在實(shí)際應(yīng)用中柯西積分公式的用途-正文

1、柯西積分公式的應(yīng)用姓名：武小娜 班級(jí)： 2014 級(jí)數(shù)學(xué)教育 學(xué)號(hào)： 201430626摘要:闡述了柯西積分公式在解析函數(shù)理論中的重要地位, 敘述了各種不同表示形式的柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式 , 并舉例說(shuō)明了這些公式在積分計(jì)算中 的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 解析函數(shù) ;復(fù)積分; 柯西積分公式 .1 前言實(shí)變函數(shù)與泛函分析是綜合性大學(xué)理工科的基礎(chǔ)課程，其中柯西積分定 理和柯西積分公式是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵，也是 19 實(shí)際最獨(dú)特的創(chuàng)造，是抽象科學(xué)中 最和諧的理論之一許多重要的性質(zhì)定理由它們直接或者間接推導(dǎo)出來(lái)的柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)的基本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達(dá)式，它 深刻地反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)邊界

2、值與內(nèi)部值的關(guān)系 柯西積分公式的基 本理論和相關(guān)性質(zhì)已經(jīng)有了詳細(xì)而全面的闡述 但柯西積分公式仍然存在一些有 待解決和完善的方面有些理論的證明比較復(fù)雜，為初學(xué)者帶來(lái)了諸多的不便； 柯西積分公式只給出了求解光滑周線域的復(fù)積分方法； 已經(jīng)證明了的理論給出的 例題還不夠 考慮到柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)積分的基礎(chǔ)， 對(duì)其進(jìn)行研究具有較 強(qiáng)的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義通過(guò)閱讀大量的專著，期刊還有網(wǎng)上的資料，本文將對(duì)實(shí)變函數(shù)中的柯西 積分公式和它的幾個(gè)重要的推論的意義及其性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)， 并舉出相應(yīng)的例 子，化抽象為具體； 還將對(duì)柯西積分公式的使用條件和使用方法進(jìn)行總結(jié)； 然后 總結(jié)歸納參考文獻(xiàn)中得到的結(jié)論，并試圖

3、將歸納得到的這些結(jié)論做進(jìn)一步的推 廣；在論文的最后， 會(huì)選取一些經(jīng)典例題做供大家參考！ 為完成本文我查閱大量 的相關(guān)資料，力求把課本上的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中去2 預(yù)備知識(shí)2.1 柯西積分定理設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則cf (z)dz 02.2 推廣的柯西積分定理設(shè)C是一條周線，D為C之內(nèi)部，函數(shù)f(z)在閉域D D C上解析，則c f(z)dz 0 .2.3 復(fù)周線柯西積分定理設(shè)D是有復(fù)周線C Co Ci C2Cn所圍成的有界n 1連通區(qū)域，函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在D D C上連續(xù)，則 f(z)dz 0 .c2.4 柯西積分公式設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)

4、周線)C，函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析，在D D C上連續(xù)，則有 f(z)丄Qd ( z D).2 i c z3 柯西積分公式的推論3.1 解析函數(shù)平均值定理如果函數(shù)f(z)在Zo|R內(nèi)解析，在閉圓IzoR上連續(xù)，則1 2 .f (zo) f (zo Re1 )d ，2 o即f(z)在圓心z的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù).證：設(shè)C表示圓周z R，貝Uzo Re ,o 2即z Re ，由此diRdd根據(jù)柯西積分公式f(zo)1f()d1f (zo Re1 )iRe,.d2 i czo2 i cRs12f (zoRe )d2o3.2 高階導(dǎo)數(shù)公式設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線)C，函數(shù)f(z)在D內(nèi)

5、解析，在D D C上連續(xù)，則函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有f(n)(z)旦(z D)2 i c( z)n 1(n 1,2,)這是一個(gè)用解析函數(shù)f (z)的邊界值表示其各階導(dǎo)函數(shù)內(nèi)部值的積分公式.現(xiàn)行教材中，僅應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明了它的特殊形式高階導(dǎo)數(shù)公式，而數(shù)學(xué)歸納法比較繁瑣.下面首先給出引理，然后利用該結(jié)論導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式一 種簡(jiǎn)單的證明.引理 設(shè) 是一條可求長(zhǎng)的曲線，f(z)是 上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于每個(gè)自然數(shù) m及復(fù)平面C上的每個(gè)點(diǎn)z ，定義函數(shù)Fm(z) )md(z)那么每個(gè)Fm(z)在區(qū)域D C 上解析，且Fm(z) mFm 1(Z)證明：首先證明Fm(z)是區(qū)域G上的連續(xù)函數(shù)，

6、即要證明，對(duì)于 G內(nèi)的任意點(diǎn)a，不論0多么小，總存在0,只要(z在G內(nèi)的點(diǎn))，就有Fm(z) Fm(a)因?yàn)?1)所以1m(a)(丄z(za)丄)a k 111m kk 1(z) ( a)1 (z)m1(a)a)2(z)( a)mFm(z)Fm(a)z a f()f(a)11m-d a因?yàn)閒(z)在上連續(xù)，所以存在某個(gè)常數(shù)M0 ,使得對(duì)于上一切點(diǎn)，f ( ) M .設(shè)a與的距離為r .那么對(duì)于任意rr 2,于是有(2)得Fm(z) Fm(a)a Mm(-)m 1I，其中I為曲線的長(zhǎng).z a Mm(2)m 1Im 1rMm2m 1Imin(m 1rm 1Mm2 I1)那么，當(dāng)z a，就有 Fm(

7、z) Fm(a)其次證明Fm(Z)在區(qū)域G上解析，且滿足Fm(Z)mFm 1(z)，在G內(nèi)任取一點(diǎn)a，設(shè)z G, z a，由(1)得Fm(z) Fm(a)f(z)( a) 1 d(廠d因?yàn)閍，所以對(duì)于滿足不等式1 k m的每個(gè)k，f (z)( z) k在上連續(xù)根據(jù)前一部分的證明，上式右邊的每個(gè)積分都在G上定義了一個(gè)變量z的連續(xù)函數(shù)，因此，當(dāng)z a時(shí)的極限存在，即Fm(a)( f( )Ld(a)f( ) d rFdmFm i(a) 對(duì)于G內(nèi)的一切a均成立.F面使用這個(gè)引理證明高階導(dǎo)數(shù)公式：證明：由柯西積分公式，對(duì)于G內(nèi)的任意點(diǎn)z，有f(z) 2；5d(z)記f(z) F,z)根據(jù)引理,f(z)

8、Fi(z) F2(z) f (z) F2(z)2!F3(z)f (z) 2!F3(z) 3!F4(z)f(m) (z)m!Fm i (z)m!f()m 1 d z)3.3 柯西不等式設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，a為D內(nèi)一點(diǎn)，以a為心作圓周r:a R , 只要r及其內(nèi)部K均含于D，則有嚴(yán))n!Mn(R),M(R) max f(z),n 1,2,.RnA a| R證：由上面的推導(dǎo)可由柯西積分公式得到高階導(dǎo)數(shù)公式，下面再有高階導(dǎo)數(shù)公式證明柯西不等式應(yīng)用上面得到的定理，則有(n)(a)n!2 ic(a)n!2M (R)Rn1n!M (R)Rn注：柯西不等式是對(duì)解析函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)式,說(shuō)明解析函

9、數(shù)在解析點(diǎn)a的各階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)與它的解析區(qū)域的大小密切相關(guān).3.4 劉維爾定理有界整函數(shù)f (z)必為常數(shù)證：設(shè)f (z)的上界為M，則在柯西不等式中，對(duì)無(wú)論什么樣的R，均有M (R) M .于是命n 1時(shí)有f (a)Mr，上式對(duì)一切R均成立，讓R，即知f (a)0，而a是z平面上任一點(diǎn),故f (z)在z平面上的導(dǎo)數(shù)為零，所以，f(z)必為常數(shù)3.5 摩勒拉定理若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對(duì)D內(nèi)任一周線C，有cf(Z)dZ 0 ,則f (z)在D內(nèi)解析.證：在假設(shè)條件下，即知F(z)zf ( )d(zo D)zo在D內(nèi)解析，且F (z) f (z) (z D).但解析函數(shù)F(z)的導(dǎo)函

10、數(shù)F (z)還是解析的.即是說(shuō)f(z)在D內(nèi)解析.4 奇點(diǎn)在積分路徑C上的柯西積分公式我們一般討論的復(fù)積分，要就被積函數(shù)在積分路徑上有界，并且奇點(diǎn)不在積 分路徑上，這類積分可以直接套用柯西積分公式可求， 如果積分路徑上存在奇點(diǎn)， 就不滿足條件了，就不能直接用柯西積分公式了，此時(shí)一般用復(fù)積分概念，利用 極限來(lái)求解，但比較復(fù)雜，甚至求不出結(jié)果.下面結(jié)合Holder條件和奇異積分相關(guān)知識(shí)，對(duì)被積函數(shù)分析變形，針對(duì)奇點(diǎn)在積分路徑上的復(fù)積分得出一種新的 求解公式.定義1設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，勺C，函數(shù)f (z)在C z0上連續(xù)，在z附近無(wú)界，在C上z的兩邊各取一點(diǎn)z,Z2，若limf (z)

11、dzz1 ,z2 zo c Zi, z2存在，則稱此極限值是f沿C的奇異積分，記為f (z)dz limf (z)dzcZi,Z2 zo c zi ,z2定義2設(shè)C是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，zd C，函數(shù)f(z)在C z0上連續(xù)，在Z。附近無(wú)界，以Z。為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與C的 交點(diǎn)恰為Z1，Z2，若極限叫c *児dZ存在，則稱此極限值是f沿C的柯西主值積分，記為2 i czzolim 0 2 i c Zi ,Z2f(z)dzz Zo定理1設(shè)C施光滑曲線，取正向，若f滿足Holder條件，即af(乙)f(Z2) Kzi Z2 ,(0 a 1)(其中K, a都是實(shí)常數(shù)，Zi,

12、Z2是C上任意兩點(diǎn))則稱柯西主值積分存在,且有12 if(Z)dzcZ Z012 i-()dzf (zo), (z C)cz Z02證：1f(z)lz1f (z) f (Z0)dz f(Z)dZ dz2 icZ Z02 i cZ1,Z2z z02 i c Z1，Z2 z z01dzlog(Z1Z0)log(z2 Z0)又c Z1,Z2 zz0iarg(z1Z0)arg(z2Z0)i ,(0)(其中l(wèi)og(z Z0)為c Zi,Z2上任意連續(xù)分支，Z! ZoZ2 Zo)，arg(N z) argZ z。)為當(dāng)z從z沿c乙衛(wèi)變動(dòng)到Zi時(shí)z z0的幅角改變量,當(dāng) 0即Z|,Z2Zo時(shí)，它的極限值為又

13、因?yàn)閒(z)滿足Holder條件，即f(z) f (Z0)ZZ0Kraz Z0而0 a 1，則積分1 f(z) f(Z)dz2 i c z Z0存在.于是，得f(z)cz Z0dzf(z)c Z1Z2f (z。)Z0f(Z)dz 2 i c Z1，Z2 z Z0a)1 f(Z) f(Z0)dz2 i c z Z0定理2若C是簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，D是以C為邊界的有界單連通區(qū)域，f(z)在D內(nèi)解析，在D z；上連續(xù)(Z) C)，在Z)的鄰域有Kf(z) ,0 a 1,z D z。, K 為常數(shù)Z Zo則、；f (z)dz 0 .c證：以Zo為心，充分小的0為半徑作圓，在C上取下一小段弧C，在D內(nèi)得到

14、圓弧L，取正向，有柯西積分定理f (z)dzc cf(z)dz 0,設(shè)L的參數(shù)方程為ziz0e , 1L f(z)dzNdzK 1 a( 21)0,(0).zZf (z)dz limc0 c cf(z)dz叫 L f(z)dz 0定理3設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線)C，f (z)在D內(nèi)解析，在D D C上連續(xù)，且在C上f(z)滿足Holder條件，則有f(z。)此式稱為z0在邊界C上的柯西積分公式.證：f(z)滿足Holder條件，則有af(乙)f(Z2) KZ1 Z2 ,(0 a 1)那么由定理1知：z Z0六蘭dz (Z0),(Z0 C)于是由定理3得故有f(z) f(Zo)z Zo1

15、aZZo,(0 a 1)f(z)*f(Zo)c巴dZ,(Zo C)另外，當(dāng)C是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線,Zo C，函數(shù) f(Z)在 C Zo上連續(xù)，在Zo附近無(wú)界，以Zo為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與C的交點(diǎn)恰為Zi, Z2，若極限lim fZ)dZ不一定存在.因此，此時(shí)的柯西積分o 2 i c Zi,Z2 z Zo主值不能確定，故此時(shí)Zo在邊界C上的柯西積分公式也不能確定.5.3 柯西積分公式的方法與技巧柯西積分公式是復(fù)積分基本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達(dá)式，它深刻地 反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)邊界值與內(nèi)部值的關(guān)系. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)給我 們一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求積分的公式，是求沿閉

16、曲線的積分更加簡(jiǎn)潔.而尤其重要的 是，高階導(dǎo)數(shù)公式告訴我們：只要函數(shù) f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)(解析)，則它的各階導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)存在.到此為止，我們已經(jīng)掌握了關(guān)于復(fù)積分計(jì)算的基本定理和公式.因此，計(jì)算復(fù)積分不再是應(yīng)用某一定理或某一公式，而往往是同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理或幾個(gè)公 式，這就要求我們加強(qiáng)對(duì)綜合問(wèn)題的分析、研究和求解能力的培養(yǎng).當(dāng)被積函數(shù)為有理函數(shù)或被積函數(shù)可化為分母為多項(xiàng)式的函數(shù)式，如果在封閉曲線C內(nèi)含有分母的一個(gè)零點(diǎn)而分子在C內(nèi)處處解析(即對(duì) - g(z)dz，cg(z)衛(wèi)或f (z)n 1，Zo在 C 內(nèi)，而f(z)在C內(nèi)處處解析)，則可直接應(yīng)用z Zo(z Zo)柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公

17、式來(lái)計(jì)算積分. 而在有理函數(shù)情形，若C內(nèi)含有分母 一個(gè)以上零點(diǎn)而分子解析，則要先將被積函數(shù)化為部分分式，然后依據(jù)具體問(wèn)題是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈデ蠓e.6舉例應(yīng)用例1計(jì)算積分dzc(z24)cos zC：x2 y2 4x.解：化x2 y24x 為(x 2)2y24，即 z 22 -C內(nèi)有奇點(diǎn)丁2，作以和2為心的位于C內(nèi)的互不相交且互不包含的小圓周2與柯西積分公式，有G和C2，依復(fù)閉合定理dz2c(z 4)coszdz2C2 (z4) cos z1dz2c1 （z 4） cosz1 dzc1 cosz川丄z 4:i2 161 1 1 ）dz，（2）（ -一 ）dzz 3z 4 z 4 z 3分析：（1）和

18、（2）的主要區(qū)別在于積分路徑上是否存在奇點(diǎn)，（1）的結(jié)果例2計(jì)算積分（1）訂土|z| 1C2(z 2)cosz ,dziz24cos2很好求，符合積分定理的條件，可直接使用柯西積分定理.（2）應(yīng)為奇點(diǎn)z 4在積分路徑上，所以就不能直接用柯西積分定理來(lái)求,但滿足定理3條件，可利用定理3求值.解(1)直接用柯西積分定理得1 1)dz-z 3 dzz 4zdzz 4 z 4z 4z 4（2）因?yàn)閐zz 1z 4dz4z 4空0lz 1z 3dz4z 3又有柯西積分公式有由定理3有所以例3計(jì)算積分sin x , dxi 1|z3f(20)i|zo 4i21)dz i 2 z 3有一定難度，但通過(guò)變形,分析：此題如果用廣義積分來(lái)求解，計(jì)算繁冗, 轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)，利用定理3求解就簡(jiǎn)單多了.sinx 1dx lim 2RR .sin x , dxR xR1cosx i sinxlimdx2R r ixlimR ixe .dxRix12ilimR ixe .dxR x(其中經(jīng)過(guò)定積分的計(jì)算可以得到積分Rcosx .dx 0)R x設(shè) f(z)eiz, f (z)滿足Holder條件，且丄色 的奇點(diǎn)zz 0在積分路徑上,由定理3得R ixjR xizdzz(其中R是連接 R和R的一段弧,R,R是閉曲線)由約當(dāng)引理知ize dz