勾股定理教學(xué)案例

1、勾股定理教學(xué)案例一、教材分析 （一）教材的地位與作用 勾股定理是數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理 的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。（二）教學(xué)目標(biāo) 基于以上分析和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。 知識(shí)與技能：1、了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法。2、了解勾股定理的內(nèi)容。 3、能利用已知兩邊求直角三角形另一邊的長(zhǎng)。 數(shù)學(xué)思考： 在勾股定理的探索過(guò)程中，培養(yǎng)合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想。

2、解決問(wèn)題：1、通過(guò)拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維。 2、在探索活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和探索的結(jié)果。 情感與態(tài)度：1、通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，對(duì)比介紹我國(guó)古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的情感，激勵(lì)學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)。 2、在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂(lè)，鍛煉克服困難的勇氣，培養(yǎng)合作意識(shí)和探索精神。 （三）教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：探索和證明勾股定理 難點(diǎn)：用拼圖方法證明勾股定理 二、學(xué)情分析 學(xué)生對(duì)幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。部分學(xué)生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)習(xí)小組討論交流，能夠形成解決

3、問(wèn)題的思路?，F(xiàn)在的學(xué)生已經(jīng)厭倦教師單獨(dú)的說(shuō)教方式，希望教師設(shè)計(jì)便于他們進(jìn)行觀察的幾何環(huán)境，給他們自己探索、發(fā)表自己見(jiàn)解和展示自己才華的機(jī)會(huì)；更希望教師滿(mǎn)足他們的創(chuàng)造愿望。 三、 教學(xué)方法: 1.教師教法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、嘗試指導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)探究相結(jié)合。 2.學(xué)生學(xué)法：積極參與、動(dòng)手動(dòng)腦與主動(dòng)發(fā)現(xiàn)相結(jié)合。 師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)： 教學(xué)過(guò)程: 1.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 師：（結(jié)合動(dòng)畫(huà)講故事）西周開(kāi)國(guó)時(shí)期，周公非常愛(ài)才，他和喜歡鉆研數(shù)學(xué)的商高是好朋友。有一天，商高對(duì)周公說(shuō)，最近我又有一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)，把一根長(zhǎng)為7的直尺折成直角，使一邊長(zhǎng)（勾）為3，另一邊長(zhǎng)（股）為4，連接兩端（弦）得一個(gè)直角三角形，周公您猜一猜第三邊的長(zhǎng)

4、等于多少?周公搖頭不知道。同學(xué)們，你們猜猜是多少？ 生：5！ 生：不知道！ 師：不知道也沒(méi)關(guān)系，我們來(lái)量一量斜邊的長(zhǎng)就知道了。（動(dòng)畫(huà)演示） 師：后來(lái)又發(fā)現(xiàn)，直角邊為6、8的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)是10。這兩組數(shù)據(jù)是否具有某種共同點(diǎn)呢？帶著這個(gè)問(wèn)題人們對(duì)直角三角形做了進(jìn)一步的研究，通過(guò)計(jì)算三條邊長(zhǎng)的平方發(fā)現(xiàn)，直角三角形中的三條邊長(zhǎng)之間還真有一種特殊的關(guān)系。同學(xué)們也來(lái)算一算、猜一猜看，它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？ 生：32+42=52;62+82=102（注：應(yīng)是3的平方+4的平方=5的平方，6的平方+8的平方=10的平方。） 師：這是兩組特殊數(shù)字，但由此引發(fā)一個(gè)有待我們深入思考的問(wèn)題，看哪位同學(xué)

5、有新問(wèn)題要提？ 生：一個(gè)任意的直角三角形的三邊是否也有這種相等關(guān)系呢？ 師：這個(gè)問(wèn)題提得好！我們用幾何畫(huà)板再做一個(gè)直角三角形來(lái)多實(shí)驗(yàn)幾次，請(qǐng)注意觀察。（任意改變?nèi)叺拈L(zhǎng)，度量、計(jì)算顯示相等關(guān)系依然不變。）師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以得到什么結(jié)論？（或問(wèn)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊有什么樣的關(guān)系？）請(qǐng)同桌商量討論后把你們的結(jié)論用文字語(yǔ)言或數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái)。 生：直角三角形的三邊滿(mǎn)足：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2 （注：應(yīng)是：a的平方+b的平方=c的平方） 師：同學(xué)們概括得非常好！這個(gè)結(jié)論盡管是通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到的，但要說(shuō)明它對(duì)任意的直角三角形都成立，還有待進(jìn)行證明。首先我們要明確，在什

6、么圖形中要證明什么結(jié)論？ 生：在直角三角形中證明a2+b2=c2（注：應(yīng)是：a的平方+b的平方=c的平方） 師：怎樣證明呢？（學(xué)生茫然）這個(gè)問(wèn)題是有點(diǎn)難度，讓我們先來(lái)觀察這個(gè)要證明的等式，看等式中的a、b、c表示什么？ 生：表示直角三角形的三條邊長(zhǎng)。 師：a2、b2、c2（注：應(yīng)是：a的平方、b的平方、c的平方）是邊長(zhǎng)的平方，由邊長(zhǎng)的平方可聯(lián)想到什么圖形？ 生：正方形。正方形的面積。 師：對(duì)整個(gè)等式你們?cè)鯓永斫猓?生：等式可以理解為兩個(gè)正方形的面積和等于一個(gè)正方形的面積。 師：那好，下面我們就來(lái)做一個(gè)拼正方形的游戲，看能不能對(duì)我們證明結(jié)論有些幫助。 （這一環(huán)節(jié)利用故事情節(jié)引入，是為了引起學(xué)生的

7、注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生滿(mǎn)腔熱情地投入學(xué)習(xí)過(guò)程。在問(wèn)題情景中引導(dǎo)學(xué)生提問(wèn)，是為了培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)問(wèn)題的意識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)地帶著問(wèn)題在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中去感受數(shù)學(xué)的再發(fā)現(xiàn)。） 2動(dòng)手拼圖，合作探索定理證明方法。師：現(xiàn)在，前后4人為一個(gè)小組，老師給每小組提供了拼圖模型兩套，要求每一套模型拼成一個(gè)沒(méi)有空隙且不重疊的正方形。拼好后請(qǐng)上臺(tái)展示你們的成果，比一比，看哪一組完成任務(wù)最快。 （這里充分利用了初中學(xué)生的好奇心和好勝心，給靜態(tài)知識(shí)注入了活力，同時(shí)在課堂上增添了觀察、探究等可形成能力的新因素。這樣不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，溝通相關(guān)知識(shí)，而且還能培養(yǎng)學(xué)生觀察、動(dòng)手實(shí)踐的能力。另外，在整個(gè)拼圖過(guò)程中，學(xué)生

8、自始至終處于主體位置上，老師只是他們的學(xué)習(xí)合作伙伴，在巡視的同時(shí)，給個(gè)別小組以適當(dāng)指導(dǎo)。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育思想，有利于學(xué)生在建構(gòu)的環(huán)境中，真正主動(dòng)的建構(gòu)自己的理解。） 待各組同學(xué)基本完成后，挑選出一組拼圖和同學(xué)們共同分析： 師：同學(xué)們對(duì)比自己拼成的兩個(gè)圖形，看看它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ 生：都是邊長(zhǎng)相等的正方形，但拼圖的模型不同。 生：這兩個(gè)正方形的面積相等。師：這兩個(gè)正方形的面積怎樣計(jì)算呢？通過(guò)你的計(jì)算能否證明a2 +b2 =c2 ？ （注：應(yīng)是：a的平方+b的平方=c的平方）請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?師：看哪兩位同學(xué)愿意上來(lái)寫(xiě)出證明過(guò)程。 生甲：證明：兩個(gè)正方形的面積相等， 4×

9、(ab÷2)+a2+b2=4×(ab÷2)+c2 a2+b2=c2 生乙：證明：(a+b)2=4×(ab÷2)+c2 a2+2ab+ b2=2ab+ c2 a2+ b2= c2 （注：字母后面的2，都應(yīng)是該字母的平方）（證明逐步深入，是為了啟發(fā)學(xué)生把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，聯(lián)想到用計(jì)算面積的方法證明a2+ b2= c2，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。） 師：兩位同學(xué)剛才用兩種不同的方法證明了實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理。請(qǐng)兩位同學(xué)再談?wù)勀銈兊淖C明思路好嗎？ 生甲：圖（A）的面積用四個(gè)全等的直角三角形的面積加兩個(gè)正方形的面積，圖（B）的面積

10、用四個(gè)全等的直角三角形的面積加一個(gè)正方形的面積，利用面積相等就證得結(jié)論。 生乙：我把圖（B）用兩種不同方法計(jì)算它的面積也能證得結(jié)論。師：說(shuō)得非常好！甲同學(xué)的證明思路正好符合我們前面對(duì)等式的理解；乙同學(xué)的證明思路啟發(fā)我們還可以通過(guò)拼各種不同的圖形來(lái)證明勾股定理。師：美國(guó)第十二任總統(tǒng)伽菲爾德有一天外出散步，遇到兩個(gè)伏在石板上冥思苦想的男孩，總統(tǒng)上前問(wèn)他們遇到了什么麻煩？一男孩說(shuō)：“先生，您知道怎樣證明勾股定理嗎？”總統(tǒng)一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋?zhuān)谑谴颐丶已芯浚贸隽似粗苯翘菪巫C明勾股定理的方法。（多媒體展示拼圖）按這個(gè)拼圖也能證明勾股定理嗎？請(qǐng)?jiān)囋嚳础?生：根據(jù)拼圖，用兩種方法計(jì)算梯形的面積就能證明勾

11、股定理。 師：對(duì)！這種思路很好。證明勾股定理的方法很多，有興趣的同學(xué)課后可以上網(wǎng)查詢(xún)相關(guān)資料，也可以嘗試拼出不同的圖形對(duì)勾股定理給予證明。 （多媒體展示拼圖。啟發(fā)學(xué)生一題多證，多題歸一是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性。）下面我們來(lái)看看勾股定理能幫助我們解決什么問(wèn)題？3.課堂練習(xí) (1)在Rt中，C=90°，BC=a ,AC=b,AB=c (a) 已知a=1，b =2， 則c= . (b) 已知a=15，c=17，則b= . (c) 已知c=25，b=5,則a= .(2) 一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，求底邊上的高和面積。(3）李明上學(xué)經(jīng)過(guò)的路旁有一小湖，隔湖相對(duì)有兩棵樹(shù)A、

12、B， 但無(wú)法直接測(cè)量出A、B之間的距離。請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一個(gè)解決問(wèn)題的方案好嗎？（這是一道與生活實(shí)際貼近的開(kāi)放題，鼓勵(lì)學(xué)生用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。） 4.小結(jié) 師：通過(guò)以上練習(xí)，同學(xué)們可以感受到勾股定理有什么作用？ 生：用勾股定理可以解決在直角三角形中已知兩條邊求第三邊的問(wèn)題。 師：說(shuō)得非常好！在這一節(jié)課中，你們還學(xué)會(huì)了什么？ 生：通過(guò)拼圖學(xué)會(huì)了用計(jì)算面積的方法證明勾股定理。 師：同學(xué)們總結(jié)得非常好！勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，它是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一個(gè)定理，是數(shù)形結(jié)合思想的最初體現(xiàn)，自從我國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)勾股定理后，它對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的作用和影響，我們不僅要為之自豪，更要切

13、實(shí)學(xué)好它?！窘虒W(xué)反思】 學(xué)校課堂教學(xué)中學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)，絕大多數(shù)不是一種發(fā)明創(chuàng)造，而是創(chuàng)新素質(zhì)的表現(xiàn)和培養(yǎng)過(guò)程. 學(xué)生的創(chuàng)新活動(dòng)得到什么結(jié)論是次要的，重要的是使學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)得到培養(yǎng)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新教育的價(jià)值取向。 本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程由激趣、質(zhì)疑、實(shí)驗(yàn)、活動(dòng)、探法、交流、延伸七個(gè)步驟構(gòu)成. 本節(jié)課的成功之處： 1.故事激趣收到了良好效果，學(xué)生產(chǎn)生了質(zhì)疑意識(shí)，教師順勢(shì)利導(dǎo)，提出問(wèn)題，緊扣了中心。 2.由于實(shí)現(xiàn)了教師角色的轉(zhuǎn)變，教法的創(chuàng)新，師生平等，關(guān)系融洽，氣氛活躍，課堂民主，學(xué)生積極參與，在他們心底涌現(xiàn)了一股濃濃的學(xué)習(xí)欲望. 3.面向全體學(xué)生，以人為本的教育理念落實(shí)到位，主體性得到充分體

14、現(xiàn).由于實(shí)現(xiàn)了學(xué)生角色的轉(zhuǎn)變，學(xué)法的創(chuàng)新，整節(jié)課幾乎都是學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)、自主探索、自主完成由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，學(xué)生的主動(dòng)性及合作精神都體現(xiàn)出來(lái)了。教師只是作為他們的一分子參與研究，起組織、引導(dǎo)的作用. 4.通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并經(jīng)推理論證，學(xué)生取得了勾股定理的新證法研究成果，一些新思路延伸到課外研究。5.研究成果不僅極大地豐富了學(xué)生對(duì)勾股定理的證明的認(rèn)識(shí)，而且學(xué)生從中獲得了利 用已知探求未知數(shù)學(xué)知識(shí)的能力和方法，創(chuàng)新素質(zhì)得到了培養(yǎng)和提高，這對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和將來(lái)的發(fā)展是大有裨益的。 【教學(xué)評(píng)析】 這節(jié)課主要采用講、看、思、問(wèn)、做等多種教學(xué)手段，通過(guò)激趣、質(zhì)疑、實(shí)驗(yàn)、活動(dòng)、 交流等環(huán)節(jié)，圍繞如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力，進(jìn)行了很有價(jià)值的探索。 本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)分以下幾個(gè)階段進(jìn)行：第一階段是教師講述“折尺的學(xué)問(wèn)”的故事引入新課，以激發(fā)興趣，鼓勵(lì)質(zhì)疑，意在培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)。交流收獲；第二階段是通過(guò)計(jì)算猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)探究直角三角形三邊之間的關(guān)系，學(xué)生總結(jié)勾股定理的證明方法和步驟；第三階段是拼圖驗(yàn)證再