初二數(shù)學(xué)分類與討論復(fù)習(xí)題

1、全國(guó)初中（初二）數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第二十一講 分類與討論分類在數(shù)學(xué)中是常見(jiàn)的，讓我們先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始有四張卡片，它們上面各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字：1，9，9，8從中取出若干張按任意次序排列起來(lái)得到一個(gè)數(shù)，這樣的數(shù)中有多少個(gè)是質(zhì)數(shù)？因?yàn)榘匆笏玫臄?shù)可能是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)，我們分別給予討論任取一張卡片，只能得3個(gè)數(shù)：1，8，9，其中沒(méi)有質(zhì)數(shù)；任取二張卡片，可得7個(gè)數(shù)：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89兩個(gè)是質(zhì)數(shù)；任取三張卡片，可得12個(gè)數(shù)：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三個(gè)數(shù)是質(zhì)

2、數(shù)；取四張，所得的任一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字和是27，因而是3的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)綜上所述，質(zhì)數(shù)共有23=5個(gè)上面的解題方法稱為分類討論法當(dāng)我們要解決一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常把所要討論的對(duì)象分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論分類討論法是一種很重要的數(shù)學(xué)方法在分類中須注意題中所含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類中分類討論一般分為三個(gè)步驟，首先確定分類對(duì)象，即對(duì)誰(shuí)實(shí)施分類第二是對(duì)對(duì)象實(shí)施分類，即分哪幾類，這里要特別注意，每次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、不遺漏，有些復(fù)雜的問(wèn)題，還要逐級(jí)分類最后對(duì)討論的結(jié)果進(jìn)行綜合，得出結(jié)論例1 求方程x2-2x-1-4=0的實(shí)根x2+2x-1-4=0，x2-2x1-4=

3、0，x13，x2=-1說(shuō)明 在去絕對(duì)值時(shí)，常常要分類討論例2 解方程x2-x=2，其中x是不超過(guò)x的最大整數(shù)解 由x的定義，可得xx=x2-2，所以 x2-x-20，解此不等式得-1x2現(xiàn)把x的取值范圍分成4個(gè)小區(qū)間(分類)來(lái)進(jìn)行求解(1)當(dāng)-1x0時(shí)，原方程為x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不滿足-1x0)(2)當(dāng)0x1時(shí)，原方程為x2=2(3)當(dāng)1x2時(shí)，原方程為x2-1=2，所以(4)當(dāng)x=2時(shí)，滿足原方程例3 a是實(shí)數(shù)，解方程xx+1+a=0分析 方程中既含有絕對(duì)值，又含有參數(shù)a，若以平方化去絕對(duì)值的話，則引入了高次方程，把問(wèn)題更加復(fù)雜化了對(duì)這種問(wèn)題，宜討論x的取值范圍來(lái)求解

4、解 (1)當(dāng)x-1時(shí)，原方程變形為x2x-a=0當(dāng)=14a0(且a=-x1x0)，即a0時(shí)，的解為(2)當(dāng)x-1時(shí)，原方程為x2xa=0又x-1，即綜上所述，可得：當(dāng)a0時(shí)，原方程的解為例5 已知三角形中兩角之和為n，最大角比最小角大24°，求n的取值范圍解 設(shè)三角形的三個(gè)角度數(shù)分別是，且有 由題設(shè)-=24(1)若+=n，則=180°-n，=-24°156°-n，n-2n-156°所以156°-n2n-156°180°-n，所以 104°n112°(2)若=n，則=180°-n，于是所

5、以所以 112°n128°(3)若=n，則=180°-n，=+24°=204°-n，=n-=2n-204°于是180°- n2n-204°204°-n，所以 128°n136°綜上所述，n的取值范圍是104°n136°例6 證明：若p是大于5的質(zhì)數(shù)，則p2-1是24的倍數(shù)分析 關(guān)于整數(shù)的問(wèn)題，我們常把它分成奇數(shù)和偶數(shù)(即按模2分類)來(lái)討論，有時(shí)也把整數(shù)按模3分成三類：3k，3k1，3k2一般地，可根據(jù)問(wèn)題的需要，把整數(shù)按模n來(lái)分類本題我們按模6來(lái)分類證 把正整數(shù)按模

6、6分類，可分成6類：6k，6k+1，6k2，6k3，6k4，6k5因p是大于5的質(zhì)數(shù)，故p只能屬于6k+1，6k+5這兩類當(dāng)p=6k1時(shí)，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)因k，3k1中必有一個(gè)偶數(shù)，此時(shí)24p2-1當(dāng)p=6k5時(shí)，p2-1=36k260k24 12k212k =12k(k1)0(mod 24)所以，P2-1是24的倍數(shù)例7 證明A=x-y+x+y-2z+x-y+x+y+2z 4maxx，y，z，其中maxx，y，z表示x，y，z這三個(gè)數(shù)中的最大者分析 欲證的等式中含有三個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，且其中一個(gè)在另一個(gè)內(nèi)，要把絕對(duì)值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對(duì)我們有所提示，如

7、果x為x，y，z中的最大者，即證A=4x，依次再考慮y，z是它們中的最大值便可證得證 (1)當(dāng)xy，xz時(shí)，A=x-y+x+y-2zx-y+x+y+2z =2x-2z+2x+2z=4x. (2)當(dāng)yz，yx時(shí)，A=y-x+x+y-2z+y-x+x+y+2z =2y-2z+2y+2z=4y(3)當(dāng)zx，zy時(shí)，因?yàn)閤-yxy=maxx，y2z，所以A=2z-x-y-x-y+x-y+x+y+2z=4z從而 A=4maxx，y，z例8 在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個(gè)與大矩形相似的小矩形，且每個(gè)小矩形的每條邊相應(yīng)地與大矩形的一條邊平行，求兩個(gè)小矩形周長(zhǎng)和的最大值解 兩個(gè)小矩形的放置情況有如下幾種：(2)兩個(gè)小矩形都“橫放”，如圖2-124及圖2-125所示，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和的最大值是2(a3a)21-a3(1-a)8(3)兩個(gè)小矩形一個(gè)“橫放”，一個(gè)“豎放”，如圖2-126，這時(shí)兩個(gè)小矩形的周長(zhǎng)和為練習(xí)二十一1解不等式：x+1x22解關(guān)于x的不等式：a(ax-1)