平面向量在三角形中的應(yīng)用

1、O222222OABCOBCAOCAB O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一點(diǎn)及一點(diǎn)滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式，則，則A內(nèi)心內(nèi)心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足滿足，則動點(diǎn)則動點(diǎn)P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的（的（ ）A內(nèi)心內(nèi)心B垂心垂心C外心外心D重心重心()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足滿足，A內(nèi)心內(nèi)心 B垂

2、心垂心C外心外心D重心重心，則動點(diǎn)，則動點(diǎn)P的軌跡的軌跡一定通過一定通過ABC的（的（ ）O222222OABCOBCAOCAB O1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一點(diǎn)及一點(diǎn)滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式，則，則A內(nèi)心內(nèi)心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）OCAB2222OABCOBCA 解：由解：由2222OAOCOBOBOAOC 即：即：()0OCOBOAOC AB 化簡有：化簡有：,OABC OBAC同理有：同理有：OABC為為的垂心的垂心. .B變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：()|ABACOPOAABAC (0,)1.2 已知已知O是是ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)所在平

3、面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足滿足，則動點(diǎn)則動點(diǎn)P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的（的（）A內(nèi)心內(nèi)心B垂心垂心C外心外心D重心重心解：由已知解：由已知()|ABACAPABAC 所以動點(diǎn)所以動點(diǎn)P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心的內(nèi)心. A變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：ABCDEFP()|sin|sinABACOP OAABBACC (0,)1.3已知已知O是是ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足滿足，A內(nèi)心內(nèi)心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，則動點(diǎn)，則動點(diǎn)P的軌跡的軌跡一定通過一定通過ABC的（的（ ）|sin|sinABBACC 解：由正弦定理知：解：由正弦定理知：(

4、)|sin|sinABACOP OAABBACC 又又()|sinAPAB ACABB 所以所以故點(diǎn)故點(diǎn)P軌跡通過軌跡通過ABC的重心的重心D變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：ABC)(OCOBOAmOHm的外接圓的圓心為的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) OCOBOAOH解法一：解法一：特例法特例法ABC為一個直角三角形，則為一個直角三角形，則O點(diǎn)斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)斜邊的中點(diǎn)，設(shè)設(shè)頂點(diǎn)，這時有頂點(diǎn)，這時有H點(diǎn)為直角點(diǎn)為直角，1.m 高考真題再現(xiàn),DAAB CHABAHDCOHOAAHOAOBOC 解法二：解法二：連連BO延長交延長交 O于于D，連，連AD、CD.C

5、HDA同理，同理，AHDC，DCDOOCOBOC 又又OHABDC 四邊形四邊形AHCD為平行四邊形為平行四邊形CAHBOABCOGH三角形的歐拉線：三角形的歐拉線： 外心外心O、重心、重心G、垂心、垂心H三點(diǎn)共線且三點(diǎn)共線且OG = = GH123()3OGOHm OAOBOCmOG 5121,3PACABCSS512PBCABCPACPABABCSSSSSACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理ACABAP4131ABCPBCSS例例2. 設(shè)設(shè)P為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則，則14PABABCSS典型例題典型例題ACABAP41311113()

6、3434APABACABAC 11313344PABABDABCABCSSSS44141313333343PACPADABDABCABCSSSSS512PBCABCPACPABABCSSSSS法二：法二：構(gòu)造三角形的重心構(gòu)造三角形的重心34ADAC 取點(diǎn)取點(diǎn)D使得使得則點(diǎn)則點(diǎn)P為為ABD的重心的重心，連接，連接BD,P DABCACABAP4131ABCPBCSS例例2.設(shè)設(shè)P為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則，則512變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：032PCPBPAACPBCPABP,2.1 已知已知P為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則，則面積之比為面積之比為ABCABOABCCAOA

7、BCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 設(shè)設(shè)O為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，記內(nèi)一點(diǎn)，記，則則變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：032PCPBPAACPBCPABP,2.1 已知已知P為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則，則面積之比為面積之比為3:1:2解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理1132APABAC 得得 032PCPBPA由由1,3PACABCSS12PABABCSS111(1)326PBCABCABCSSS111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS230PAPBPC ACPBCPABP,2.1 已知已知P為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則，則面積之比為面積之

8、比為法二：構(gòu)造三角形及重心法二：構(gòu)造三角形及重心2PBPB 3PCPB 0PAPBPC 則則P為的重心為的重心.AB C1,2PABPABSS16PBCPB CSS13PACPACSS令令111:3 :1: 2263ABPPBCACPSSS013103OAOBOCOAOBOC 解法一：特例法取解法一：特例法取O為為ABC的重心，則的重心，則ABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2.2 設(shè)設(shè)O為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，記內(nèi)一點(diǎn)，記，則則變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：ADAEAOADAEABACABAC 0OAOBOC BODEABCABOABCCAOABCBCOSSSSSS,OCOBOA2

9、.2設(shè)設(shè)O為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，記內(nèi)一點(diǎn)，記，則則()ABACOBOCOA 1r由題知由題知,CAOABOABCABCSSADAESABSAC法二：法二：過過O分別作分別作、的平行線的平行線OD、OE，交交于于D，交，交于于E，則，則00.OAOBOC ， ， ，ABCSBCOCAOABOSSS，引申：引申： 設(shè)設(shè)O為為ABC內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，記記= =m, , 則則分別為分別為 2、已知、已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面為平面ABC內(nèi)內(nèi)1(1)(1)(12 ), ()3OPOAOBOCR A內(nèi)心內(nèi)心 B垂心垂心C外心外心D重心重心任一點(diǎn)，動點(diǎn)任一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足等式滿足等式則動點(diǎn)則動點(diǎn)P的軌跡一定通過的軌跡一定通過ABC的（的（ ）bACaAB,bnAQamAP,nm113、已知、已知G為為ABC的重心，令的重心，令點(diǎn)點(diǎn)G分別交分別交AB