隨機變量及其分布列與獨立性檢驗練習題附答案

1、數(shù)學學科自習卷(二一、選擇題1.將三顆骰子各擲一次,記事件 A =“三個點數(shù)都不同” , B =“至少出現(xiàn)一個6點” , 則條件概率 (P A B , (P B A 分別是( A. 6091, 12 B. 12, 6091 C. 518, 6091 D. 91216, 122.設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布 (3,4N ,若 (232P a P a <-=>+,則 a 的值 為A . 73B . 53C . 5D . 3 3.已知隨機變量 2, 3(2N ,若 23=+, 則 D =A . 0 B . 1 C . 2 D . 44.同時拋擲 5枚均勻的硬幣 80次,設(shè) 5枚硬幣正好出現(xiàn)

2、2枚正面向上, 3枚反面向上 的次數(shù)為 ,則 的數(shù)學期望是( A . 20 B. 25C. 30 D. 405. 甲乙兩人進行乒乓球比賽 , 約定每局勝者得 1分 , 負者得 0分 , 比賽進行到有一人比 對方多 2分或打滿 6局時停止 , 設(shè)甲在每局中獲勝的概率為23, 乙在每局中獲勝的概率 為 13, 且各局勝負相互獨立 , 則比賽停止時已打局數(shù) 的期望 (E 為( A . 24181 B. 26681 C. 27481D. 670243 6.現(xiàn)在有 10張獎券, 8張 2元的, 2張 5元的,某人從中隨機無放回地抽取 3張獎券 , 則此人得獎金額的數(shù)學期望為( A . 6 B. 395

3、C. 415D. 9 7. 一個籃球運動員投 籃一次得 3分的概率為 a , 得 2分的概率為 b , 不得分的概率為 c , , , (0,1a b c ,且無其它得分情況,已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為 1,則 ab 的最 大值為( A . 148B . 124 C . 112 D . 16 8.位于數(shù)軸原點的一只電子兔沿著數(shù)軸按下列規(guī)則移動:電子兔每次移動一個單位, 移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為23,向右移動的概率為 13,則電子兔 移動五次后位于點 (1,0 -的概率是 ( A . 4243 B . 8243 C. 40243 D . 80243二、填空題9.已知 551

4、04 1( 1( 1(2(+=-+x a x a a x x ,則 =+531a a a _.10.乒乓球比賽采用 7局 4勝制,若甲、乙兩人實力相當,獲勝的概率各占一半,則打 完 5局后仍不能結(jié)束比賽的概率等于 _.11. 設(shè) 是 離 散 型 隨 機 變 量 ,21( , ( 33P a P b =, 且 a b <, 又 42, 39E D =,則 a b +的值為 _.12.某車站每天 8:009:00,9:0010:00-都恰有一輛客車到站,但到站的時刻是隨 機的,且兩者到站的時間是相互獨立的,其規(guī)律為到站的時刻 8:10 9:10 8:30 9:30 8:509:50概率 16

5、 12 13一旅客 8:20到站,則它候車時間的數(shù)學期望為_。 (精確到分三、解答題13. 我校社團聯(lián)即將舉行一屆象棋比賽, 規(guī)則如下:兩名選手比賽時, 每局勝者得 1分, 負者得 0分,比賽進行到有一人比對方多 2分或打滿 6局時結(jié)束 . 假設(shè)選手甲與選手乙 比賽時,甲每局獲勝的概率皆為23,且各局比賽勝負互不影響 . (求比賽進行 4局結(jié)束,且乙比甲多得 2分的概率; (設(shè) 表示比賽停止時已比賽的局數(shù),求隨機變量 的分布列和數(shù)學期望.14. 2016年國家已全面放開“二胎”政策,但考慮到經(jīng)濟問題,很多家庭不打算生育 二孩,為了解家庭收入與生育二孩的意愿是否有關(guān),現(xiàn)隨機抽查了某四線城市 50

6、個一 孩家庭,它們中有二孩計劃的家庭頻數(shù)分布如下表 : (1由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成如下 22列聯(lián)表,并判斷是否有 95的把握認為是否有二 (2若二孩的性別與一孩性別相反,則稱該家庭為“好字”家庭,設(shè)每個有二孩計劃 的家庭為“好字”家庭的概率為 12, 且每個家庭是否為“好字”家庭互不影響,設(shè)收入 在 8千1萬的 3個有二孩計劃家庭中 “好字” 家庭有 x 個, 求 x 的分布列及數(shù)學期望. 下面的臨界值表供參考: 答案第 1頁,總 4頁 參考答案1. A【解析】試題分析:由題意得事件 A 的個數(shù)為 654120=, 事件 B 的個數(shù)為 336591-=, 在 B 發(fā)生的條件下 A 發(fā)生的個數(shù)為 1

7、23560C A =,在 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的個數(shù)為 123560C A =, 所以 (6091p A B =, (6011202P B A =. 故正確答案為 A. 考點:1. 計數(shù)原理; 2. 條件概率 .2. A【解析】略3. B【解析】4. B【解析】試題分析:5枚硬幣正好出現(xiàn) 2枚正面向上, 3枚反面向上的概率為 2235115( ( 2216C =, 由 題意可知 服從 5(80, 16的二項分布 , 所以數(shù)學期望為 5802516=, 故本題選 B. 考點:二項分布與數(shù)學期望 .5. B【解析】試題分析:由已知, 的可能取值是 2, 4,6. 設(shè)每局比賽為一輪,則該輪比賽

8、停止的概率為 22215+=. 339( ( 若該輪結(jié)束時比賽還要繼續(xù),則甲,乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結(jié)果對下一 輪比賽是否停止沒有影響 .所以 (25542041624699981981P P P =, , ( , 所以 (52016266=2+4+6=. 9818181E 故選 B. 考點:1. 相互獨立事件的概率; 2. 數(shù)學期望 .【名師點睛】解答本題,關(guān)鍵在于準確理解題意,利用獨立事件的概率計算公式,計算出隨 機變量的概率 . 能否理解數(shù)學期望個概念與計算公式,也是對考生的考驗 .6. B【解析】試題分析:當取三張都是兩元的得獎金額是 632=元;當取兩張兩元一張五元得

9、獎金額 是 9522=+元; 當取一張兩元兩張五元得獎金額是 125212=+元 . 故得獎金額為12, 9, 6=, 對 應(yīng) 的 概 率 分 別 是 3102218310122831038, , C C C C C C C C , 故 其 數(shù) 學 期 望 是E (x = 6 ´ 7 7 1 117 39 + 9 ´ + 12 ´ = = ,應(yīng)選 B. 15 15 15 15 5 考點：概率和數(shù)學期望的計算. 7B 【解析】略 8D 【解析】 考點：n 次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生 k 次的概率 專題：計算題 分析：根據(jù)題意，分析可得質(zhì)點 P 移動五次后位于點（-1，

10、0），其中向左移動 3 次，向右 移動 2 次，進而借助排列、組合分析左右平移的順序情況，由相互獨立事件的概率公式，計 算可得答案 解答：解：根據(jù)題意，質(zhì)點 P 移動五次后位于點（-1，0），其中向左移動 3 次，向右移動 2 次； 3 其中向左平移的 3 次有 C5 種情況，剩下的 2 次向右平移； 則其概率為 C5 ×（ 3 1 2 2 3 80 ） ×（ ） = ， 3 243 3 故選 D 點評： 本題考查相互獨立事件的概率的計算， 其難點在于分析質(zhì)點 P 移動五次后位于點 （-1， 0）的實際平移的情況，這里要借助排列組合的知識 9 1 【解析】 試 題 分 析

11、： 由 題 意 得 ， 令 x = 0 ， 得 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 2 = ， 令 x = -2 ， 得 a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 0 = ，兩式相減，得 2(a1 + a3 + a5 = 2 ，所以 a1 + a3 + a5 = 1. 考點：賦值法的應(yīng)用. 10 5 8 1 2 1 2 5 . 8 【解析】 （方法一）打完 5 局后仍不能結(jié)束比賽的情況是甲、乙兩人中任意某個人任意勝 3 1 3 3 2 ） （ 1- ） = 局，另一個人勝 2 局，其概率為 C 2 × C（ 5 （方法二）打完 5 局后能結(jié)束比賽的情

12、況是：甲、乙兩人中任意某個人任意勝 4 局或 5 局全 1 4 4 勝，其概率等于 C 2 × C 5 ( (1 - 1 2 1 3 5 1 5 + C5 ( = ，所以，打完 5 局后仍不能結(jié)束比賽的 2 2 8 概率等于 1 - 11 3 【解析】略 1227 3 5 = . 8 8 【解析】 10 ´ 1 1 1 1 1 + 30 ´ + 50 ´ + 70 ´ + 90 ´ » 27. 2 3 36 12 18 答案第 2 頁，總 4 頁 13 （） x P 4 ； （）隨機變量 x 的分布列為 81 6 2 4 5

13、 9 20 81 16 81 Ex = 266 81 【解析】 試題分析： （）這是一個獨立重復(fù)試驗，比賽進行 4 局結(jié)束，且乙比甲多得 2 分，只能是 前兩局乙勝一局， 3,4 局乙連勝， 根據(jù)獨立重復(fù)試驗從而求出， 值得注意的是， 做這一類題， 一定分析清楚， 否則容易出錯； （） 設(shè) x 表示比賽停止時已比賽的局數(shù)， x 只能取值 2, 4,6 ， 不能為 3,5， 分別求出 x 的取值為 2, 4,6 的概率， 列分布列， 從而求出數(shù)學期望， 易錯點為 x 的取值不正確，導致分布列錯誤。 2 1 = .比賽進行 4 局結(jié)束，且乙比 3 3 4 1 1 2 1 1 甲多得 2 分即頭兩局

14、乙勝一局，3,4 局連勝，則 P2 = C2 × × × = . 3 3 3 3 81 2 2 1 2 5 （ ） 由 題 意 知 ， x 的 取 值 為 2, 4,6 . 則 P (x = 2 = ( + ( = 3 3 9 20 16 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 P(x = 4 = C2 ( + C2 ( = = ， ， P(x = 6 = (C2 所以隨機變量 x 33 3 33 3 81 33 81 試題解析： （）由題意知，乙每局獲勝的概率皆為 1 - 的分布列為 x P 2 4 6 16 81 5 9 20 81 則 Ex

15、= 2 ´ 5 20 16 266 + 4´ + 6´ = 9 81 81 81 考點：本題考查獨立重復(fù)事件的概率計算、離散型隨機變量的分布列、期望，考查學生的邏 輯推理能力以及基本運算能力. 14 （1）列聯(lián)表見解析，有 95 0 0 的把握認為是否有二孩計劃與家庭收入有關(guān)； （2）分布列 見解析， 3 2 【解析】 試 題 分 析 ： （ 1 ） 根 據(jù) 題 意 填 寫 好 表 格 后 ， 計 算 50 (12 ´ 6 - 18 ´14 ) 225 K = = » 4.327 > 3.841 .因此有 95 0 0 的把握認

16、為是否有二孩計 30 ´ 20 ´ 26 ´ 24 52 2 2 答案第 3 頁，總 4 頁 劃與家庭收入有關(guān)；（2）由題意知, X : B ç 3, ÷ , X 的可能取值為 0,1, 2,3 ,根據(jù)二項分布 的知識點求得分布列和數(shù)學期望. 試題解析： （1）依題意得 a = 12, b = 18, c = 14, d = 6 , 收入不高于 8 千的家庭數(shù) 有二孩計劃的家庭數(shù) 無二孩計劃的家庭數(shù) 合計 2 2 æ 1ö è 2ø 收入高于 8 千的家庭數(shù) 合計 12 14 26 24 18 30 6

17、20 50 50 (12 ´ 6 - 18 ´14 ) 225 K = = » 4.327 > 3.841 30 ´ 20 ´ 26 ´ 24 52 因此有 95 0 0 的把握認為是否有二孩計劃與家庭收入有關(guān). （ 2 ） 由 題 意 知 , æ 1ö X : B ç 3, ÷ , X è 2ø 2 的 可 能 取 值 為 0 , 1 , 2 , 3 3 æ1ö 1æ1ö æ1ö P ( X = 0) = ç ÷ , P ( X = 1) = C3 ç ÷: ç ÷ = , è2ø è