[整理]函數(shù)的單調(diào)性極值最值

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值一、選擇題已知函數(shù)f(x)在點xo處連續(xù)，下列命題中，正確的是(2.A.B.C.D.函數(shù)A.C.導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點如果在點X0附近的左側(cè)如果在點X0附近的左側(cè)如果在點xo附近的左側(cè) y=1 + 3x*3有( )極小值-2,極大值2極小值1 ,極大值1f'f'f'(x)>0,右側(cè)(x)>0,右側(cè)(x)<0,右側(cè)f'f'B.極小值D.極小值(x)<0，(x)<0，那么那么(x)>0,那么2,極大值31,極大值3f(Xo)是極小值f(X0)是極大值f(x0)是極大值3.設(shè)f(x)=ax3+bx

2、2+cx+d(a>0),則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()A. b24ac>0C. b=0, c>0B. b>0, c>0D. b2 3ac<04.(2009廣東文，8)函數(shù)f(x) = (x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()5.A.(巴 2)B. (0,3) C. (1,4)已知函數(shù)y=xf' (x)的圖象如圖 所示(其中f' (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),卜面四個圖象中，y=f(x)的圖象大致是()4C6.A. 5, - 15C. - 4, - 15 D. 5167.8.g'9.A. -31B.2C.d 3%或-2(2007福建理

3、，11)已知對任意實數(shù)(x)>0,貝U x<0 時()A. f' (x)>0, g' (x)>0C. f' (x)<0, g' (x)>0x,有 f(-x)=- f(x), g(-x)=g(x),且 x>0 時，f' (x)>0,B. f' (x)>0,D. f' (x)<0,f(x)是定義在(0, +oo )上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足g' (x)<0g' (x)<0xf' (x) + f(x) w 0 ,對任意正數(shù)a、b,B. bf(b)wf(

4、a)D. bf(a)waf(b)若a<b,則必有()A. af(a)wf(b)C. af(b)wbf(a)10 .函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a, b),導(dǎo)函數(shù)f' (x)在(a, b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)有極小值點()A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個11 .已知函數(shù)y=x- ln(1 +x2),則函數(shù)y的極值情況是()A.有極小值B.有極大值C.既有極大值又有極小值D.無極值12 .函數(shù)f(x) = x3+ax2在區(qū)間1 , +8)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A. 3,B. 3, +8) C. (-3, +8) D.(巴3)

5、二、填空題13 .已知y = 1x3+ bx2+ (b+ 2)x+ 3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則 b的范圍為. 314 .已知函數(shù)f(x)=axlnx,若f(x)> 1在區(qū)間(1, 十°0 )內(nèi)恒成立，實數(shù) a的取值范圍為15 .已知函數(shù)f(x) = x3 3x的圖象與直線y=a有相異三個公共點，則 a的取值范圍是16 . f(x)=x3-12x+ 8在 3,3上的最大值為 M,最小值為 m,則M m=三、解答題17,設(shè)函數(shù)f(x)=x33ax2+3bx的圖象與直線12x+ y1=0相切于點(1, 11).(1)求a、b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.18 .已知函數(shù) f(

6、x)=x3-3x2-9x+ 11.(1)寫出函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間；(2)討論函數(shù)f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值.19 . (2010 新課標全國文，21)設(shè)函數(shù) f(x)=x(ex 1) ax 3 11,21,設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+ 3) + x2.求f(x)在區(qū)間 一4，4上的取大值和取小值1(1)若a = 2,求f(x)的單倜區(qū)間；(2)若當x>0時f(x)>0,求a的取值范圍.20.設(shè)函數(shù) f(x) = ax3+bx2+ cx+d(a>0),且方程 f' (x)9x= 0 的兩個根分別為 1,4. 3(1)當a=3且曲線y=f(x)過原點時，求

7、f(x)的解析式；(2)若f(x)在(一8, +oo )內(nèi)無極值點，求a的取值范圍.22. (2010 安徽理，17)設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f(x) = ex2x+2a, xC R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當a>ln2 1且x>0時，ex>x2 2ax+ 1.參考答案、選擇題1 .答案C 解析導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，例如f(x) = x3, f' (x)=3x2, f' (0)=0,但x= 0不是f(x)的極值點，故 A錯；由極值的定義可知C正確，故應(yīng)選 C.2 .答案D 解析v' =33x2 = 3(1 x)(1+x)令 y

8、' =0,解得 xi = - 1, x2= 1當x<1時，y' <0,函數(shù)y= 1 +3xx3是減函數(shù)，當一1<x<1時，v >0,函數(shù)y=1 + 3x x3是增函數(shù)，當x>1時，v' <0,函數(shù)y=1 + 3x x3是減函數(shù)，當x=1時，函數(shù)有極小值，y極小=1.當x=1時，函數(shù)有極大值，y極大=3.3 .答案D解析.a>0, f(x)為增函數(shù)，(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立，A= (2b)24X 3ax c=4b2 12ac<0,b23ac<0.4 .答案D 解析考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用.f (x

9、) = (x- 3)' ex+(x3)(ex)' = (x- 2)ex,令 f (x)>0,解得 x>2,故選 D.5 .答案C解析當 0Vx<1 時 xf' (x)<0，f' (x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上為減函數(shù)當x>1時xf' (x)>0, .f' (x)>0,故y=f(x)在(1, +8)上為增函數(shù),因此否定 A、B、 D故選C.6 .答案A解析v' =6x2-6x- 12=6(x 2)(x+ 1),令 y' =0,得 x=2 或 x=- 1(舍). f(0) =

10、 5, f(2) = -15, f(3)=-4, .ymaX=5, ymin= 15,故選 A.7 .答案C解析y' =2x 2,令 y' =0 得 x=1.f(a) = - a2-2a+ 3 = £,當aw 1時，最大值為f(1) = 4,不合題意.當1<a<2時，f(x)在a,2上單調(diào)遞減，最大值為解得 a= 2或a= 3(舍去).8 .答案B解析f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同(反)，x<0時，f' (x)>0, g' (x)<0.9 .答案C 解析. xf/ (x

11、)+f(x)<0,且 x>0, f(x)>0,，f' (x)< f(x)-,即 f(x)在(0, + 8)上是減函數(shù)，又 0V avb,af(b)< bf(a).x10 .答案A解析由f' (x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)，先增，再減，再增，最后再減，故函數(shù) f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)只有一個極小值點.21 2,2x(x 1)11 .答案D 解析=1 /+1)' =一一 = 1令v =0得x=1,當x>1時，V >0,當x<1時，V >0,，函數(shù)無極值，故應(yīng)選 D.12 .答案B 解析f(x) =

12、 x3+ax2 在1 , + 8)上是增函數(shù)，.1 (x)=3x2 +a>0在1, +8)上恒成立，即a>3x2在1, +8)上恒成立 又在1, +8)上(3xjmax=3 .-.a> -3,故應(yīng)選 B.二、填空題13 .答案b<1 或 b>2解析 若 y' = x2+2bx+b+2>0 恒成立，則 = 4b2 4(b + 2)W0,-1<b<2,由題意 bv1 或 b>2.14 .答案a> 1解析 由已知a>1 + lnX在區(qū)間(1, +8)內(nèi)恒成立.x1 + lnxlnx設(shè) g(x) =-,則 g (x) = - -

13、2-v 0 (x> 1), xx.g(x) = 5也在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)單調(diào)遞減, x.g(x)<g(1), -. g(1)=1,1+ lnx< 1 在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，.-.a>1.x15 .答案( 2,2)解析令 f' (x)=3x23=0得 x= 土,可得極大值為f(1)=2,極小值為f(1)=2,y=f(x)的大致圖象如圖觀察圖象得2<a<2時恰有三個不同的公共點.16 .答案32解析f (x)= 3x2-12由 f' (x)>0 得 x>2 或 x<2,由 f' (x)<0 得一2<

14、x<2.f(x)在 3, 2上單調(diào)遞增，在 2,2上單調(diào)遞減，在2,3上單調(diào)遞增.又 f(3)=17, f(2)=24, f(2) = -8, f(3) = 1,，最大值 M=24,最小值 m= 8,M-m= 32.三、解答題17 .解析(1)求導(dǎo)得 f' (x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的圖象與直線12x+ y1=0相切于點(1, 11),所以f(1)= 11, f' (1) = 12,1112,解得 a= 1, b= 一 3.1-3a+3b=-即|3 6a+ 3b=(2)由 a=1, b= 3 得f' (x) = 3x2-6ax+3b = 3(x2

15、2x- 3)=3(x+1)(x 3).令 f' (x)>0,解得 x<1 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得1<x<3.所以當xC(oo, 1)時，f(x)是增函數(shù)；當xC(3, +8)時，f(x)也是增函數(shù)；當 xC (1,3)時，f(x)是減函數(shù).18 .解析f' (x) = 3x2-6x- 9=3(x+ 1)(x-3),令 f' (x)=0,得 x1= 1, x2=3.x變化時，f' (x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示:x(OO, 1)-1(-1,3)3(3, +8)f' (x)十0一

16、0十f(x)增極大值減極小值增f(-1)f(3)(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(一1,3);(2)由表可得，當x=1時，函數(shù)有極大值為f(1)=16;當乂= 3時，函數(shù)有極小值為 f(3) = 16.11 C19 .解析(1)a = 2時，f(x)=x(ex 1) 2x2, f (x) =ex- 1 +xex-x= (ex-1)(x+ 1).當 xC(oo, 1)時，1(x)>0;當 xC (1,0)時，f' (x)<0;當 xC(0, +8)時，1(x)>0.故f(x)在( 8, 1, 0, +8)上單調(diào)遞增，在1,0上單調(diào)遞減.(2)f(x)=x(ex- 1-ax

17、).令 g(x)= ex1 ax,則 g' (x) = exa.若aW1,則當xC(0, +8)時，g，(x)>0, g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0,從而當x>0時 g(x)>0,即 f(x)>0.當 a>1,則當 xC (0, Ina)時，g' (x)<0, g(x)為減函數(shù)，而 g(0) = 0,從而當 x (0, Ina) 時 g(x)<0 ,即 f(x)<0.綜合得a的取值范圍為（00, 1.20 .解析本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用.由 f(x)=a 33x+ bx2 + cx+ d 得 f' (x) = a

18、x2 + 2bx+ cf' (x)- 9x=ax2+2bx+ c9x=0 的兩根為 1,4.a 4- 2Z)+ e - 9 = 016口 + XA + c 36 = 0|2A+c-6=0(1)當 a=3 時，由(*)式得 *'+12=。，解得 b= 3, c=12.又曲線 y= f(x)過原點,d= 0.故 f(x) = x3- 3x2 + 12x.(2)由于 a>0,所以 “f(x)= 3x3+bx2+cx+d 在(一00, + 8)內(nèi)無極值點”等價于 "f ' (x)= ax2 + 2bx+ c> 0 在(一00,+8)內(nèi)恒成立”由(*)式得

19、2b=95a, c= 4a.又A= (2b)2-4ac= 9(a-1)(a-9)a >0A =9(。- I ) (cj-9) 得 aC1,9,即 a 的取值范圍1,9.21.解析f(x)的定義域為3+8)2'十，f (x) = 2x +24x2+ 6x+ 22x+32x+ 32(2x+ 1)(x+ 1)2x+ 3當一2<x<-1 時,f' (x)>0;當一1<x< 2時，f' (x)<0；當 x> 2時，f' (x)>0,所以f(x)在-4, 4卜的最小值為f&2)= ln2 + ；.(-3、'_fll L"+ I 4J %廠 1n2 +9-1n7162 16,3,1 1 , 1n7 + 2=211-,491n3嚴，所以f(x)在區(qū)間一3, 1 I上的最大值為f1 != 1n； + ；622.分析本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號