ARMA時間序列模型及SPSS應用PPT課件

1、ARMA時間序列模型及其相關應用段曉曼吳艾茜黃衍超2017.12.07Southern Medical University1提綱時間序列模型的概念模型的識別模型階數(shù)的確定模型參數(shù)的估計模型的檢驗模型的應用2Southern Medical University一、時間序列模型的概念3Southern Medical University時間序列的概念時間序列的概念 時間序列是指將同一統(tǒng)計指標的數(shù)值按其發(fā)生的時間先后順序排列而成的序列。 時間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對未來進行預測。2000-2013年我國GDP增長圖*公開數(shù)據(jù)整理4Southern Medical Univers

2、ityARMA模型的概模型的概念念 ARMA 模型（自回歸滑動平均模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究時間序列的重要方法。 1976年，英國統(tǒng)計學家G.E.P.Box和英國統(tǒng)計學家G.M.Jenkins聯(lián)合出版了時間序列分析預測和控制一書，在總結前人的研究的基礎上，系統(tǒng)地闡述了ARMA模型的識別、估計、檢驗及預測的原理和方法，成為時間序列分析的核心，故ARMA 模型也稱為Box-Jenkins模型。5Southern Medical UniversityARMA模型的概模型的概念念 ARMA 是一種單變量、同方差的線性模型，對于滿足有限

3、參數(shù)線形模型的平穩(wěn)時間序列，主要有以下三種基本形式：u自回歸模型（ AR : Auto-regressive）u移動平均模型（ MA : Moving-Average） u混合模型（ ARMA : Auto-regressive Moving-Average）平穩(wěn)時間序列：統(tǒng)計量的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間變化。6Southern Medical University設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，階數(shù)為p的自回歸模型定義為：AR模型模型tX1122.tttpt ptXXXXa 模型簡記為 ，是時間序列 自身回歸的表達式，所以稱為自回歸模型。AR( )ptX 其中， 是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足 ，

4、 也稱白噪聲序列。 ta0tE a2 taD a 為了方便表示，引進延遲算子的概念。令：1ttXBX22-1tttXBXB XptptXB X 則自回歸模型可寫為： ( )ttB Xa212( )1.ppBBBB 其中： 7Southern Medical University 對于模型：AR模型模型( )ttB Xa 若滿足條件： 的根全在單位圓外，即所有根的模都大于1，則稱此條件為AR(p)模型的平穩(wěn)性條件。( )0B1R 1B2B3B 當模型滿足平穩(wěn)性條件時， 存在且一般是B的冪級數(shù)，于是模型又可寫為：-1( )B-1( )ttXB a8Southern Medical Universi

5、ty 設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，階數(shù)為q的滑動平均模型定義為：tX1122.ttttqt qXaaaa 模型簡記為 。同樣為了方便表示，引進延遲算子的概念。令：MA( )q1ttaBa22-1tttaBaB aptptaB a 則滑動平均模型可寫為： ( )ttXB a212( )1.qqBBBB 其中： MA模模型型 若滿足條件： 的根全在單位圓外，則稱此條件為MA(q)模型的可逆性條件，此時 存在且一般是B的冪級數(shù)，于是模型又可寫為：( )0B-1( )B1( )ttaB X9Southern Medical UniversityAR與與MA模型的比較模型的比較 自回歸模型：意義在于僅

6、通過時間序列變量的自身歷史觀測值來反映有關因素對預測目標的影響和作用，不一定平穩(wěn)。 滑動平均模型：意義在于用過去各個時期的隨機干擾（白噪聲）或預測誤差的線性組合來表達當前預測值，但具有不一定可逆性。1122.tttpt ptXXXXa1122.ttttqt qXaaaa10Southern Medical UniversityARMA模型模型 設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，p階自回歸q階滑動平均混合模型定義為：tX11221122.tttpt ptttqt qXXXXaaaa( )tB X( )tB a=模型簡記為ARMA(p, q).顯然，當q =0時，ARMA(p, q)模型就是AR (p

7、)模型；顯然，當p =0時，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；ARMA(p, q)模型的平穩(wěn)性只依賴于AR 部分；ARMA(p, q)模型的可逆性只依賴于MA 部分；11Southern Medical University二、模型的識別12Southern Medical UniversityMA模型的自相關函模型的自相關函數(shù)數(shù)1122.ttttqt qXaaaa階數(shù)為q的滑動平均模型定義為：根據(jù)自相關函數(shù)的定義：11111111() = ()() = ktt kttqt qt kt kqt k qqqqqtt kjtt kjit it kijt it kjjiijE X XE

8、aaaaaaE a aE a aE a aE a a 因為2, .0, .asttsE a ats111= qqqktt kit it kiit it kjiijE a aE a aE a a 所以自相關函數(shù)變?yōu)槿棧?3Southern Medical UniversityMA模型的自相關函數(shù)模型的自相關函數(shù)111= qqqktt kit it kijt it kjiijE aaE a aE a a 對于：分以下幾種情況討論：1）當 k =0 時，有22222211= =;qqktit iaiaiiE aE a 2）當 時，有222211=-= -;qqkkt kii kt ikaii ka

9、i ki kE aE a 1kq3）當 kq 時，有=0;k從上述性質(zhì)可以看出，MA(q)序列的自相關系數(shù) 在 kq 時全為0.這種性質(zhì)稱為q步截尾性，表明序列只有q步相關性。 k14Southern Medical UniversityAR模型的自相關函數(shù)模型的自相關函數(shù)階數(shù)為q的自相關模型定義為：根據(jù)自相關函數(shù)的定義：11221122() = () = ktt kt kttptptkkpkpE X XE XXXXa 1122.tttpt ptXXXXa令k=1,2, p,得自相關系數(shù)：1121-1211231-21-122= = = pppppppp 從上述性質(zhì)可以看出，AR(q)序列的自

10、相關系數(shù) 隨著k的增大始終不為0.這種性質(zhì)稱為拖尾性，并且是呈負指數(shù)衰減。 k15Southern Medical UniversityARMA模型的自相關函模型的自相關函數(shù)數(shù)ARMA(p, q)模型的自相關系數(shù)，可以看做AR(p)模型的自相關函數(shù)和MA(q)模型的自相關系數(shù)的混合物。當p=0時，它具有截尾性質(zhì)；當q=0時，它具有拖尾性質(zhì)；當p，q均不為0時，如果當p, q均大于或者等于2，其自相關函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復雜，有可能呈現(xiàn)出指數(shù)衰減、正弦衰減或者二者的混合衰減，但通常都具有拖尾性質(zhì)。16Southern Medical University偏相關函數(shù)偏相關函數(shù) 從上面的討論可知，對于

11、自相關函數(shù)，只有MA(q)模型是截尾的，AR(p)和ARMA(p, q)模型是拖尾的。為了進一步區(qū)分AR(p)模型和ARMA(p, q)模型，我們引入了偏相關函數(shù)的概念。 對于零均值的平穩(wěn)時間序列中，給定 ，則 之間的偏相關函數(shù)定義為：11,tt kXX tt kXX和222= tt ktt kXtt kE X XE X XE XE X偏相關函數(shù)注意：此時的期望指的是條件期望。17Southern Medical UniversityAR模型偏相關函數(shù)模型偏相關函數(shù) 設 為零均值的實平穩(wěn)時間序列，設它滿足AR(p)模型：tX1122.tktktkkt ktXXXXa 用 乘上式兩邊，當給定 時

12、，取條件期望得： - t kX1111=,ttt kt kXxXx ，-11-,11-2- .tt kktt kk kt kt kkkt ktt kE X Xx E XxE XE XE a X 因為 k0 時， ，且有-0tt kE a X2-,tt kkkt kkkXE X XD X 故2=, 1,2,.tt kkkXE X Xk 顯然 即為AR(p)序列的偏相關函數(shù)，同時它又是AR(p)模型的最后一個回歸系數(shù)。當kp時，有 ，也即是截尾的。kk=0kk18Southern Medical UniversityARMA模型偏相關函模型偏相關函數(shù)數(shù) ARMA模型的偏相關函數(shù)求解方法和上述略有不

13、同，考慮用 對 做最小方差估計來求ARMA(p, q)序列(把MA(q)看作是 p=0 的特例) 的偏相關函數(shù) ，同時推出偏相關函數(shù)與自相關函數(shù)的關系。 1,tt kXXtXtXkk11111,111111,1,1,1=,1, 1,2, .kkkkkkjkjjkjjjkjkjkkk kjjk 當kp時， 0kk即ARMA模型和MA模型都是拖尾的。19Southern Medical University平穩(wěn)時間序列的類型識平穩(wěn)時間序列的類型識別別類別模型AR(p)MA(q)ARMA(p, q)模型方程平穩(wěn)條件 的根全在單位圓外無條件平穩(wěn) 的根全在單位圓外自相關函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關函數(shù)截尾拖尾

14、拖尾( )ttB Xa( )ttXB a( )( )ttB XB a( )0B( )0B20Southern Medical University三、模型階數(shù)的確定21Southern Medical University如何用樣本自相關函數(shù)來推斷模型的階。模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定22Southern Medical Universityk110,1,1N kii kix xkNN， 樣本自相關函數(shù)定義為：kk0 =0,1,1kN， 模型階數(shù)的確定模型階數(shù)的確定（式1）由樣本值求出樣本自相關函數(shù)23Southern Medical University由正態(tài)分布的性質(zhì)知，2k11P |(1

15、268.3%qiiN）或2k12P |(1295.5%qiiN）在實際應用中，因為q一般不是很大，而N很大，此時常取1211(12)iqiNNk1P |68.3%Nk2P |95.5%N或24Southern Medical Universityk| 1|N或k| 2|N（3）ARMA(p, q)模型的階數(shù)p和q難于確定，一般采用由低階到高階逐個試探，如取(p, q)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，直到經(jīng)驗證認為模型合適為止。25Southern Medical University四、模型參數(shù)的估計26Southern Medical University 當選定模型及確定階數(shù)后，進一

16、步地問題是要估計出模型的未知參數(shù)。參數(shù)估計方法有矩法、最小二乘法、極大似然法等。模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計27Southern Medical University模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計11XttptptXXa1121121123121122=+,=+,=+;pppppppp 寫成矩陣式為1121121122123111ppppppp201pajjj （式2）（式3）推導見課本P13528Southern Medical University利用(式2)，(式3) 將參數(shù)換成它們的估計，-11121121122123111ppppppp 20011 =1ppajjjjjj 模型參數(shù)的估

17、計模型參數(shù)的估計29Southern Medical University模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計11Xtttqt qaaa將參數(shù)換成它們的估計，2221k21 1 (1)0 ().aqakkqq kkkq ，1可直接求解，也可迭代求解。MA(q)序列的協(xié)方差函數(shù)表達式30Southern Medical University模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計1111X=ttptpttqt qXXaaa首先，利用（式4），將參數(shù)換成它們的估計q11111q22212qqq pqqq pqqpqppqp （式4）-11q11121q2212qqq pqqq pqpqpqpqp 31Southern

18、 Medical University然后，令11Y =XtttptpXXk0000 ( )pppptt kijt itj kijkj iijijYE YYE XX k00 ( )ppijkj iijY 11Ytttqt qaaa模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計32Southern Medical University五、模型的檢驗33Southern Medical University模型的檢驗模型的檢驗34Southern Medical University模型的檢驗模型的檢驗1111=X+tttptptqt qaXXaak0 ( ) ( )1,2,., ( )kaakMa，21Q( )M

19、MiiNaM取N/10左右35Southern Medical University六、模型的應用36Southern Medical University時間序列或動態(tài)數(shù)據(jù)是依時間順序先后排列的，各有其大小的一列數(shù)據(jù)。這種有序性和大小反映了數(shù)據(jù)內(nèi)部的相互聯(lián)系和變化規(guī)律，蘊含著產(chǎn)生這列數(shù)據(jù)的現(xiàn)象、過程或系統(tǒng)的有關特性，有關的信息。 研究、分析與處理動態(tài)數(shù)據(jù)，正是為了揭示數(shù)據(jù)本身的結構與規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，明了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，推斷數(shù)據(jù)與系統(tǒng)的未來情況。 但是，通常人們獲得的實測數(shù)據(jù)總是有限而非無限的，所以時間序列分析就是在有限個樣本數(shù)據(jù)總量的情況下，建立相對準確的數(shù)學模型，從而獲得具有一定精

20、度的統(tǒng)計特性，進而達到預判經(jīng)濟形勢、規(guī)避風險等目的。時間序列分析時間序列分析37Southern Medical University某商品月銷售額某商品月銷售額時間時間19911991年年19921992年年19931993年年19941994年年19951995年年19961996年年1 1月份月份603.2225612.8499620.2722629.6026640.5817649.40082 2月份月份636.8149645.9645655.7020663.0500672.2036681.69993 3月份月份707.1452715.9899723.8026733.8552743.03

21、34752.35014 4月份月份638.0379646.1702654.8081664.6104675.1520684.52265 5月份月份620.6295628.2095636.0499645.5190655.5609663.96336 6月份月份707.2703717.1703725.7692735.4458741.9791753.33477 7月份月份539.0789549.4425557.4150566.1298573.6024583.93478 8月份月份252.8602259.8826270.9799279.3648288.2158297.61629 9月份月份591.7836

22、601.1425611.3857620.6696627.7034639.49981010月份月份626.9935637.4908646.0962654.9507663.0892672.44491111月份月份582.6923592.8298602.6265611.4662620.7718629.95011212月份月份611.3965620.8653630.0778637.0239647.4319655.4984構建模型的數(shù)據(jù)（67個數(shù)據(jù)，5個測試數(shù)據(jù)）構建時間序列模型構建時間序列模型38Southern Medical University 使用SPSS畫出時間序列的序列圖序列特點：1.序列

23、具有周期性，且周期為12個月。2.序列具有上升趨勢。3.序列不平穩(wěn)。構建時間序列模型構建時間序列模型39Southern Medical University RA 、MA 、RAMA模型，只適用于平穩(wěn)時間序列，但是通過前面的分析，該時間序列的模型符合以下特征：( )( )ttXf td tW其中 是趨勢項， 是周期項， 則是平穩(wěn)序列。( )f t( )d ttW 只要能將平穩(wěn)序列 從原始具有趨勢的非平穩(wěn)序列 中提取出來，就可以對提取出來的序列進行上述平穩(wěn)序列的分析。tWtX 而一個具有趨勢項的非平穩(wěn)序列，總是可以在經(jīng)過若干次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。當然，具有周期性的序列也可以通過季節(jié)性的差分提取

24、平穩(wěn)序列。 如果序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)；如果序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響；對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好的提取周期信息。構建時間序列模型構建時間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化化40Southern Medical University構建時間序列模型構建時間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化化 進行季節(jié)性差分，周期為12序列特點：1.周期性基本去除；2.序列仍然具有上升趨勢。12tttZXX41Southern Medical University構建時間序列模型構建時間序列模型序列平穩(wěn)序列平穩(wěn)化

25、化 進行季節(jié)性差分以及一階差分序列特點：1.周期性基本去除；2.序列圍繞著0波動，零均值。3.經(jīng)過差分處理后為平穩(wěn)的序列適用于ARMA模型時，稱這種模型為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)1tttQZZ12tttZXX42Southern Medical University構建時間序列模型構建時間序列模型相關性分相關性分析析 自相關函數(shù)特性：1.自相關函數(shù)在一階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間。2.在12階滯后時自相關系數(shù)超出置信區(qū)間，周期性趨勢仍存在。3.自相關函數(shù)拖尾，無截斷。43Southern Medical University特性：1.偏相關函數(shù)在二階滯后的函數(shù)值基本都落入置信區(qū)間；2.偏相關函數(shù)拖尾，無截斷,差分處理后的模型適用于ARMA模型，因此對原序列采用ARIMA模型分析。3.根據(jù)偏相關函數(shù)：初步定階為：非周期性滯后偏相關階數(shù)p = 2，周期性滯后偏相關階數(shù)P=0；4.根據(jù)相關函數(shù)，初步定階為：非周期性滯后相關階數(shù)q =1，周期性滯后相關階數(shù)Q=1；構建時間序列模型構建時間序列模型相關性分相關性分析析 偏相關函數(shù)44Sout