換元積分詳解

1、高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法一、第一類換元法一、第一類換元法 通常一個函數(shù)的導數(shù)是容易求出的,但是要求一個函數(shù)的原函數(shù)是很困難的.直到現(xiàn)在只能求出絕少部分的原函數(shù).為了求解原函數(shù)，現(xiàn)在介紹幾種常用的積分方法. 第一換元積分法也稱為湊元法。高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案定理1 設u =(x)在區(qū)間a, b上可導, ,)(xCxGduugdxxxgxu)(|)()()()(g(u)在.上有原函數(shù)G(u), 則不定積分存在, 且證明: 用復合函數(shù)的求導法則，驗證)()()()()()()(xxgxugxuGCxG高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 第一換元積分法

2、(湊元法)的關鍵是把f(x)dx湊成g(x)(x)dx如何湊?這是一個技巧性很強的工作，要求我們熟練掌握基本積分公式。在解題前需要一些三角函數(shù)的恒等變換,分子分母的有理化, 分子加減某項等方法.但不同的方法得到積分的結(jié)果往往不相同, 我們可通過求導可知道它們是否同一被積函數(shù). “湊”的方法：通常把較復雜的函數(shù)看成g(x)高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例1sin(cos )coscosxdxtgxdxdxxx CxxxdxdxxCuduuux661sin55sin61sinsincossin65例2的積分，xdxxnmcossincoslnln cosuxduuCxCu 對于形如當m, n中有

3、一個為奇數(shù)時，總可以用這個方法處理.高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例32222( / )11 ( / ) (1)xuadxd x aduxarctgCaxax aauaa例42222( / )arcsin(0)1 ( / )1xuadxd x aduxC aaaxx au 例533222222211() 1(1) 1(1)(1)22xxx dxxx dxxdx235512222211 21(1)(1)22 55xuu duxCxC 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案(1)關于自變量是線性形式,例如)0()()(1)(abaxdbaxfadxbaxf(2)被積函數(shù)可寫成)()(xgxg(ln )

4、(lnln )(ln );lnlnlnln lnlnlnlndxxxdxdxxxxxxx常見的湊元法有以下幾種情況:的形式，例如sincos( cossin )cossincossincossinaxdxbxdxaxbxdxaxbxaxbxaxbx 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案(3)被積函數(shù)可寫成 f (xn)xn-1 的形式,例如nnnnnnxxdnxdxdxxxxxxdxxxdx1) 1(111)1 (11(4)被積函數(shù)可寫成 g(xn) x2n-1 的形式,例如9912)9(1)9(nnnnnxdxxndxxx(5)被積函數(shù)可寫成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx

5、的形式, 例如(sin )cos(sin ) sinfxxdxfx dx(cos )sin(cos ) cosfxxdxfx dx 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案(6)被積函數(shù)可寫成21)1(xxf)11 ()11 ()11ln()11 ()11ln() 1()11ln(2xdxxxxdxxxxdxx(7)利用三角函數(shù)公式,常用的三角形式: 倍角公式積化和差公式的形式,例如高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案此外，常用的三角公式還有sec2x=1+tg2 x等例如xdxxdxxdxxxxdxx2cos21212)2cos1 (cos333232222220,cossin(cossin )dxdx

6、ababaxbxabxxabab222211()sincoscos sinsin()dxd xxxxabab高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案11sin2cos(2 )sin cos22211sincos2(sincos )2sin()422xxxxdxdxdxxxxxx21sin ()1142sin()422 22sin()sin()44xdxdxx dxxx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案221111()1()22dxd xadxd xaxaaxaxaaxaxa例611(lnln)ln22xaxaxaCCaaxa高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例7sin222cos(sin )111sec(

7、)cos1 sin1211xtxdxdtxdxdxdtxxttt 例82( /2)( /2)cscsinsin( /2)cos( /2)( /2)cos ( /2)dxd xd xxdxxxxtg xx111 sinln(1)ln(1)ln221 sinxttCCx高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案Ceudueedeedxexuexxxxxx) 1arcsin(1) 1(1) 1(22122Cxxxdxxdxxdx| 1ln2|ln21ln21) 1ln2(21ln21ln)ln21 (例9例10高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案Cxxdxdxx313030) 18(2481) 18() 18(8

8、1) 18(例11例121sin3 sin2(cos5cos )2xxdxxx dx 421cos 211cos 4sin()(12cos 2)242xxxdxdxxdx例1311sinsin5 25dxdx11sinsin5210 xxC131311(2cos2cos4 )sin2sin44228432xx dxxxxC高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案2132222222211 1112121xdxdxx dxxdxdxdxxxx 例14例152cossin22sin cossincos222sin2coscos21 cos1 cosxuxxxxdxdxudu duxxdxdxxx 221l

9、n 12xxC22cos1cos2ln| |22cosln 1 cos1 cosxudu dxduuCudxxCx 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例1622331() ()()bxaxb dxaxbaxbdxaa525233332211()()u ax bdu adxbbaxb dxaxbdxu duu duaaaa85332233()()85baxbaxbCaa高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案二、第二換元法二、第二換元法 定理 設x=(t)是單調(diào), 可導的函數(shù), 并且 (t)0, 又設f (t)(t)具有原函數(shù)(t), 則有換元公式11( )( )( )( ( )( )|( )|txtxf

10、 x dxftt dttC 成立，其中)(1x是x =(t)的反函數(shù).dttdx)(高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案證明: 11( )( )( )( )( )|txf x dxF xCxCtC 11( ).( ).( )( )dtxtdxt dttxdxt1( ( )( )( )( )( )( )ftt dttF xtx 記1( )( ( )( )( ( )( )( )ddtF xfttftf xdt dxt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案公式成立是有條件的. 1)等號右邊的不定積分或原函數(shù)要存在, 且容易積分. 2)求出后要用反函數(shù)代回原變量.單調(diào)性是保證反函數(shù)的存在. 常用的變量代換有下列

11、四種類型：高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 利用三角函數(shù)進行代換,可以使被積函數(shù)簡單 當被積函數(shù)含有平方和或平方差的二次根式時,根據(jù)恰當?shù)娜呛愕仁阶魅谴鷵Q. 例如對atgtxtaxxaxa,sin,2222可設1 1、 三角代三角代換換高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例1 求)0(22adxxa解:2221sin22xaxaxCa1sin (),sin,22xxattta 22222sincos ,cosaxaatat dxatdt2cos22cos1222221 cos2cos2tttax dxatdtadt 222222cossin2sin cos2422ataxa taa tatCt

12、tC 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例2 求)0(22axadx解:1tan (),tan,22xxattta 222222222sincostan1tansec ,costtaxaatataatt2secdxatdt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案22221lnln()xaxCxaxCaa222secsec (sectan )secsecsectandxattttdtatdtdtatttax2sec tansec(sectan )ln sectansectansectantttdttdtttCtttt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例3 求)0(22aaxdxsec (sectan )se

13、csectanttttdtdttt1,sec(0),2xaxatt （）22222221 cossectan ,costxaataaatt2( sin )(sec )sec tancostdxat dtaattdtt 22sec tantandxattdtatxa221ln()xxaC22)xaCaln(xaln(sectan )ttC高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案2222ln()dxxxaCxa把x a及 x -a的結(jié)合起來, 我們得到12222|lnCaxxaxdx(2),xaxuua 222222ln()dxduxaxCxaua 2222ln(ln)aCaxax2222222()ln(

14、)()axaxCxaxxax22ln ()xxaC高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案從上面的例子可看出:22xa 可作代換 x = a sin t化去根式;，如果被積函數(shù)含有22xa ，可作代換 x=a tan t化去根式;如果被積函數(shù)含有如果被積函數(shù)含有22ax ，可作代換x=a sect化去根式;但具體解題時要分析被積函數(shù)的具體情況,選取盡可能簡捷的代換.例如Caxaxaxdaxdxaxadxarcsin)(1)()(112222高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 當被積函數(shù)是三角有理式時,作“萬能”代換,將被積函數(shù)有理化.txtdtdxttxttxtxtan)12,12sin,11(cos2

15、tan2222或21cot.2txt2tan,sec( ),222xxxtdtd222(1) ( ).,21xdtdttddxt222(1) ( ).,21xdtdttddxt222tan22tan,11tan2xtxxt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例4 求xdxsinCxtgCttdtdttttxdx|2|ln|ln12121sin22222211 cos111111.,22sinsinsin222sintxxtttctgxttgctgxttxxxtttx222222222,sec( ).(1) ( ).,22221112xtgxxxxdtttgtdtddttddxtgxxtttg222

16、21sin,cos11ttxxtt高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案還有一部分采用反三角函數(shù)代換，例如22cossin()sin secseccost arctgxx tgtdtIarctgx dxttdttCt 21xtx1cossin2222cossincossincos1xtdxtdtarcxdxttdttdtxtttx 21xC高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例5 求3xxdx323666ln(1)2366ln(1)32ttttCxxxxC 2 2、根式代換、根式代換目的是將無理數(shù)變成有理數(shù),便于積分32563,6txxtxtdxt dt533232361 11666 (1)111dxt

17、 dtttdtdtttdttttttxx 高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案例6求dxxxa42213222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxdxa td a ta tCxaa3 3、倒數(shù)代換、倒數(shù)代換22422 2242211,()1dtaxdtxdxdxtata tdtttxtt 3122223()3txaxCa x高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案13222 22 22 222422110,(1)(1)(1)23axxttdxa td a ta tCxaa 3122223()3txaxCa x高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案，應用雙曲代換22ax 例7 求4 4、

18、雙曲代換、雙曲代換當被積函數(shù)含有根號22(0)dxaxa2221x ashtdxachtdtchdtxtCashCchtaxaa sh t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案2221x achtdxashtdtshdtxtCarchCshtaxaa ch t 2221ln( )1lnxxCxxaCaa0 xa 時有類似的結(jié)果,綜合得到22122lndxxxaCxa高等數(shù)學電子教案高等數(shù)學電子教案 下面的積分在今后的計算中常會遇到,我們可把它們作為積分公式處理.22229,lndxxxaCxa1,ln cos,tgxdxxC 2, cotln sin,dxxC3, secln sec,xdx