數(shù)學(xué)小知識集錦(三)

1、數(shù)學(xué)小知識集錦（三）47、算盤是我國勞動人民很早創(chuàng)造的一種計算工具。但我國最早的計算工具并非算盤,而是“算籌”。 算籌是用、竹或木制成的小棒,用它的多少與縱橫排列可以記數(shù),按一定的方法可用它進(jìn)行多種運算。 早在兩千多年前的春秋戰(zhàn)國時期,人們就普遍使用它作加、減、乘、除、開方、解方程等運算,這稱之為“籌算”.。用算籌進(jìn)行這樣復(fù)雜的運算,在世界數(shù)學(xué)史上也是最早的。直到明代,它才被珠算所代替。 我國最早的繪圈工具在小學(xué)數(shù)學(xué)七、九冊初步幾何知識中,常提到直尺、角尺、三角板、圓規(guī)等多種現(xiàn)代繪圖工具?？晌覈糯钤缡褂玫睦L圖工具是什么? 我國古代最早使用的繪圖工具是“規(guī)”和“矩”，“規(guī)”就是圓規(guī)。甲骨文中

2、的“規(guī)”字,形狀象一個人在執(zhí)規(guī)畫圓,可見其起源很早?！熬亍庇砷L短兩尺合成,相交成直角,有的還連上一桿,使其堅固它是畫方形的工具。48、時間的單位是小時，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關(guān)系?？墒?，為什么它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什么又都用六十進(jìn)位制呢？ 我們仔細(xì)研究一下，就知道這兩種量是緊密聯(lián)系著的。原來，古代人由于生產(chǎn)勞動的需要，要研究天文和歷法，就牽涉到時間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉(zhuǎn)，這里自轉(zhuǎn)的角度和時間是緊密地聯(lián)系在一起的。因為歷法需要的精確度較高，時間的單位小時、角度的單位度都嫌太大，必須進(jìn)一步研究它們的小數(shù)。時間和角度都要求它們的小數(shù)單位具

3、有這樣的性質(zhì)：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數(shù)倍。以1/60作為單位，就正好具有這個性質(zhì)。譬如：1/2等于30個1/60，1/3等于20個1/60，1/4等于15個1/60 數(shù)學(xué)上習(xí)慣把這個1/60的單位叫做分，用符號來表示；把1分的1/60的單位叫做秒，用符號來表示。時間和角度都用分、秒作小數(shù)單位。 這個小數(shù)的進(jìn)位制在表示有些數(shù)字時很方便。例如常遇到的1/3，在十進(jìn)位制里要變成無限小數(shù)，但在這種進(jìn)位制中就是一個整數(shù)。 這種六十進(jìn)位制（嚴(yán)格地說是六十退位制）的小數(shù)記數(shù)法，在天文歷法方面已長久地為全世界的科學(xué)家們所習(xí)慣，所以也就一直沿用到今天。48、圓形，是一個看來簡單

4、，實際上是很奇妙的圓形。古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的。一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。 以后到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的。 當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡綞或陶紡綞。古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁。后來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個輪子-圓的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給

5、人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義：一中同長也。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。圓周率，也就是圓周與直徑的比值，是一個非常奇特的數(shù)。 周髀算經(jīng)上說徑一周三，把圓周率看成3，這只是一個近似值。美索不達(dá)來亞人在作第一個輪子的時候，也只知道圓周率是3。魏晉時期的劉徽于公元263年給九章算術(shù)作注。他發(fā)現(xiàn)徑一周三只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，=

6、3927/1250。劉徽已經(jīng)把極限的概念運用于解決實際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數(shù)值?，F(xiàn)在有了電子計算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點后一千萬以上了。49、1742年6月7日由德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中，提出把自然數(shù)表示成素數(shù)之和的猜想，人們把他們的書信往來歸納為兩點

7、： （1）每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，。 （2）每個不小于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，99=3+7+89，。 這就是著名的哥德巴赫猜想。從1742年到現(xiàn)在200多年來，這個問題吸引了無數(shù)的數(shù)學(xué)家為之努力，取得不少成果，雖然至今沒有最后證明哥德巴赫猜想，但在證明過程中所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)方法，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。 為了解決這個問題，就要檢驗每個自然數(shù)都成立。由于自然數(shù)有無限多個，所以一一驗證是辦不到的，因此，一位著名數(shù)學(xué)家說：哥德巴赫猜想的困難程度，可以和任何沒有解決的數(shù)學(xué)問題相匹敵。也有人把哥德巴赫猜想比作

8、數(shù)學(xué)王冠上的明珠。 為了摘取這顆明珠，數(shù)學(xué)家們采用了各種方法，其一是用篩法轉(zhuǎn)化成殆素數(shù)問題（所謂殆素數(shù)就是素因數(shù)的個數(shù)不超過某一素數(shù)的自然數(shù)），即證明每一個充分大的偶數(shù)都是素因數(shù)個數(shù)分別不超過a與b的兩個殆素數(shù)之和，記為（a+b）。哥德巴赫猜想本質(zhì)上就是最終要證明（1+1）成立。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過艱苦卓絕的工作，先后已證明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我國數(shù)學(xué)家陳景潤證明了（1+2），即證明了每一個充分大的偶數(shù)都是一個偶數(shù)與一個素因數(shù)的個數(shù)不超過2的殆素數(shù)之和。離（1+1）只有一步之遙了，但這又是十分艱難的一步，然而（1+1）仍是一

9、個未解決的問題。50、在漫長的歷史長河中，隨著社會的發(fā)展和科技的進(jìn)步，人類進(jìn)行運算時所運用的工具，也經(jīng)歷了由簡單到復(fù)雜，由低級向高級的發(fā)展變化。這一演變過程，反映了人類認(rèn)識世界、改造世界的艱辛歷程和廣闊前景。 現(xiàn)在我們溯本求源，看一看計算工具是怎樣演化的： 1石塊、貝殼計數(shù) 原始社會，人類智力低下，當(dāng)時把石塊放進(jìn)皮袋，或用貝殼串成珠子，用“一一對應(yīng)”的方法，計算需要計數(shù)的物品。 2結(jié)繩計數(shù) 就是在長繩上打結(jié)記事或計數(shù)，這比用石塊貝殼方便了許多。 3手指計數(shù) 人類的十個手指是個天生的“計數(shù)器”。原始人不穿鞋襪，再加上十個足趾，計數(shù)的范圍就更大了。至今，有些民族還用“手”表示“五”，用“人”表示“

10、二十”，據(jù)推測，“十進(jìn)制”被廣泛運用，很可能與手指計數(shù)有關(guān)。 4小棒計數(shù) 利用木、竹、骨制成小棒記數(shù)，在我國稱為“算籌”。它可以隨意移動、擺放，較之上述各種計算工具就更加優(yōu)越了，因而，沿用的時間較長。劉徽用它把圓周率計算到3.1410，祖沖之更計算到小數(shù)點后第七位。在歐洲，后來發(fā)展到在木片上刻上條紋，表示債務(wù)或稅款。劈開后債務(wù)雙方各存一半，結(jié)帳時拼合驗證無誤，則被認(rèn)可。 5珠算 珠算是以圓珠代替“算籌”，并將其連成整體，簡化了操作過程，運用時更加得心應(yīng)手。它起源于中國，元代末年(1366年)陶宗義著南村輟耕錄中，最初提到“算盤”一詞，并說“撥之則動”。十五世紀(jì)魯班木經(jīng)中，詳細(xì)記載了算盤的制作方

11、法。 到了現(xiàn)代，一種新型的電子算盤已經(jīng)問世，它把算盤與電子計算器的長處集為一體，是一種中外結(jié)合的新型計算工具。 6計算尺 公元1520年，英國人甘特發(fā)明了計算尺，運用到一些特殊的運算中，快速、省時。 7手搖計算機(jī) 最早的手搖計算機(jī)是法國數(shù)學(xué)家巴斯嘉在1642年制造的。它用一個個齒輪表示數(shù)字，以齒輪間的咬合裝置實現(xiàn)進(jìn)位，低位齒輪轉(zhuǎn)十圈，高位齒輪轉(zhuǎn)一圈。后來，經(jīng)過逐步改進(jìn)，使它既能做加、減法，又能做乘、除法了，運算的操作更加簡捷、快速。 8電子計算機(jī) 隨著近代高科技的發(fā)展，電子計算機(jī)在二十世紀(jì)應(yīng)運而生。它的出現(xiàn)是“人類文明最光輝的成就之一”，標(biāo)志著“第二次工業(yè)革命的開始”。其運算效率和精確度之高，

12、是史無前例的。在此之前，英國數(shù)學(xué)家?？怂褂昧?2年的精力，把圓周率算到小數(shù)點后707位，以至在他死后，人們在其墓碑上刻著的707位數(shù)值，表達(dá)了對他的毅力和精神的欽佩。51、表示數(shù)與數(shù)、式與式或式與數(shù)之間的某種關(guān)系的特定符號，叫做關(guān)系符號。有等號、大于號、小于號、約等于號、不等號等等。 等號：表示兩個數(shù)或兩個式或數(shù)與式相等的符號，記作“=”，讀作“等于”。例如：3+2=5，讀作三加二等于五。第一個使用符號“=”表示相等的是英國數(shù)學(xué)家雷科德。 大于號：表示一個數(shù)（或式）比另一個數(shù)（或式）大的符號，記作“”，讀作“大于”。例如：65，讀作六大于五。 小于號：表示一個數(shù)（或式）比另一個數(shù)（或式）小的符

13、號，記作“”，讀作“小于”。例如：56，讀作五小于六。大于號和小于號是英國數(shù)學(xué)家哈里奧特于17世紀(jì)首先使用的。 約等于號：表明兩個數(shù)（或式）大約相等的符號，記作“”，讀作“約等于”。例如：3.14，讀作約等于三點一四。 不等號：表示兩個數(shù)（或式）不相等的符號，記作“”，讀作“不等于”。例如4+39，讀作四加三不等于九。52、自然數(shù)是從表示“有”多少的需要中產(chǎn)生的。在實踐中還常常遇到?jīng)]有物體的情況。例如：盤子里一個蘋果也沒有。為了表示“沒有”，就產(chǎn)生了一個新的數(shù)“零”。 “零”是一個數(shù)，記作“0”，“0”是整數(shù)，但不是自然數(shù)，它比所有的自然數(shù)都小?！?”作為一個單獨的數(shù)，不僅可以表示“沒有”，而

14、且是一個有完全確定意義的數(shù)，是一個起著很多重要作用的數(shù)。具體作用有： （1）表示數(shù)的某位上沒有單位，起到占位的作用。例如：103.04，表示十位和十分位上一個單位也沒有。0.10為近似數(shù)時，表示精確到百分位。5.00元表示特別的單價是5元整。 （2）表示某些數(shù)量的界限。例如在數(shù)軸上0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的界限?！?”既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。在攝氏溫度計上“0”是零上溫度與零下溫度的分界。 （3）表示溫度。在通常情況下水結(jié)冰的溫度為攝氏“0”度。說今天的氣溫為零度，并不是指今天沒有溫度。 （4）表示起點。如在刻度尺上，刻度的起點為“0”。從甲城到乙城的公路上，靠近路邊豎有里程碑，每隔1千米豎一個，開始第

15、一個樁子上刻的是“0”，表明這是這段公路的起點。 在四則運算中，零有著特殊的性質(zhì)。 （1）任何數(shù)與0相加都得原來的數(shù)。例如：5+0=5，0+32=32。 （2）任何數(shù)減去0都得原來的數(shù)。例如：5-0=5，42-0=42。 （3）相同的兩個數(shù)相減，差等于0。例如：5-5=0，428-428=0。 （4）任何數(shù)與0相乘，積等于0。例如：50=0，078=0 （5）0除以任何自然數(shù)，商都等于0。例如：05=0，0345=0。因此0是任意自然數(shù)的倍數(shù)。 （6）0不能作除數(shù)。因為任何自然數(shù)除以零，都得不到準(zhǔn)確的商。例如：50，找不到一個數(shù)與0相乘可以得5。零除以零時有無數(shù)個商，因為任何數(shù)與0相乘都能得到

16、0，所以像50、00都無意義。53、 全體自然數(shù)可以分為三類： （1）只能被“1”和它本身整除的數(shù)叫素數(shù)，如：2、3、5、7、11。 （2）除了“1”和它本身以外，還能被其他數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)，如：4、6、8、9。 （3）“1”既不是素數(shù)也不是合數(shù)。 有人要問，“1”也只能被1和它本身整除，為什么不能算素數(shù)呢？而且“1”算作素數(shù)后，全體自然數(shù)分成素數(shù)和合數(shù)兩類，豈不是更簡單嗎？ 這要從分解素因數(shù)談起。比如，1001能被哪些數(shù)整除，其實質(zhì)是將1001分解素因數(shù)，由1001=71113，而且只有這一種分解結(jié)果，知道1001除了被1和它本身整除以外，還能被7、11、13整除。若把“1”也算作素數(shù)，那么

17、1001分解素因數(shù)就會出現(xiàn)下面一些結(jié)果： 1001=71113 1001=171113 1001=1171113 也就是說，分解式中可隨便添上幾個因數(shù)“1”。這樣做，一方面對求1001的因數(shù)毫無必要，另一方面分解素因素結(jié)果不唯一，又增添了不必要的麻煩。因此“1”不算作素數(shù)。54、自然數(shù)是在人類的生產(chǎn)和生活實踐中逐漸產(chǎn)生的。人類認(rèn)識自然數(shù)的過程是相當(dāng)長的。在遠(yuǎn)古時代，人類在捕魚、狩獵和采集果實的勞動中產(chǎn)生了計數(shù)的需要。起初人們用手指、繩結(jié)、刻痕、石子或木棒等實物來計數(shù)。例如：表示捕獲了3只羊，就伸出3個手指；用5個小石子表示捕撈了5條魚；一些人外出捕獵，出去1天，家里的人就在繩子上打1個結(jié)，用繩結(jié)的個數(shù)來表示外出的天數(shù)。這樣經(jīng)過較長時間，隨著生產(chǎn)和交換的不斷增多以及語言的發(fā)展，漸漸地把數(shù)從具體事物中抽象出來，先有數(shù)目1，以后逐次加1，得到2、3、4，這樣逐漸產(chǎn)生和形成了自然數(shù)。因此，可以把自然數(shù)定義為，在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6叫做自然數(shù)。自然數(shù)的單位是“1”，任何自然數(shù)都是由若干個“1”組成的。自然數(shù)有無限多個，1是最小的自然數(shù)，沒有最大的自然數(shù)55、表示計算方法的符號叫做運算符號。如四則計算中的、等。 加號“”是加法符號，表示