人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案2：7 1 1　條件概率

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE17.1.1條件概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型，了解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．基礎(chǔ)·初探知識點一條件概率一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝______為在事件____發(fā)生的條件下，事件____發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作____發(fā)生的條件下____發(fā)生的概率．100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格．令A(yù)＝{產(chǎn)品的長度合格}，B＝{產(chǎn)品的質(zhì)量合格}，AB＝{產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格}．思考1試求P(A)，P(B)，P(AB)．思考2任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率．思考3P(B)，P(AB)，P(A|B)間有怎樣的關(guān)系．知識點二概率乘法公式對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝為概率的乘法公式．知識點三條件概率的性質(zhì)1．任何事件的條件概率都在之間，即.2．如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝．歸納·升華·領(lǐng)悟1．事件B發(fā)生在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率通常情況下與沒有這個附加條件的概率是不同的．2．由條件概率的定義可知，P(B|A)與P(A|B)是不同的．另外，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)與P(B)不一定相等．3．P(B|A)＝eq\f(P(A∩B),P(A))可變形為P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的兩個值就可以求得第三個值．4．事件AB表示事件A和事件B同時發(fā)生．把事件A與事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D稱為事件A與B的交(或積)，記為D＝A∩B(或D＝AB)． 題型探究探究一條件概率的定義及計算命題角度1利用定義求條件概率例1.某種動物活到20歲的概率是0.8，活到25歲的概率是0.4，則現(xiàn)齡20歲的這種動物活到25歲的概率是()A．0.32 B．0.5C．0.4 D．0.8反思感悟利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)．(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練1.把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,9)命題角度2縮小樣本空間求條件概率例2.一個盒子內(nèi)裝有4個產(chǎn)品，其中3個一等品，1個二等品，從中取兩次，每次任取1個，做不放回抽?。O(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，試求條件概率P(B|A)．反思感悟利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮：將原來的基本事件全體Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為AB.(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的基本事件．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練2.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別是1，2，3，4，5，6點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，記事件A為“x＋y為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，則概率P(B|A)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)探究二概率的乘法公式例3.某項射擊游戲規(guī)定：選手先后對兩個目標(biāo)進(jìn)行射擊，只有兩個目標(biāo)都射中才能過關(guān)．某選手射中第一個目標(biāo)的概率為0.8，繼續(xù)射擊，射中第二個目標(biāo)的概率為0.5，則這個選手過關(guān)的概率為________．反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)該概率公式可以推廣P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟蹤訓(xùn)練3.從1～100共100個正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一個數(shù)不大于50，則此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率為________．探究三條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用例4.在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．反思感悟條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應(yīng)注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．(2)為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．跟蹤訓(xùn)練4.在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率．當(dāng)堂檢測1.已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(B|A)為()A．eq\f(9,50) B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10) D．eq\f(1,4)2.袋中有5個小球(3白2黑)，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,10)3.某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為eq\f(4,15)，刮風(fēng)的概率為eq\f(2,15)，既刮風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10)，則在下雨天里，刮風(fēng)的概率為()A．eq\f(8,225) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,4)4.某種電子元件用滿3000小時不壞的概率為eq\f(3,4)，用滿8000小時不壞的概率為eq\f(1,2).現(xiàn)有一只此種電子元件，已經(jīng)用滿3000小時不壞，還能用滿8000小時的概率是________．5.考慮恰有兩個小孩的家庭．(1)若已知某家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；(2)若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩(相當(dāng)于第二個也是男孩)的概率(假定生男生女為等可能)．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識點一1．eq\f(P(AB),P(A))ABAB思考1〖答案〗P(A)＝eq\f(93,100)，P(B)＝eq\f(90,100)，P(AB)＝eq\f(85,100).思考2〖答案〗事件A|B發(fā)生，相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1件長度合格，其概率為P(A|B)＝eq\f(85,90).思考3〖答案〗P(A|B)＝eq\f(PAB,PB).知識點二概率乘法公式P(A)P(B|A)知識點三1．0和10≤P(B|A)≤12．P(B|A)＋P(C|A)例1．〖答案〗B〖解析〗記事件A表示“該動物活到20歲”，事件B表示“該動物活到25歲”，由于該動物只有活到20歲才有活到25歲的可能，故事件A包含事件B，從而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以現(xiàn)齡20歲的這種動物活到25歲的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.跟蹤訓(xùn)練1．〖答案〗A〖解析〗由題知本題是一個條件概率，第一次出現(xiàn)正面的概率是P(A)＝eq\f(1,2)，第一次出現(xiàn)正面且第二次也出現(xiàn)正面的概率是P(AB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).例2.解：將產(chǎn)品編號為1，2，3號的看作一等品，4號為二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分別取得第i號，第j號產(chǎn)品，則試驗的基本事件空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9種情況，事件AB有6種情況，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).跟蹤訓(xùn)練2.〖解析〗選B.根據(jù)題意，事件A為“x＋y為偶數(shù)”，則x，y兩個數(shù)均為奇數(shù)或偶數(shù)，共有2×3×3＝18個基本事件．所以事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(2×3×3,6×6)＝eq\f(1,2)，而A，B同時發(fā)生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6個基本事件，所以事件A，B同時發(fā)生的概率為P(AB)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).例3.〖答案〗0.4〖解析〗記“射中第一個目標(biāo)”為事件A，“射中第二個目標(biāo)”為事件B，則P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即這個選手過關(guān)的概率為0.4.跟蹤訓(xùn)練3.〖答案〗eq\f(33,50)〖解析〗設(shè)事件C為“取出的數(shù)不大于50”，事件A為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件B是“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”．則P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率為P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(P（AC）,P（C）)＋eq\f(P（BC）,P（C）)－eq\f(P（ABC）,P（C）)＝2×(eq\f(25,100)＋eq\f(16,100)－eq\f(8,100))＝eq\f(33,50).例4.解：法一：設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，則P(A)＝eq\f(1,10)，P(AB)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(AC)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30)．∴P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,45),\f(1,10))＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(P(AC),P(A))＝eq\f(\f(1,30),\f(1,10))＝eq\f(1,3)．∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)．∴所求的條件概率為eq\f(5,9)．法二：∵n(A)＝1×Ceq\o\al(1,9)＝9，n(B∪C|A)＝Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＝5，∴P(B∪C|A)＝eq\f(5,9)．∴所求的條件概率為eq\f(5,9)．跟蹤訓(xùn)練4.解：記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq\f(12180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq\f(P(A),P(D))＋eq\f(P(B),P(D))＝eq\f(\f(210,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(2520,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58)．故所求的概率為eq\f(13,58)．當(dāng)堂檢測1.〖答案〗B2.〖答案〗C〖解析〗在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，所以取到白球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件A為下雨，事件B為刮風(fēng)，由題意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).4.〖答案〗eq\f(2,3)〖解析〗記事件A為“用滿3000小時不壞”，P(A)＝eq\f(3,4)；記事件B為“用滿8000小時不壞”，P(B)＝eq\f(1,2).因為B?A，所以P(AB)＝P(B)＝eq\f(1,2)，則P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(1,2)×eq\f(