那么有，.我們就把叫做是的穩(wěn)定點(diǎn).2.2.2 定理8：如果二元函數(shù)滿足在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有二階的偏導(dǎo)數(shù)且是連續(xù)的，而且是的穩(wěn)定點(diǎn)，那么當(dāng)是正定的矩陣的時(shí)候，可以判定在處取到極小值；當(dāng) 判定是負(fù)定的矩陣的時(shí)候，在處可取到極大值；當(dāng) 是不定矩陣，在處不取得極值，其中.定理：如果二元函數(shù)滿足以上定理8的條件，令，.(1)若，則在處可取到極小值，若，則在處可取到極大值.(2)若，則在處極值不能取到.(3)若，則在處能不能取到極值我們不能判斷出來.例5：討論函數(shù)是

9、否存在極值.解 因?yàn)?，,所以求得穩(wěn)定點(diǎn)，又因?yàn)?，則 ，.根據(jù)定理得出在處極小值可以取到，并且,又因?yàn)樘幪幋嬖谄珜?dǎo)數(shù)，所以為的唯一極值點(diǎn).總結(jié)：求二元函數(shù)極值的步驟a 首先求出偏導(dǎo)數(shù)， .b 然后解出所聯(lián)立的方程組，求解出駐點(diǎn).c 求出這個(gè)二元函數(shù)在所求點(diǎn)處，的值及的符號(hào)，根據(jù)定理來進(jìn)一步分析出函數(shù)是不是有極值點(diǎn).d把得到的點(diǎn)代人原函數(shù)即可得到我們所要的結(jié)果.2.2.3 拉格朗日乘數(shù)法此種方法主要針對(duì)求條件極值的問題，即在條件組（，）=0，k=1，2，m（）的限制下，求目標(biāo)函數(shù)y=g（，）的極值，在此我們只討論的情形，也就是我們所熟悉的二元函數(shù)條件極值的問題.方法：設(shè)目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，

10、若與、在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù)，而且雅克比矩陣的秩為2，那么可以用拉格朗日乘數(shù)法求得極值.a.構(gòu)造出拉格朗日函數(shù),.b.求解方程組，得出駐點(diǎn)即可，然后按照實(shí)際情形加以判斷.例6：已知一個(gè)橢圓方程和一條直線，求出在這個(gè)橢圓上到這條直線的最近距離與最遠(yuǎn)的距離的點(diǎn).解 把這個(gè)橢圓上所求得的點(diǎn)設(shè)為，則這個(gè)點(diǎn)到直線的距離記做，那么所求的問題就轉(zhuǎn)化成函數(shù)在條件下最值的問題,令,解方程組,，解得, ，代人距離公式得,，,因此, 是所求得的最近距離的點(diǎn)，是所求得的最遠(yuǎn)距離的點(diǎn).2.2.4 其它方法首先，把條件極值化為無條件極值，然后，再依據(jù)一元函數(shù)求出極值的方法加以分析判定.例7：求函數(shù)在與下的極值.解 由

11、已知的兩個(gè)條件可得，把其代人目標(biāo)函數(shù)中可以消去和，可得，兩邊同時(shí)求導(dǎo)有，從而得到穩(wěn)定點(diǎn),，由于，而，即為奇數(shù)，因此根據(jù)定理3可以得出，在處不能取到極值.因?yàn)?，所以，在處取得極大值，從而有,.又因?yàn)?所以，在處取得極小值，從而有,.總結(jié)：由例10可知，在一些題目中,如果可以把求多元函數(shù)極值的問題通過分析綜合轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的一元函數(shù)的問題，就可能會(huì)使我們所要求的問題變得簡(jiǎn)單容易很多，但在實(shí)際中,有些條件極值是不易轉(zhuǎn)化成沒有條件的極值來解決的，這時(shí)我們可以使用拉格朗日乘數(shù)法這個(gè)通用的辦法.3.結(jié)束語(yǔ)在我們的生活中處處可遇到求極值的例子，但是關(guān)于求函數(shù)極值的問題我們并沒有什么套用的模式或者不變的方

12、法，因此，我們要解決處理這一類問題，就要學(xué)會(huì)分析綜合，歸納總結(jié)，結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，牢記公式、定理以及一些重要結(jié)論，融會(huì)貫通，只有這樣我們才能達(dá)到學(xué)習(xí)的效果.參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）（第三版）M.北京：高等教育出版社,2001年.142-144.2陳慧珍.關(guān)于一元函數(shù)的極值問題J.武漢交通管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)，1994年，4（3):65-69.3宋團(tuán)強(qiáng).利用多種方法求極值J.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào),2002年12月,ll（4）:38-42.4梁存利.高等數(shù)學(xué)考研中有關(guān)函數(shù)極值和最值問題的求解方法J.考試周刊, 2009年2(48):5-15.5馮長(zhǎng)亮.判斷一元函數(shù)極值點(diǎn)

13、的一個(gè)定理J.菏澤師專學(xué)報(bào)，1991年，3（11）:12-16.6萬(wàn)淑香.關(guān)于一元函數(shù)極值問題的研究J.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006年12月，21（4）:8-10.7馬小霞,沈高峰.分段函數(shù)極值定理的改進(jìn)J.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào),2010年8月，27（4）:120-136. 8華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下）（第三版）M.北京：高等教育出版社,2001年.136-140.9齊新社，包敬民，楊東升.多元函數(shù)條件極值的幾種求解方法J.高等數(shù)學(xué)研究，2009年3月，12（2）：79-86.10吉艷霞.求函數(shù)極值問題的方法探討J.運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2006年10月，5（24）:168-172.Several meth

14、ods for the extreme of the functionName: Leng Nana Student Number : 200740510612 Advisor: Jing KeAbstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our dailylife may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary fun