二次函數(shù)解題技巧

1、龍文教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總匯教學(xué)內(nèi)容2y ax h k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱(chēng)軸是直線x h.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與 拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失9拋物線y ax2bx c中，a,b,c的作用2(1)a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y ax中的a完全一樣.2(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置 .由于拋物線y ax bx c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x，故：b 0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；一0(即a、b同號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；一0(即a

2、、b2aaa異號(hào))時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).(1) 一般式：2y axbx c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式：y ax h2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.(3)交點(diǎn)式： 已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x2，通常選用交點(diǎn)式：y a x x1x x2.3 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法21)公式法：y axbx c a x2b2a4ac b24ab 4ac b2頂點(diǎn)是(,),2a 4a對(duì)稱(chēng)軸是直線xb2a教學(xué)目標(biāo)介紹一些些能加快速度的計(jì)算公式(2)配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為2(3)c的大小決定拋物線y axbx c與y軸交點(diǎn)的位置當(dāng)x 0時(shí)，y

3、c，二拋物線yax2bx c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)0，c)：c 0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；c0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負(fù)半軸以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在by軸右側(cè)，則 一a0.12.直線與拋物線的交點(diǎn)2(1)y軸與拋物線y ax bxc得交點(diǎn)為(o,c).(2)與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah2bh C).(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax2bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù) 根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的

4、一元二次方程的根的判別式判定：1有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；2有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切；3沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4) 平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、1 個(gè)交點(diǎn)、2 個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是ax2bx c k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.2(5)一次函數(shù)y kx nk 0的圖像I與二次函數(shù)y ax bx c a 0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組y kx n2的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)I與G有兩個(gè)交點(diǎn)：方程組只有一組解時(shí)I與Gy ax bx c只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無(wú)解時(shí)I與G沒(méi)有交點(diǎn).(6)拋物線

5、與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y ax bx c與x軸兩交點(diǎn)為A x1,0，Bx2,0，由于x1x2是方程6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn) P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離:5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義考點(diǎn)三、二次函數(shù)的最值2axbx c 0的兩個(gè)根,x-ix2b,x1ax2aABXix22x1x2x224x1x24c(1)點(diǎn) P(x,y)到 x 軸的距離等(2)點(diǎn) P(x,y)到 y 軸的距離等于(3)點(diǎn)P(x,y 倒原點(diǎn)的距離等于x2y2如下圖，過(guò)反比例函數(shù)s=PM?PN=|y|?|x| |xy|。ky (kxk yx0)圖像上任一點(diǎn)P 作 x 軸、xy k, S koy 軸的垂線P

6、M，PN，則所得的矩形PMON 的面積K如果自變量的取值范圍是x1xx2，那么，首先要看 是否在自變量取值范圍ab4 ac b2x= 時(shí)，y最值 -2a如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)，即當(dāng)xb4ac b22a時(shí)，y最值4aX1x X2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)4a2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3 分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）4、直線方程：一般兩點(diǎn)斜截距一般直線方程ax+by+c=O2，兩點(diǎn)由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式5，截距 由直線在 x 軸和 y 軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)截距式

7、：1a b記牢可大幅提高運(yùn)算速度5、設(shè)兩條直線分別為，li:y kix biI2:y k?x b?a2b23、直線斜率:k tany2yiX2Xib 為直線在 y 軸上的截距yyiy2x2yixi-(xxi)3,點(diǎn)斜知道一點(diǎn)與斜率y yik(xXi)4，斜截斜截式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)斜截式：y= kx+ b（k 工 0）-最最常用，記牢1，一般若li/ 12，則有Iil2ki若likik26、點(diǎn) P（xo，yo）到直線 y=kx+b（即:kx-y+b=0) 的距離：dkxoyob2-k2( i)2|kx。y。b k2i對(duì)于點(diǎn) P （X。，y）到直線滴一般式方程ax+by+c=0 滴距離有2、 如圖，已知

8、二次函數(shù)y ax24xc的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A （-i，0）和點(diǎn)B （0, -5）.（i）求該二次函數(shù)的解析式;（2 ）已知該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P,使得 ABP 的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo).yAB3IdliliIIIIilllIIIIIi|iIIIIII解：(1)根據(jù)題意，得20 a ( 1)24a 0241) C,2 分c.1,5.二次函數(shù)的表達(dá)式為2x24x 5.4分(2 )令 y=0,得二次函數(shù)x24x5的圖象與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) C (5, 0) .由于 P 是對(duì)稱(chēng)軸X 2上一點(diǎn),連結(jié) AB,由于AB、OA2OB2. 26要使 ABP 的周長(zhǎng)最小，只要由于點(diǎn) A 與

9、點(diǎn) C 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x的最小值為 BC因而 BC 與對(duì)稱(chēng)軸x 2的交點(diǎn) P 就是所求的點(diǎn).PA PB最小.6 分2對(duì)稱(chēng)，連結(jié) BC 交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn) P,則PA PB= BF+PC=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得PA PB設(shè)直線 BC 的解析式為ykx b，根據(jù)題意，可得b 5,解得k0 5k b. b所以直線 BC 的解析式為1,5.9 分因此直線 BC 與對(duì)稱(chēng)軸X2的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組所求的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, -3).壓軸題中求最值此種題多分類(lèi)討論，求岀函數(shù)關(guān)系式，再求各種情況的最值,典型例題：x 2,的解，解得y x 510 分最后求出最值。2,3.1 女口圖，在梯形 ABCD 中，AD

10、/F 點(diǎn)移動(dòng)速度是 E 點(diǎn)移動(dòng)速度的( EFG 的邊長(zhǎng)是_(用含有BC,/B=90 ,BC=6,AD=3,ZDCB- 302 倍，以 EF 為一邊在x 的代數(shù)式表示)，當(dāng)CB 的上方作等邊 EFGx= 2 時(shí)，點(diǎn) G 的位置在E、F 同時(shí)從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 BC 向右勻速移動(dòng).已知 設(shè)E 點(diǎn)移動(dòng)距離為 x (x 0).占八、 、若 EFG與梯形 ABCD 重疊部分面積是 y,求1當(dāng) 0vx2 時(shí)，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng) 2 x6 時(shí)，y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù) y 在 x 取含何值時(shí)，存在最大值，并求出最大值ETFT15444解：x, D 點(diǎn) 當(dāng) 0vx2

11、時(shí)， EFG 在梯形 ABCD 內(nèi)部，所以 y= _3x2；4分兩種情況：I.當(dāng) 2vxv3 時(shí)，如圖 1,點(diǎn) E、點(diǎn) F 在線段 BC 上,EFG與梯形 ABCD 重疊部分為四邊形 EFNM,VZFNC=ZFCN= 30，二 FN=FC=6-2x.GN=3x-6. 由于在 RtANMG 中，/ G= 60,所以，此時(shí) y= 3x2-、3(3x- 6)2=7 3x29 3X9 34 88 2 2 n.當(dāng) 3x6 時(shí)，如圖 2,點(diǎn) E 在線段 BC 上，點(diǎn)F 在射線 CH 上,EFG 與梯形 ABCD 重疊部分為 ECP/ EC= 6-x,3.y= (6 x)28圖 1323、3xx8 2當(dāng) 0

12、vx0 時(shí),43 ;73.x= 2 時(shí),y最大當(dāng) 2vxv3 時(shí)，丁 y=38v32當(dāng) 3x6 時(shí)，丁 y= x8.x= 3 日寸,y最大=9818時(shí)，7綜上所述：當(dāng) x=y最大如圖，直線y點(diǎn) E 從點(diǎn)932y 隨 x 增大而增大,C56分別與 x 軸、y 軸交于 A、B 兩點(diǎn)；直線y x與 AB 交于點(diǎn) C,與過(guò)點(diǎn) A 且平行于 y 軸的直線交于點(diǎn) D.4A 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位的速度沿 x 軸向左運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn) E 作 x 軸的垂線，分別交直線 AB、OD 于 P、Q 兩點(diǎn)，以 PQ 為邊向3_x4（1）（2）右作正方形 PQMN 設(shè)正方形 PQMN 與厶 ACD 重疊部分（陰影部分）的面積為求點(diǎn) C 的坐標(biāo).當(dāng)(3)0t0 時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)（4, 一）在正方形 PQMN 內(nèi)部時(shí) t 的取值范圍.2【參考公式： 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2b 4ac b).】2a4a解：（i）由題意，得-C (3,15).3x45x.6, x解得3,154445(4)(2 )根據(jù)題意，得 AE=t, 0E=8-t.53.點(diǎn) Q 的縱坐標(biāo)為(8-t)，點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為t，44P