線面、面面關(guān)系的判定與性質(zhì)

1、線面、面面關(guān)系的判定與性質(zhì) 一、線面關(guān)系的轉(zhuǎn)換網(wǎng)絡(luò)圖（6） 公理4線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直（1）（2）（3）（4）（5）（11）（12）（13）（14）（7）（9）（8）（10）1線線平行： （1）平行公理:平行于同一直線的兩直線平行（線線平行的傳遞性）（4）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行（線面平行線線平行）（6）面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（面面平行線線平行） （12）線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩直線平行2線線垂直： （9）線面垂直的性質(zhì)

2、：一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線（線面垂直線線垂直）其它判定方法：利用平面幾何中證明線線垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底邊上的高，正方形（菱形）的對角線等）3線面平行： （2）線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（線線平行線面平行）（5）面面平行的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面（面面平行線面平行）4線面垂直： （7）線面垂直的判定定理：如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面（線線垂直線面垂直）（11）線面垂直的判定定理推論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，

3、那么另一條也垂直于這個(gè)平面（14）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它也垂直于另一個(gè)平面（10）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面（面面垂直則線面垂直）5面面平行： （4）面面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行）（13）定理：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行6面面垂直：（8）面面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，另一個(gè)平面過這條線，則這兩個(gè)平面垂直（面面垂直則線面垂直）7.直線與平面所成的角PAB（1）定義：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和

4、這個(gè)平面所成的角.這個(gè)角的范圍為.（2）斜線與平面成角計(jì)算一般步驟：找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把這個(gè)角放在三角形中計(jì)算. 注：斜線與平面所成的角為，其中.二、典型例題例1：三棱錐中， ，證明：.CBAP （判定定理、定義）CDAPB變式1：三棱錐中，滿足， ，D是邊PC的中點(diǎn)，證明：.（判定定理、定義、等腰三角形的高）CDAPB變式2：三棱錐中，D是邊PC的中點(diǎn)，證明：.（判定定理、定義、勾股定理）變式3：三棱錐中， ，滿足，D是邊PC的中點(diǎn)，.證明：.（判定定理、定義、面面垂直性質(zhì)定理）CBAPD例2：【信宜市2015屆高三10月統(tǒng)

5、測】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱,是的中點(diǎn)，作,交于點(diǎn)F.（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積；PABCDEF（3）證明：.三、鞏固訓(xùn)練、能力提升1.【2014高考北京卷 節(jié)選】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，、分別為、的中點(diǎn).求證：平面平面.2.【2014高考江蘇卷 節(jié)選】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知.證明：平面平面.3.【2013年高考北京 節(jié)選】如圖,在四棱錐中,平面底面,和分別是和的中點(diǎn),求證:（1）底面；（2）平面平面.4.【肇慶市2015屆高中畢業(yè)班第一次統(tǒng)一檢測】如圖，已知PAO所在的平面，AB是O的直徑，AB=2，C是O上一點(diǎn)，且AC=BC=PA，E是PC的

6、中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn).（1）求證：EF/平面ABC；（2）求證：EF平面PAC；（3）求三棱錐BPAC的體積.5.【廣東2015屆高三第一次六校聯(lián)考】直角梯形中,，平面平面，為等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）證明： 平面；（3）若，求幾何體的體積.6.【廣州六中2015屆9月高三第二次月考】如圖，在三棱柱中，底面，且為正三角形，為的中點(diǎn)（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積 7.【廣州市荔灣區(qū)2015屆高三11月調(diào)研測試】如圖所示，已知垂直以為直徑的圓所在平面，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離8.【韶關(guān)市2015屆高三模擬底考試】如圖，長方體的底面是正方形，線段上有兩個(gè)點(diǎn)，.（1）證明：；（2）證明：；（3）若,是線段上的點(diǎn)，且，求三棱錐的體積.9.【2015屆中山七校聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點(diǎn)O是對角線與的交點(diǎn),是的中點(diǎn),. （1）求證：平面； （2）平面平面；（3）當(dāng)四棱錐的體積等于時(shí),求的長.10.【2014高考浙江卷】如圖，四棱錐中，平面平面,，.ADEBC（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正切值. 11.【深圳市2015屆高三年級