數(shù)列知識點歸納

1、第二章 數(shù)列1、數(shù)列中與之間的關(guān)系：注意通項能否合并。2、等差數(shù)列：定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即=d ，（n2，nN），那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項：若三數(shù)成等差數(shù)列通項公式： 或 前項和公式：常用性質(zhì)：若，則；下標為等差數(shù)列的項，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、，也成等差數(shù)列。單調(diào)性：的公差為，則：）為遞增數(shù)列；）為遞減數(shù)列；）為常數(shù)列；數(shù)列為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）若等差數(shù)列的前項和，則、 是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個

2、數(shù)列就叫做等比數(shù)列。等比中項：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號）。反之不一定成立。通項公式：前項和公式：常用性質(zhì)若，則；為等比數(shù)列，公比為(下標成等差數(shù)列,則對應的項成等比數(shù)列)數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列；則是公差為的等差數(shù)列；若是等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列，公比依次是單調(diào)性：為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列；為擺動數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列的前項和，則、 是等比數(shù)列.4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型 觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。類型 公式法：若已知數(shù)列的

3、前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式 構(gòu)造兩式作差求解。用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。類型 累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造： 將上述個式子兩邊分別相加，可得：若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和. 類型 累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造： 將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這

4、種形式，然后用這種方法求解。類型 構(gòu)造數(shù)列法：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式： （1）若時，數(shù)列為等差數(shù)列; （2）若時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若且時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種： 法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得,即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型（累加法）便可求出形如型的遞推式：當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比

5、數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型求出 ，再用類型（累加法）便可求出當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：，兩邊同時乘以得，由兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q, r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型的方法解決。當為任意數(shù)列時，可用通法： 在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型（累加法）

6、，求出之后得.類型 對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。類型 倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.類型 形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型?？傊?，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式5、非等差、等比數(shù)列前

7、項和公式的求法錯位相減法若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.將數(shù)列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數(shù)列的前項和.此法是在推導等比數(shù)列的前項和公式時所用的方法.裂項相消法一般地，當數(shù)列的通項 時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數(shù)法進行裂項：設，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，從而可得常見的拆項公式有： 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組.倒序相加法如果一個數(shù)列，與首末兩

8、項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：記住常見數(shù)列的前項和：基礎練習一 選擇題1.已知數(shù)列an的通項公式是an=，那么這個數(shù)列是（ ）（A）遞增數(shù)列 （B）遞減數(shù)列（C）常數(shù)列 （D）擺動數(shù)列2.已知數(shù)列an中，an=2n+5，則a3=（ ）（A）13 （B）12 （C）11 （D）103數(shù)列1，-3，5，-7，9，的一個通項公式為（ ）（A）an=2n-1 （B）an=（-1）n（2n-1）（C）an=（-1）n+1（2n-1） （D）an=（-1）n（2n+1）4.設數(shù)列，則2是這個數(shù)列的（ ）（A

9、）第6項 （B）第7項（C）第8項 （D）第9項5.數(shù)列,的一個通項公式是（ ）（A）an= （B）an=（C）an= （D）an=6.已知數(shù)列an，滿足a1=2,an=nan-1(n2),則a5=（ ）（A）240 （B）120 （C）60 （D）307.已知數(shù)列1，,，則是這個數(shù)列的（ ）（A）第10項 （B）第11項（C）第12項 （D）第21項8已知在數(shù)列an中，a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，則a2 012=（ ）（A）3 （B）-3 （C）6 （D）-69已知數(shù)列3,9,15，3(2n1)，那么81是它的第幾項()A12B13C14D15答案C解析an3(2n1)6

10、n3，由6n381，得n14.10若數(shù)列an的通項公式為ann5，則此數(shù)列是()A公差為1的等差數(shù)列B公差為5的等差數(shù)列C首項為5的等差數(shù)列D公差為n的等差數(shù)列答案A解析ann5，an1an(n1)5(n5)1，an是公差d1的等差數(shù)列11等差數(shù)列1，1，3，5，89，它的項數(shù)是()A92B47C46D45答案C解析a11，d112，an1(n1)·(2)2n3，由892n3得：n46.12(2013·廣東東莞五中高二期中)等差數(shù)列an中，a533，a45153，則201是該數(shù)列的第()項()A60B61C62D63答案B解析設公差為d，由題意，得，解得.ana1(n1)d

11、213(n1)3n18.令2013n18，n61.13等差數(shù)列的首項為，且從第10項開始為比1大的項，則公差d的取值范圍是()Ad>Bd<C<d<D<d答案D解析由題意，<d.14設等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an33，則n是()A48B49C50D51答案C解析a1，a2a52a15d5d4，d，又ana1(n1)d(n1)33，n50.15等差數(shù)列an中，a6a916，a41，則a11()A64 B30C31 D15答案D解析解法一：，a11a110d15.解法二：69411，a4a11a6a916，a1115.16如果等差數(shù)列an中，a3a4

12、a512，那么a1a2a7()A14B21C28D35答案C解析a3a4a53a412，a44.又a1a2a77a428.17已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()Aa1a101>0Ba2a100<0Ca3a1000Da510答案D解析由題設a1a2a3a101101a510，a510.18已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，則a20等于()A1B1C3D7答案B解析an是等差數(shù)列，a1a3a53a3105，a335，a2a4a63a499，a433，da4a32，a20a416d33321.19在a和b之間插入n個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，則其公差為

13、()ABCD答案C解析a1a，an2b，公差d.20設an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13等于()A120 B105 C90 D75答案B解析a1a2a33a215，a25，又a1a2a380，a1a316，即(a2d)(a2d)16，d>0，d3.則a11a12a133a123(a210d)105.21設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S84a3，a72，則a9()A6B4C2D2答案A解析本題考查數(shù)列的基礎知識和運算能力.a9a18d6.22四個數(shù)成等差數(shù)列，S432，a2a313，則公差d等于()A8B16C4D0答案A解析a2a31

14、3，d2a1.又S44a1d8a132，a14，d8.23等差數(shù)列an中，a3a7a108，a11a414.記Sna1a2a3an，則S13()A168B156C152D286答案D解析，S1313a1d286.24在等差數(shù)列an和bn中，a125，b115，a100b100139，則數(shù)列anbn的前100項的和為()A0B4475C8950D10 000答案C解析設cnanbn，則c1a1b140，c100a100b100139，cn是等差數(shù)列，前100項和S1008950.25已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是()A5B4C3D2答案C解析設等差數(shù)列

15、為an，公差為d，則，5d15，d3.26設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則()A1B1C2D答案A解析×1，故選A27記等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若d3，S420，則S6()A16B24C36D48答案D解析由S420,4a16d20，解得a1S66a1×348.28已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，Sn是等差數(shù)列an的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是()A21B20C19D18答案B解析由題設求得：a335，a433，d2，a139，an412n，a201，a211，所以當n20時Sn最大故選B29.()ABCD答案B解析原式()()

16、()()，故選B30已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項和為()ABCD答案A解析本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的運用，以及裂項求和的綜合應用a55，S51515，a11.d1，ann.則數(shù)列的前100項的和為：T100(1)()()1.故選A31設等差數(shù)列an的前n項的和為Sn，若a1>0，S4S8，則當Sn取得最大值時，n的值為()A5B6C7D8答案B解析解法一：a1>0，S4S8，d<0，且a1d，and(n1)dndd，由，得，5<n6，n6，解法二：a1>0，S4S8，d<0且a5a6a7a80，

17、a6a70，a6>0，a7<0，前六項之和S6取最大值32設an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5<S6，S6S7>S8，則下列結(jié)論錯誤的是()Ad<0Ba70CS9>S5DS6與S7均為Sn的最大值答案C解析由S5<S6知a6>0，由S6S7知a70，由S7>S8知a8<0，C選項S9>S5即a6a7a8a9>0，a7a8>0，顯然錯誤33已知等比數(shù)列an中，a132，公比q，則a6等于()A1B1C2 D.解析：選B.a6a1q6132×532×1.34(2011·高考遼寧卷)若等

18、比數(shù)列an滿足anan116n，則公比為()A2 B4C8 D16解析：選B.由anan116n，知a1a216，a2a3162，后式除以前式得q216，q±4.a1a2aq16>0，q>0，q4.35已知an是等比數(shù)列，a62，a3，則公比q等于()A B2C2 D.解析：選C.an是等比數(shù)列，q38.q2.故選C.36下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是()1，2,4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.A BC D解析：選C.是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；是首項為，公比為的等比數(shù)列；當x0時，是首項為x，公比為x的等比數(shù)列；當x0時，不是等比數(shù)列；

19、即，顯然a0，是首項為a1，公比為a1的等比數(shù)列37(2012·棗莊調(diào)研)設a12，數(shù)列12an是公比為2的等比數(shù)列，則a6等于()A31.5 B160C79.5 D159.5解析：選C.12an(12a1)·2n1，12a65·25，a679.5.38已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q()AB2C2 D.解析：選D.根據(jù)anamqnm，得a5a2q3.q3×.q.39(2010·高考北京卷)在等比數(shù)列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，則m()A9 B10C11 D12解析：選C.在等比數(shù)列an中，a11，ama

20、1a2a3a4a5aq10q10.又amqm1，m110，m11.40若等比數(shù)列an的公比為1，則等于()A1B1C1或1 D無法確定解析：選A.a1a5a2a4，1.41在等比數(shù)列an中，若公比q1，且a2a86，a4a65，則()A. B.C. D.解析：選D.a2a86，a4a66，又a4a65，q1，a42，a63，.42將公比為q的等比數(shù)列an依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，.則此數(shù)列()A是公比為q的等比數(shù)列 B是公比為q2的等比數(shù)列C是公比為q3的等比數(shù)列 D不一定是等比數(shù)列解析：選B.設新數(shù)列為bn，則bn的通項公式為bnanan1.所以q2，數(shù)列

21、bn是公比為q2的等比數(shù)列43設等比數(shù)列an的前n項和Sn，已知a12，a24，那么S10等于()A2102B292C2102D2112答案D解析q2，S102(2101)2112，選D44等比數(shù)列an的前n項和Sn3na，則a的值為()A3B0C1D任意實數(shù)答案C解析S1a13a，S2S1a232a3a6，S3S2a333a32a18，所以a1.45設數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且S33a3，則公比q的值為()ABC1或D1或答案C解析當q1時，S33a13a3符合題意；當q1時，S33a1q2.a10，1q33q2(1q)由1q0，兩邊同時約去1q，得1qq23q2，即2q2q1

22、0，解得q.綜上，公比q1，或q.46已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1()A16(14n)B16(12n)C(14n)D(12n)答案C解析q3，q.an·an14·()n1·4·()n252n，故a1a2a2a3a3a4anan123212123252n(14n)47(2014·大綱全國卷文，8)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S23，S415，則S6()A31B32C63D64答案C解析解法1：由條件知：an>0，且q2.a11，S663.解法2：由題意知，S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，即(S4S

23、2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，S663.48已知等比數(shù)列前20項和是21，前30項和是49，則前10項和是()A7B9C63D7或63答案D解析由S10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列，(S20S10)2S10·(S30S20)，即(21S10)2S10(4921)，S107或63.49數(shù)列1，3，5，7，的前n項和Sn為()An21Bn21Cn22Dn22答案A解析由題設知，數(shù)列的通項為an2n1，顯然數(shù)列的各項為等差數(shù)列2n1和等比數(shù)列相應項的和，從而Sn13(2n1)()n21.50已知數(shù)列an的通項公式是an，若前n項和為10，則項數(shù)n為()A11B9

24、9C120D121答案C解析因為an，所以Sna1a2an(1)()()110，解得n120.51已知等比數(shù)列的前n項和Sn4na，則a的值等于()A4B1C0D1答案B解析a1S14a，a2S2S142a4a12，a3S3S243a42a48，由已知得aa1a3，14448(4a)，a1.52數(shù)列an的通項公式為an(1)n1·(4n3)，則它的前100項之和S100等于()A200B200C400D400答案B解析S10015913(4×993)(4×1003)50×(4)200.53數(shù)列an的前n項和為Sn，若an，則S5等于()A1BCD答案B解

25、析an，S511.54數(shù)列an中，已知對任意nN*，a1a2a3an3n1，則aaaa等于()A(3n1)2B(9n1)C9n1D(3n1)答案B解析a1a2a3an3n1，a1a2a3an13n11(n2)，兩式相減得an3n3n12·3n1，又a12滿足上式，an2·3n1.a4·32n24·9n1，aaa4(19929n1)(9n1)二 填空題1.數(shù)列的一個通項公式為_.2.若三個連續(xù)整數(shù)的和是48，則緊隨它們后面的三個連續(xù)整數(shù)之和是_.3.數(shù)列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，其通項公式為_.4.已知數(shù)列an,a1=

26、-1，a2=2，an=an-1+an-2（n3)，則a7=_.5一個直角三角形三邊長a、b、c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長為_答案12解析由條件知b一定不是斜邊，設c為斜邊，則，解得b4，a3，c5，abc12.6等差數(shù)列的第3項是7，第11項是1，則它的第7項是_答案3解析設首項為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.7等差數(shù)列an中，已知a2a3a10a1136，則a5a8_.答案18分析利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問題，求出2a111d的值解析解法1：根據(jù)題意，有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a1

27、22d36，則2a111d18.a5a8(a14d)(a17d)2a111d18.解法2：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得a5a8a3a10a2a1136÷218.8已知等差數(shù)列an中，a3、a15是方程x26x10的兩根，則a7a8a9a10a11_.答案15解析a3a156，又a7a11a8a102a9a3a15，a7a8a9a10a11(2)(a3a15)×615.9已知數(shù)列an的通項公式an5n2，則其前n項和Sn_.答案解析an5n2，an15n7(n2)，anan15n2(5n7)5(n2)數(shù)列an是首項為3，公差為5的等差數(shù)列Sn.10設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若

28、S972，則a2a4a9_.答案24解析S972，a1a916，即a1a18d16，a14d8，又a2a4a9a1da13da18d3(a14d)3×824.11設Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項和，且a11，a47，則S5_.答案25解析由得，S55a1×d25.12(2014·北京理，12)若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當n_時，an的前n項和最大答案8解析本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和由等差數(shù)列的性質(zhì)，a7a8a93a8，a7a10a8a9，于是有a8>0，a8a9<0，故a9<0，故S8>

29、S7，S9<S8，S8為an的前n項和Sn中的最大值，等差數(shù)列an中首項a1>0公差d<0，an是一個遞減的等差數(shù)列，前n項和有最大值，a1<0，公差d>0，an是一個遞增的等差數(shù)列，前n項和有最小值13b既是a和c的等差中項，又是a和c的等比中項，則數(shù)列a，b，c的公比為_解析：由題意知，2bac，b2ac，abc，公比為1.答案：114(2012·煙臺質(zhì)檢)已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7_.解析：設等比數(shù)列an的公比為q，由已知得兩式相除得q2.a1(1q)3，a11.a7a1q61×2664.答案：6415已知等比數(shù)列

30、an中，a33，a10384，則該數(shù)列的通項an_.解析：由題知，÷，得q7128，q2.a1，ana1qn1×2n13×2n3.答案：3×2n316(2012·濟南質(zhì)檢)已知等比數(shù)列an中，a12，且a4a64a，則a3_.解析：設等比數(shù)列an的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知條件得a4·aq4.q4，q2，a3a1q22×1.答案：117各項均為實數(shù)的等比數(shù)列an中，a21，a49，則a3_.答案：±318(2012·珠海質(zhì)檢)在正項等比數(shù)列an中，a2a42a3a5a4a625，則a3a5_.解

31、析：a2a4a，a4a6a，a2a3a5a25.(a3a5)225.an0，a3a55.答案：519(2012·銅陵質(zhì)檢)已知an為等比數(shù)列，a22，a6162，則a10_.解析：q481，a10a6q4162×8113122.答案：1312220在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為_解析：設插入的三數(shù)為a，b，c，則b2×4×9ac.所以b6，ac36，故abc216.答案：21621設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an的前7項和為_答案127解析設數(shù)列an的公比為q(q>0)，則有a5a1q4

32、16，q2，數(shù)列的前7項和為S7127.22已知Sn為等比數(shù)列an的前n項和，Sn93，an48，公比q2，則項數(shù)n_.答案5解析由Sn93，an48，公比q2，得2n32n5.23數(shù)列，前n項的和為_答案4解析設SnSn得(1)Sn2.Sn4.24已知數(shù)列a12，a24，ak2k，a1020共有10項，其和為240，則a1a2aka10_.答案130解析由題意，得a1a2aka10240(242k20)240110130.三 解答題1.已知數(shù)列an中，an=5n-3.(1)求a5；(2)判斷27是否為數(shù)列an的一項.2.已知數(shù)列an的通項an=(n+1)() n ()，試問該數(shù)列an有沒有最

33、大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由.3（10分）已知數(shù)列an中，an=，判斷數(shù)列an的增減性.4.已知數(shù)列an滿足a1=4, an+1-an=3,試寫出這個數(shù)列的前6項并猜想該數(shù)列的一個通項公式.5.已知數(shù)列an首項a1=1，以后各項由公式（n>1,nN*）給出，寫出這個數(shù)列的前5項并求該數(shù)列的通項公式.6（10分）已知數(shù)列an滿足a1=,a1+a2+an=n2an,求其通項an.7已知數(shù)列an是等差數(shù)列，前三項分別為a,2a1,3a，求它的通項公式解析a,2a1,3a是數(shù)列的前三項，(2a1)a(3a)(2a1)，解得a，d(2a1)aa1，ana1(n1)dn1，

34、通項公式ann1.8已知等差數(shù)列an中，a1533，a61217，試判斷153是不是這個數(shù)列的項，如果是，是第幾項？解析設首項為a1，公差為d，由已知得，解得 ，an23(n1)×44n27，令an153，即4n27153，得n45N*，153是所給數(shù)列的第45項.9已知等差數(shù)列an的公差d>0，且a3a712，a4a64，求an的通項公式解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a7a4a64，又a3a712，a3、a7是方程x24x120的兩根又d>0，a36，a72.a7a34d8，d2.ana3(n3)d62(n3)2n12.10四個數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個數(shù)與第四

35、個數(shù)的積比第二個數(shù)與第三個數(shù)的積少18，求此四個數(shù)解析設四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d，據(jù)題意得，(a3d)2(ad)2(ad)2(a3d)2942a210d247.又(a3d)(a3d)(ad)(ad)188d218d±代入得a±，故所求四數(shù)為8,5,2，1或1，2，5，8或1,2,5,8或8，5，2，1.11已知等差數(shù)列an(1)a1，a15，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和D解析(1)a15(151)d，d.又Snna1·d5，解得n15，n4(舍)(2)由已知，得S8，解得a839，又a84(81)d39，d5.12設an是等差數(shù)列

36、，前n項和記為Sn，已知a1030，a2050.(1)求通項an；(2)若Sn242，求n的值解析(1)設公差為d，則a20a1010d20，d2.a10a19da11830，a112.ana1(n1)d122(n1)2n10.(2)Snn211n242，n211n2420，n11.13設等差數(shù)列an滿足a35，a109.(1)求an的通項公式；(2)求an的前n項和Sn及使得Sn取最大值的n的值解析(1)設公差為d，由已知得，解得.ana1(n1)d2n11.(2)由(1)知Snna1d10nn2(n5)225，當n5時，Sn取得最大值14已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前

37、n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析(1)設等差數(shù)列an的首項為a，公差為d，由于a37，a5a726，a12d7,2a110d26，解得a13，d2.an2n1，Snn(n2)(2)an2n1，a14n(n1)，bn()故Tnb1b2bn(1)(1)，數(shù)列bn的前n項和Tn.15在各項均為負數(shù)的數(shù)列an中，已知2an3an1且a2·a5.證明an是等比數(shù)列，并求出通項證明：2an3an1，故數(shù)列an是公比q的等比數(shù)列又a2·a5，則a1q·a1q4，即a·53.由于數(shù)列各項均為負數(shù)，則a1，an

38、15;n1n2.16(創(chuàng)新題)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，又有數(shù)列bn，它們滿足關(guān)系b1a1，對于nN*，有anSnn，bn1an1an，求證bn是等比數(shù)列，并求其通項公式證明：因為anSnn，所以an1Sn1n1(n2)，得anan1an1，即an(an11)(n2)又bn1an1an(an1)an(1an)，所以(n2)由anSnn，可得a1S1a1a11.所以a1b1，所以b2(1a1)·b1·.故對于nN*均成立所以數(shù)列bn是等比數(shù)列，其通項bnb1n1.17已知數(shù)列an為等比數(shù)列(1)若a1a2a321，a1a2a3216，求an；(2)若a3a518，a4a8

39、72，求公比q.解：(1)a1a2a3a216，a26，a1a336.又a1a321a215，a1，a3是方程x215x360的兩根3和12.當a13時，q2，an3·2n1；當a112時，q，an12·n1.(2)a4a8a3q·a5q3a3a5q418q472，q44，q±.18已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)求數(shù)列2an的前n項和Sn.解析(1)由題設，知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1，或d0(舍去)故an的通項an1(n1)×1n.(2)

40、由(1)知2an2n，由等比數(shù)列前n項和公式，得Sn222232n2n12.19等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解析(1)S1，S3，S2成等差數(shù)列，2S3S1S2，q1不滿足題意a1，解得q.(2)由(1)知q，又a1a3a1a1q2a13，a14.Sn1()n.20求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n項和解析當a1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，(2n1)，則Snn2，當a1時，有Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an，得：SnaSn12a2a22a32an

41、1(2n1)an，(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an2·1(2n1)an.又1a0，所以Sn.21(2014·全國大綱文，17)數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項公式解析(1)證明：由an22an1an2得an2an1an1an2.即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項公式為an

42、n22n2.強化練習一 選擇題1(20102011·湖南邵陽二中高二期中)已知數(shù)列3,9,15，3(2n1)，那么81是它的第幾項()A12B13C14D15答案C解析an3(2n1)6n3，由6n381，得n14.2(20102011·醴陵二中、醴陵四中期中聯(lián)考)若數(shù)列an的通項公式為ann5，則此數(shù)列是()A公差為1的等差數(shù)列 B公差為5的等差數(shù)列C首項為5的等差數(shù)列 D公差為n的等差數(shù)列答案A解析ann5，an1an(n1)5(n5)1，an是公差d1的等差數(shù)列3等差數(shù)列1，1，3，5，89，它的項數(shù)是()A92 B47 C46 D45答案C解析a11，d112，an

43、1(n1)·(2)2n3，由892n3得：n46.4等差數(shù)列的相鄰4項是a1，a3，b，ab，那么a，b的值分別是()A2,7 B1,6C0,5 D無法確定答案A解析由題設2(a3)a1b，ab50，又2b(a3)(ab)，2ab30，由得 .5等差數(shù)列的首項為，且從第10項開始為比1大的項，則公差d的取值范圍是()Ad> Bd<C.<d< D.<d答案D解析由題意，<d.6設數(shù)列an是遞增的等差數(shù)列，前三項和為12，前三項積為48，則它的首項為()A1 B2 C4 D6答案B解析由題設，a24， ，a1和a3是一元二次方程x28x120之二根，又a3>a1，a12.7已知數(shù)列an中，a32，a71，又數(shù)列是等差數(shù)列，則a11等于()A0 B. C. D1答案B解析令bn，由題設b3，b7且bn為等差數(shù)列，b7b34d，d.b11b74d，又b11，a11.8設等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an33，則n是()A48 B49 C50 D51答案C解析a1，a2a52a15d5d4，d，又ana1(n1)d(n1)33，n50.9等差數(shù)列an的公差d<0，且a2·a412，a2a48，則