應用問題(教師版)

1、蘇州市高三數(shù)學二輪復習資料熱點問題熱點問題9應用問題一、填空題1.某公司300名員工2014年年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工年薪在1.41.6萬元的共有人.答案72解析由頻率分布直方圖知年薪低于1.4萬元或者高于1.6萬元的頻率為（0.2+0.8+0.8+1.0+1.0）>0.2=0.76,因此，年薪在1.4至IJ1.6萬元間的頻率為10.76=0.24,所以300名員工中年薪在1.4至IJ1.6萬元間的員工人數(shù)為300X0.24=72.2.在某條件下的汽車測試中，駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息：2、,由玨加滿油后已用油量汪：油耗=工、-上

2、加滿油后已行駛距離可繼續(xù)行駛距離汽車剩余油量.當前油耗；時間J油耗（升100千米）可旌讀號喊距離千米>9樂30G.9一&加平均油耗=指定時間內(nèi)的用油量指定時間內(nèi)行駛的距離從以上信息可以推斷在10：00-11：00這一小時內(nèi)（填上所有正確判斷的序號）.行駛了80千米；行駛不足80千米；平均油耗超過9.6升/100千米；平均油耗恰為9.6升/100千米；平均車速超過80千米/小時.答案解析實際用油為7.38升.設L為10:00前已用油量,小時內(nèi)已行駛的距離 sLAL為這一個小時內(nèi)的用油量，s為10:00前已行駛距離，As為這一個9.5,得L+AL=9.6s+9.6A&即9.5

3、s+AL=96s+9.6As,AL=0.1s+9.6As,L9.6.L01s+9.6>9.6.所以正確，錯誤.ss，7.38這一小時內(nèi)行駛距離小于X100=76.875（千米），所以錯誤，正確.9.6由知錯誤.蘇州市高三數(shù)學二輪復習資料熱點問題f(x) (mg/mL)隨時間x(h)變化的規(guī)律近似3.某駕駛員喝了1000mL某種酒后，血液中的酒精含量滿足表達式f (x)=x 27,0 W x < 1,x1、，x >1.3酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應的處罰規(guī)定為駕駛員血液中酒精含量不得超過到1h)答案40.02mg/mL,據(jù)此可知，此駕駛員至少要過h后才能開車.(精確解析當0w

4、xwi時,< 5x 2< -,此時不宜開車;255x>4.4.如圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為2將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記CD = 2x,梯形面積為的最大值是S,則S高為1,答案3227解析建立坐標系，B點坐標為(1,1),求出拋物線方程為x2=y,得D點坐標(x,x2),等腰梯形的高為1x2,S=2x,'(1x2),0vxv1,求導可以得到x=g時S取最大值II.23275.某公司一年購買某種貨物600噸，每次都購買x噸，運費為3萬元/次，一年中的總倉儲費用為2x萬元，若要使一年的總運費與總倉儲費用之和最小，則每次需購買噸.答案30解析根據(jù)題意總

5、費用y?32x2抨32x120,當且僅當號32x,即x30時等號成立.6 .一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東300前進100m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30。，則水柱的高度是.答案50解析設水柱高度是hm,水柱底端為C,則在ABC中，A=60°,AC=h,AB=100,BC=<3h,根據(jù)余弦定理得，(A/3h)2=h2+10022h100cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m

6、.7 .某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬-2-蘇州市高三數(shù)學二輪復習資料熱點問題元.為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為.答案10解析設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為X,設備年平均費用為y,則x年后的設備維護費用為2+4+2x= x(x+1),所以x年的平均費用為y=100+0.5X+ X(X+1) = x+ WO+1.5,xx-7 -由基本不等式得y=x+等+1G2N0+1.5=21.5,當且僅當涓吟即用10時取等號.8 .將一個長寬分別是a,

7、b(O<b<a)的鐵皮的四角切去相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則a的取值范圍是答案1,4b解析設切去正方形的邊長為x,xCo,2,則該長方體外接球的半徑為r2=4(a-2x)2+(b-2x)2+x2=-9x24(a+b)x+a2+b2在xC0,2存在最小值時，必有。/、十功<b,解得a<5,又4292b40<b<a?a>1,故a的取值范圍是1,5.b'b'4二、解答題9 .某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值.經(jīng)過市場調(diào)查

8、，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入的x萬元之間滿足：y與(a-x)和X2的乘積成正比；內(nèi)。，22巖，其中m是常數(shù).若x=2時，y=a3.(1)求產(chǎn)品增加值y關于x的表達式；(2)求產(chǎn)品增加值y的最大值及相應的x的值.解析(1)設y=f(x)=k(a-x)x2,因為當x=j時，y=a3,所以k=8,2aX= 3 ,所以f(x)=8(ax)x2,xC。，jmm(2)因為f(x)=-24x2+16ax,令f(x)=。,則x=。(舍),當需號,即m>1時，當衣。，2a時，f(x)>。，所以f(x)在。，2a上是增函數(shù)，2a2am2a2am上是減函數(shù),當xet,/時，f(x)。，所以f(x)

9、在武所以ymax=f(叁)=32a3;327當篇爭即0V m十時，當XC °，劇時，f (x)>0,所以f(x)在。，碧上是增函數(shù),2am、32m23所以ymax=f()=/2mi1)3a2m1(2m+1)綜上，當m>1時，投入2a萬元，最大增加值317a3；當0Vm<1時,投入簫1萬元,最大增加值32m23(2m+1) 3a10 .某工廠引入一條生產(chǎn)線，投入資金25。萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本w(x),當年產(chǎn)量不足80千件時，w(x)=1x210x(萬元)，當年產(chǎn)量不小于80千件時，w(x)=51x+10000145。(萬3x元)，當每件商品售價為500元時

10、，該廠產(chǎn)品全部售完.(1)試寫出年利潤L(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關系式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時該廠的利潤最大.解析(1)當每件商品售價為0.05萬元時，x千件銷售額0.05X1000x=50x(萬元)1212當0vxv80時，L(x)50x(x10x)250x40x250;331000010000當xR80時，L(x)50x(51x+1450)2501200(x)xx1 2ccccccx40x250,0x80故 L(x)3100001200(x),x>80x(2)當0vxv80時，L(x)1x240x250;3當x=60時，L(x)有最大值為950;當x>80時，L

11、(x)1200(x10000);x當且僅當x10000,即x=100時，xL(x)有最大值為1000;年產(chǎn)量為100千件時該廠的利潤最大.11.如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為6-.設S的眼睛距地面的距離為串m.(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；(2)立柱的頂端有一長2m的彩桿MN繞其中點O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).攝影者有一視角范圍為當?shù)溺R頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影者是否都可以將彩桿全部3攝入畫面？說明理由.解析作SC垂直O(jiān)B于C,則/CSB=30°,/ASB=60°.又SA=>/3,

12、故在RtASAB中，可求得BA=3,即攝影者到立柱的水平距離為3m.由SC=3,/CSO=30°,在RtASCO中，可求得OC=y/3.因為BC=SA=M3,故OB=2j3,即立柱高為29m.在 SON和 SOM中,（2?。?+1 b22 23 1（2?。?+1 a22 2v3 1得 a2+b2 = 26.（2）連結(jié)SM、SN,設SN=a,SM=b.b時取等號,a2+b222112211cos/MSN=2ab=aU>a2Tb2當且僅當a又11>1.又/MSNC（0,明則/MSNV41323故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面.12.如圖，花園一角兩小路11、12垂直相交于A.直

13、徑緊貼11的半圓形水塘半徑為6m,圓心為O,且OA=40m.現(xiàn)準備鋪設一條鵝卵石直路MN(點M、N分別在11、L上)，與11、12共同圍著水塘，且要求半圓上任意一點到直線MN的距離不小于4m.若所有道路的寬度忽略不計，且11、12的長度無限制，則如何選擇M、N時，可使鋪設的鵝卵石路最短？解析解法一作OPMN于P,為使鵝卵石路MN最短，則OP6410m設POMx,0x,則ANMx21040-1010AMc0sx10(4cosx1)又OM,AM40,MNcosx=-cosxcosxsinxsinxsinxcosx令 f(x)貝U f'(x)4cosx1二，0x;，sinxcosx2,3-224cosx2cosx1_(12cosx)(2cosx2cosx1)丁.72丁.72(sinxcosx)(sinxcosx)2_121由f(x)0得，x,且2cosx2cosx1=2(cosx-)0322故當0x一時，f'(x)0,f(x)遞減;3當一x一時，f'(x)0,f(x)遞增；32所以x=一時，f(x)最小，即當