圓錐曲線中離心率及其范圍地求解專題

1、圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題【高考要求】1 熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并靈活運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題。2 .掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其范圍等問題的求解策略；3 靈活運(yùn)用教學(xué)中的一些重要的思想方法(如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類討 論思想、等價轉(zhuǎn)化的思想學(xué))解決問題。【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線離心率及其范圍有關(guān)的問題的討論常用以下方法解決：(1 )結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；(2 )不等式(組)求解法：禾U用題意結(jié)合圖形(如點(diǎn)在曲線內(nèi)等)列出所討論的離心率(a,b,c)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出離心率的變化范圍；(3 )函數(shù)值域求解法：把

2、所討論的離心率作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來 表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求離心率的變化范圍。(4 )利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的 構(gòu)思；(5 )結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個 共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于： 通過參數(shù)B簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解范圍等問題；(6 )構(gòu)造一個二次方程，利用判別式0。2.解題時所使用的數(shù)學(xué)思想方法。(1 )數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是 其中各種量之間的大小和

3、位置關(guān)系不能倒置；二是要會把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出 來，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。(2 )轉(zhuǎn)化的思想方漢。如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、 求曲線交點(diǎn)問題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化, 實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，動點(diǎn)與不動點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化。(3 )函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中 的一元二次函數(shù)知識等。(4 )分類討論的思想方法，如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論等?！绢}型分析】1.已知雙曲線C1x22y21 (a 0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1bF2，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線與雙曲線 C1的左準(zhǔn)線重合，若雙曲線C

4、1與拋物線c2的交點(diǎn)P滿足pf2F|F2，則雙曲線C1的離心率為()2 3c.解：由已知可得拋物線的準(zhǔn)線為直線，二方程為4ax ；c由雙曲線可知22p(c2) 丄)2aa4a2c，二 b2c2a2b222，二 e2 12，e 3a2x2 橢圓 2a的兩個焦點(diǎn)分別為 F、F2，以Fj、F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率e為b.3 1C. 4(23 )解析：設(shè)點(diǎn)P為橢圓上且平分正三角形一邊的點(diǎn)，如圖，由平面幾何知識可得| PF21:| PF| 卩店21 1:3 : 2，所以由橢圓的定義及e 得:a2c e 一2aIF1F2IIPF1I IPF2I3 1，故選b.變式提

5、醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率e 3 1.3.(09浙江理)過雙曲線x2 ay b21(a0,b0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線uur1 UUUT的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B,C若ABBC2，則雙曲線的離心率是()A .2B.3C.5D.102 2【解析】對于A a,0，則直線方程為x直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B , C ,aba b,C(abab umr a b，BC(2a2b(2 . 2 ,a b2a2buuua2 &2代ab abuuu 因此2ABuurBC,4a2b2,e 5 答案:2x4.（ 09江西理）過橢圓_2a2【2 1(ab0）的左焦點(diǎn)

6、Fi作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P ,F2為右焦點(diǎn),若 F1PF260o，則橢圓的離心率為（【解析】因?yàn)镻（ c,)，再由F1PF2a60。有a2a,從而可得3，故選35.（08陜西理）雙曲線2x2a2b21（a 0，b 0）的左、右焦點(diǎn)分別是Fi,F2，過F1作傾斜角為30o的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（b.3c.23D .36.（ 08浙江理）2x若雙曲線2a2y21的兩個焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為b22,則雙曲線的離心率是(D)(A)3(B) 5(C)3(D)57. （08全國一理）在 ABC 中,AB BC，cos B.若以A，18B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C

7、，則該橢圓的離心率e8. （10遼寧文）設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（(A)2(B)3<3 1(c)2(D)51解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為:2x2a2話 1（a °b °），b則一個焦點(diǎn)為F（c,0）, B（0, b） 一條漸近線斜率為：，直線FB的斜率為:ab2 ac2c 51a ac 0，解得 e a 29. (10全國卷理)已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且uuuBFUUITFD ,則C的離心率為解析：答案：亠33如圖，

8、設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2 +a2 y b2l(a> b > 0)不妨設(shè)B為上頂點(diǎn),F為右焦點(diǎn),uuu設(shè) D(x, y) 由 BFuuur2 FD，得(c, b)= 2(x-c, y),c 2(x c)b 2yx，解得3c2b由D在橢圓上得:/3 2(2c)2a【解析1】3如圖,3|OF |DD1|BF |BD|Ab2|FD|BF| b2-所以| DD13cD(,2；|OF|2za3C匕 3c) a3c3c22a又由 |BF | 2|FD |,得 a2a3c2【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式xc0 2x2X232X2X2a3c 2 c； Yc2c4 a21 b24 b2c2 _ 1

9、a2 3作DD13c,即 xd2b2 1，b 2y2y2c，二 e =ay軸于點(diǎn)UUD1則由BFUlT2FD , 得3c，由橢圓的第二定義得2設(shè) D X2,y2, f 分3yc b 3 0 bBD所成的比為10.（07全國2理）設(shè)R, F2分別是雙曲線A，使2y2的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)b2F1AF290o且 AF13 AF2則雙曲線的離心率為（1022c ? e1010215C.2SAF1- AF2 = 2AF2= 2a 解 口 222 ? a?(AFJ2+(AF2)2= (2 c)2I2x11.橢圓一2ab21(a0,b0）的左焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與橢圓

10、交于 A、B兩點(diǎn)且F分向量BA的比為2/3，橢圓的離心率e為:。本題通法是設(shè)直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的比。思路簡單, 運(yùn)算繁瑣。下面介紹兩種簡單解法。解法（一）：設(shè)點(diǎn) A Xa, Ya ，B Xb, Yb由焦半徑公式可得a exAa exB則 2(a exA) 3(a exB)，變形 2(a exA a exa exB，所以 2e(xA xB)exs因?yàn)橹本€傾斜角為45o，所以有2e?AB2| ab| ，所以2e 5提示：本解法主要運(yùn)用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系。焦半徑 是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運(yùn)用它解題，可以化繁

11、為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點(diǎn)弦,應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。解法（二）：1BE -|BFA?|abee 51AD - AFl? ABee 5|ac|#|abAD BE|AC!?3 ab !?-|ab |abe 5 e 5212.（10遼寧理）（20）（本小題滿分12分）2 x 設(shè)橢圓C :2a1（a b 0）的左焦點(diǎn)為f,過點(diǎn)f的直線與橢圓c相交于A, B兩點(diǎn)，直線uuul的傾斜角為60o, AFuuu2FB .橢圓C的離心率解:設(shè) A(x-!, y1), B(x2,y2)，由題意知 y1 <o, y2 >o.解得(i)聯(lián)立y1直線y2x2al的方程為 y

12、3（x c），其中c a2 b23(x c),得(3a2 b2)y22*；3b12 y b2cy 3b43b2 (c 2 a)2 23a b3b2 (c 2a)2 23a buur 因?yàn)锳Fuuu2FB ,所以2y2.3b2(c 2a)3b2(c 2 a)3a2 b22? 2 23a2 b213. A是橢圓長軸的一個端點(diǎn),O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P,2x解析：設(shè)橢圓方程為2ax2 ax+ y2 =0,兩式聯(lián)立/OPA= 2，則橢圓離心率的范圍是2y2 =1( a> b > 0),以O(shè)A為直徑的圓:b22 .2a b2ax2 ax+ b2=0.即 e2x2 ax+ b2=0,

13、該方程有一解X2,解為 a,由韋達(dá)定理2 < e < 1.2aaX2= 2 a,0< X2< a, 即卩 0< 2 a< aee2X14.在橢圓 2a2y21（a b 0）上有一點(diǎn)m , F1, F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若b橢圓的離心率的取值范圍是解析：由橢圓的定義，可得程x22ax所以eMFMF22a 又 MFMF22b20的兩根，由(2a)24 2b2MF IMF2I 2b2,22b ，所以MF 1 , MF2-是方可得a22b2，即 a22(c2 a2)，所以橢圓離心率的取值范圍是22x15.（08湖南）若雙曲線一?a2 y b2（a>0,b &g

14、t;0）上橫坐標(biāo)為3a的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線2的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)B.(2,+C.(1,5)D. (5,+)解析由題意可知（3a22a、)ec即 3e 132-解得e 2故選b. e2X16. （07北京）橢圓一？a2 y b21(ab 0）的焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M，N，若MNd(0J解析由題意得17. (07 湖南)F1F22a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（b. (0, 222 2c.e2故選D.c.1，)D. 2，)設(shè)Fi,2xF2分別是橢圓2ab 0）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P,使線段PF|的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離

15、心率的取值范圍是a. (0, 22B. (0, 33C.2分析通過題設(shè)條件可得PF2 2c,求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，如何建立?2a解析：丁線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2, /.PF2 2c,又點(diǎn)p在右準(zhǔn)線上，PF2 cc即2ca2c 33c:':、c a 33e 1，故選d.點(diǎn)評建立不等關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識相對來說比較簡便2 2x y18. ( 08福建理)雙曲線一2a b1 (a>0,b >0)的兩個焦點(diǎn)為Fl、F2,若P為其上一點(diǎn)且|PFi|=2| PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)A.(1,3)B. 1,3C.(3,+) D. 3,分

16、析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？利用第二定義及焦半徑判斷x0 3 a解析：T|PF1|=2|PF 2|,PF1| |PF2|=|PF2|= 2a，|PF2| c a 即 2a c a -3a c所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e 3，故選b.解2如圖2所示，設(shè)PF2 m，F(xiàn)1PF2(0)，2cm2 (2 m)2 4m2 cos e 、5 4cos2am當(dāng)點(diǎn)p在右頂點(diǎn)處有.：1 cos 1，二e 1,3 .選B.小結(jié) 本題通過設(shè)角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數(shù)的形式表示岀來，通過求角的余弦值的范圍，從

17、而求得離心率的范圍.點(diǎn)評：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論(雙曲線上任一點(diǎn)到其對應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小 于c a)則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.uuuu UUJUT19.(08江西理)已知F,、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足 MF1 MF20的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是(C)122A .(0,1)B.(0,2C.(0, 2 )D.T,1)解據(jù)題意可知，/ F1M F2是直角，則垂足iM的軌跡是以焦距為直徑的圓.所以22222 1(0,1)，所以2c bcbace一又ee(0,)選 C.22小結(jié) 本題是最常見的求離心率范圍的問題，其方法就是根據(jù)已知條件，直接列岀關(guān)于a,

18、 b, c間的不2等量關(guān)系，然后利用 a, b , c間的平方關(guān)系化為關(guān)于 a, c的齊次不等式，除以 a2即為關(guān)于離心率e的一元二次不等式，解不等式，再結(jié)合橢圓或雙曲線的離心率的范圍，就得到了離心率的取值范圍2 2x y20. （ 04重慶）已知雙曲線一21,（aa b0,b 0）的左，右焦點(diǎn)分別為F2，點(diǎn)p在雙曲線的右支45小7A一Bc 2D一333|PF2|=3|pf 2|= 2a，|PF2|25|PF1|=4PF 2|,.|PF1|c a 即一ac a . a c33上，且 IPRI 4咪| ，則此雙曲線的離心率 e的最大值為：（)所以雙曲線離心率的取值范圍為 1 e 5，故選B.32

19、2Xy21.已知F1， F2分別為一221ab(a 0,b0）的左、右焦點(diǎn)，p為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若PF1PF2的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（)A (1,2 B(1,3 c2,3 D3,)解析門PF2(2aPF2PF2I4a2PF2PF2| 4a 2 4a2 4a 8a，欲使最小值為8a，需右支e 3.22xy,22.已知橢圓一221(a bab上存在一點(diǎn)p,使 PF2 2a，而 PF2 c a即2a c a所以10）右頂為a,點(diǎn)p在橢圓上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 op垂直于pa，橢圓的離心率e的取值范圍是；解：設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0），則有2x°a2x°y

20、。2b2ax0y。2 02 2消去y0得(a2 2b )X03a x°a2b20若利用求根公式求x0運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知ax02以a b22a bX023.橢圓G :2x2a22 1(a b0）的兩焦點(diǎn)為R（c,0）,F2（c,0），橢圓上存在點(diǎn)M使ULUV UJUJVF1M F2M0.求橢圓離心率e的取值范圍UUJIV UUJUV解析設(shè)F2Mx22 2_y cb2b2 2 一2 x a代入得x22以a b2 Q0 x2a2求得陽 e 122點(diǎn)評： 一2a2yb21(ab 0)中 x是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重

21、視.2x24.（ 06福建）已知雙曲線_2a2 y b21(a0,b0）的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)f且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(A) (1,2( B) (1,2)(C) 2,)( d ) (2,)24a即e 2故選c.即 b3a 即 c2 a2 3a2 /-c2解析 欲使過點(diǎn)f且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于 等于漸近線的斜率b，/ b > 3，a a25.（ 04全國I）設(shè)雙曲線 C :2x2ay21(a 0)與直線 l : x y1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B.求2 x2 a(1 - a2)x2

22、+2 a2x 2a2=0.1所以a20.4a4 8a2(1a2)解得0 a2且 a0.1.雙曲線的離心率：e1 Q 0 a血且a e號且e丘所以雙曲線的離心率取值范圍是(26, 2)U( 2,雙曲線C的離心率e的取值范圍： 解析 由C與|相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組y21,有兩個不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得1.總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時要注意焦點(diǎn)的位置等.2 x26 設(shè)F1， F2分別是橢圓一2a2y2 1 （ a b 0）的左、右焦點(diǎn)，若

23、在其右準(zhǔn)線上存在 P,使線段PF1b的中垂線過點(diǎn) F2，則橢圓離心率的取值范圍是（ d ）0, 220,C.3 ,132a+ cc22c3c? e331（a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F, c,0）, F2（c,0），若橢圓上存在一點(diǎn)P使ac，則該橢圓的離心率的取值范圍為sin PF1F2sin PF2F1【答案】2 1,122x y27. （09重慶卷文）已知橢圓 一22a bPF2解法1，因?yàn)樵赑F1F2 中，由正弦定理得sin PF| F2PF1sin PF2F1a c則由已知，得，即aPF1 cPF2PF 2 RF1a exj貝U a(a ex) c(a e«)設(shè)點(diǎn)（X）,

24、y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得PF1 a ex0, PF2(B)0；(C)2 1,1(D)12,1記得X。a(ca)a(e衛(wèi)由橢圓的幾何性質(zhì)知xa則 a(e1）a，整理得e(ca)e(e1)e(e1)e2 2e10,解得e21或e 21,又 e (0,1),故橢圓的離心率e ( 21,1)28. ( 10四川理）橢圓2x22y1(a b）的右焦點(diǎn)F ,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存ab2在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn) F，則橢圓離心率的取值范圍是22= a b 而 |FA| = c cc即 ac- c2<b2<ac + c2解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) P,使得線段AP的垂直平分

25、線過點(diǎn) F , 即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等b2|PF| a-c,a+c，于是 一 a c,a + cac2 c2 a2 cca1222acaccc1或 caa1又 e (0,1)故 e,1 答案：D1 2229 .已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD| ,點(diǎn)E滿足AE EC，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為2 3焦點(diǎn)，當(dāng)一時，雙曲線離心率e的取值范圍是：。3 4分析：顯然，我們只要找到 e與的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求岀e的范圍解：如圖4，建立坐標(biāo)系，這時 CD丄y軸， 因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) C、D，且以A、B為焦點(diǎn),由雙曲線的對稱性知 C、D關(guān)于y軸對稱依題意CA(-C,0)