虛位移原理PPT

1、工程力學(xué)（C）(20)8.4 虛位移原理虛位移原理具有雙面理想約束的質(zhì)點系，在某一位置能繼續(xù)保持靜止平衡的充要條件是：虛位移原理是分析（靜）力學(xué)的基本原理。虛位移原理可用于求解剛體系統(tǒng)的靜止平衡問題。作用于質(zhì)點系的主動力在該位置任何一組虛位移上做的虛功之和等于零。即：（8.32）虛功方程對于理想約束、且無彈簧連接的剛體系統(tǒng)：對于有彈簧連接的剛體系統(tǒng)或變形體：對于非理想約束，可將其約束力視為主動力。若系統(tǒng)全部為有勢力作功時，虛功方程為（8.33）比較7 與8 ：條件應(yīng)用的系統(tǒng)平衡的含義7 力系的平衡 單個剛體（充要條件）相對慣性系靜止或勻速直線運動 剛體系統(tǒng)（必要條件）8 虛位移原理 剛體系統(tǒng)（

2、充要條件）相對慣性系靜止2. 虛位移原理的應(yīng)用（8.32）虛功方程（1）對自由度為k的系統(tǒng)（機(jī)構(gòu)）有k個獨立的廣 義坐標(biāo)、k個獨立的廣義虛位移虛功方程（8.34）k個獨立方程已知平衡位置，求此時各主動力之間關(guān)系已知各主動力，求平衡時的位置j=1,k（2）對自由度為零的系統(tǒng)（靜定結(jié)構(gòu)）求約 束處的約束力自由度為零，系統(tǒng)無虛位移解除一個約束，代之以相應(yīng)的待求約束力（視為未知大小的主動力）系統(tǒng)變?yōu)閗=1的機(jī)構(gòu)，按(1)求解未知約束力若求多個約束力，可依次解除相應(yīng)約束，每次求出一個約束力解題指導(dǎo)（1）對系統(tǒng)，正確寫出虛功方程：（8.32）是全部作功的力的虛功之和正確找出全部作功之力，正確寫出虛功（2）

3、虛功方程 中的虛位移，必須表示為獨立的虛位移的形式（3）整理虛功方程，令虛功方程中各獨立虛位移前面的系數(shù)為零。例 題 58 虛位移原理 例題 桿OD、CE、CB、DB，彈簧AB，剛度為k，彈簧未變形時 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求當(dāng)角為平衡位置時，P？解：1.分析拆除彈簧AB，用 、 表示彈簧對剛體系統(tǒng)的作用系統(tǒng)為理想約束系統(tǒng)，各鉸處的約束力不作功 。例 題 58 虛位移原理 例題系統(tǒng)自由度為1，可選為廣義坐標(biāo)。2.列虛功方程系統(tǒng)中作功的力：主動力 ，彈簧力，彈簧伸長量故彈簧力的大小為方法一llllll例 題 58 虛位移原理 例題建立坐標(biāo)系Oxy,各力的虛功表示為：xy利用解

4、析法建立虛位移的關(guān)系：求變分llllll例 題 58 虛位移原理 例題xyllllll系統(tǒng)的虛功方程為即由于例 題 58 虛位移原理 例題方法二不拆除彈簧（彈簧包括在系統(tǒng)內(nèi)，有內(nèi)力作功）虛功方程為xyllllll由同理可得例 題 68 虛位移原理 例題 AB、BC、CD為三根等長、等重的均質(zhì)桿，與鉛垂墻壁連成正方形ABCD，并用柔繩EH拉住，E、H分別為AB、BC的中點，各桿重Q，求柔繩的拉力。例 題 68 虛位移原理 例題解：1.分析系統(tǒng)的自由度為0,靜定結(jié)構(gòu)主動力：且2.列虛功方程(幾何法）G拆除繩EH，自由度為1，用表示繩索對結(jié)構(gòu)的作用力。例 題 68 虛位移原理 例題且代入上式G此機(jī)構(gòu)

5、中，桿AB，DC為定軸轉(zhuǎn)動，桿BC為平動，可判斷E，G，H各點的虛位移方向。（拉力）例 題 78 虛位移原理 例題 桿AB、CD由光滑鉸鏈C相連，在AB桿的B端作用一鉛垂力 ，在CD桿上作用一力偶，其力偶矩為M，不計桿重，求A端的約束反力。例 題 78 虛位移原理 例題解：系統(tǒng)的自由度為0可依次拆除A端的幾個約束，將相應(yīng)約束力看作主動力求解。例 題 78 虛位移原理 例題(1)求去掉A端的轉(zhuǎn)動約束，用約束力偶矩MA代替。系統(tǒng)的自由度為1主動力：AB定軸轉(zhuǎn)動，CD一般平面運動，瞬心為P，PAB的虛轉(zhuǎn)角CD的虛轉(zhuǎn)角為則例 題 78 虛位移原理 例題列虛功方程：代入（）例 題 78 虛位移原理 例題

6、(2)求去掉A端的水平約束，用約束力FAx 代替。系統(tǒng)的自由度為1主動力AB、CD只能作平動例 題 78 虛位移原理 例題(3)求去掉A端的鉛垂約束系統(tǒng)自由度為1主動力：AB平動，CD瞬心為PP設(shè)CD的虛轉(zhuǎn)角為則有列虛功方程：例 題 78 虛位移原理 例題即（）9.5 質(zhì)點系平衡的廣義力1. 廣義力 以廣義力表示的系統(tǒng)平衡條件虛功方程各 之間要滿足約束條件，故不是獨立的，可用廣義虛位移 表示為稱為廣義坐標(biāo) 對應(yīng)的廣義力令（8.35)因此，虛功方程可寫為2. 廣義力的計算由于各個 獨立系統(tǒng)的平衡條件：（8.36）分別計算k個廣義力，計算 時，選取一組特殊的廣義虛位移，令但而這組虛位移下系統(tǒng)的虛功

7、為：則j=1k (8.37)3. 有勢力場質(zhì)點系的平衡問題設(shè)系統(tǒng)的主動力全部為有勢力，則系統(tǒng)存在勢能V或選取廣義坐標(biāo)與 相應(yīng)的廣義力：各有勢力直角坐標(biāo)下的投影Fi與勢能的關(guān)系則系統(tǒng)的元功選取直角坐標(biāo) xix2x1x3(xi1,xi2,xi3)平衡條件：或4.有勢力場中質(zhì)點系平衡的穩(wěn)定性例如：考慮自重的桿的平衡問題。即對于保守系統(tǒng)，質(zhì)點系的平衡位形一定出現(xiàn)在勢能取駐值（ 或 ）的位形處。以下僅討論單自由度系統(tǒng)：設(shè)在處系統(tǒng)平衡。將在處臺勞展開當(dāng)q在 附近時，略去二階以上小量注意到，因 處于平衡位置，所以則在平衡位置處勢能取駐值包括以下幾種情況：(1)取極小值(2)取極大值(3)拐點(4)不變化q對

8、應(yīng)的廣義力則(a) 當(dāng) 時，有勢能V在 處取極小值，廣義力Q與廣義位移的增量 的符號相反。Q可使質(zhì)點恢復(fù)到平衡位置。是質(zhì)點系的穩(wěn)定平衡位置。故當(dāng) 時，(b)當(dāng) 時，有勢能V在 處取極大值，廣義力Q與廣義位移的增量 的符號相同。Q可使質(zhì)點離開平衡位置。q對應(yīng)的廣義力(c)當(dāng) 時，需考察V=V(q)更高階導(dǎo)數(shù)(d)當(dāng)V=V(q0)=const時，廣義力為零，隨遇平衡是質(zhì)點系的不穩(wěn)定平衡位置。故 時，穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡在穩(wěn)定的平衡位形處，質(zhì)點系的總勢能為最小，稱為最小勢能原理。 三鉸剛架受力如圖，求C端的約束力。例 題 88 虛位移原理 例題系統(tǒng)的自由度為2。主動力：例 題 88 虛位移原理

9、 例題解：此為靜定結(jié)構(gòu)，自由度為0， C端約束力有 ，去掉C端約束，計算這兩個廣義坐標(biāo)相應(yīng)的廣義力Q1和Q2：取一組廣義坐標(biāo):為AB繞A點定軸轉(zhuǎn)動的方位角為BC相對于AB繞B點定軸轉(zhuǎn)動的方位角例 題 88 虛位移原理 例題計算系統(tǒng)的虛功：(1)令此時BC相對于AB靜止，整個系統(tǒng)繞A定軸轉(zhuǎn)動：yxAB不動， BC以B點為基點定軸轉(zhuǎn)動：例 題 88 虛位移原理 例題yx（2）令系統(tǒng)的虛功為：( )( )yx例 題 88 虛位移原理 例題（3）廣義力平衡條件均質(zhì)桿OA、OB以光滑鉸鏈連接，OA桿O端與固定鉸支座鉸接。兩桿長分別為 、 ，重分別為 、 ，現(xiàn)在B端作用一水平力 ,試求平衡時角 、 各為多

10、少？例 題 98 虛位移原理 例題解：系統(tǒng)自由度為2，主動力：(1)廣義坐標(biāo)：計算廣義力例 題 98 虛位移原理 例題(2)令相當(dāng)于OAB為剛體繞O點轉(zhuǎn)動，O為基點。例 題 98 虛位移原理 例題(3)令相當(dāng)于剛體OA不動，剛體AB繞A點轉(zhuǎn)動，A為基點。例 題 98 虛位移原理 例題(4)平衡條件例 題 98 虛位移原理 例題由由地震儀的示意圖如圖。彈簧系數(shù)為k，AC水平時，兩彈簧具有初始壓力 。求BD處于鉛直位置，且為穩(wěn)定平衡時，k應(yīng)為多大？例 題 108 虛位移原理 例題解：單自由度系統(tǒng)取 為廣義坐標(biāo)，(即BD與鉛直軸夾角 )。拆除彈簧,用彈簧力代替。主動力：都為有勢力。設(shè)AC在水平位置時兩彈簧的初壓縮量例 題 108 虛位移原理 例題 的零勢點取為B，彈簧的零勢點取其自然狀態(tài)。系統(tǒng)的勢能：由顯然時有=0為平衡位置例 題 108 虛位移原理 例題當(dāng)時：穩(wěn)定平衡的條件為：例 題 108 虛位移原理 例題由 求導(dǎo)：例 題 118 虛位移原理 例題OrOrrOrO放在固定半圓柱體上的均質(zhì)半圓柱和均質(zhì)半圓柱薄殼（半