[電磁場與電磁波] 第三章 靜態(tài)場及其邊值問題的解

1、第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電

2、磁場：場量不隨時間變化，包括：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33.1 靜電場分析靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電

3、位函數(shù) 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版42. 邊界條件邊界條件0 DE微分形式：微分形式：DE本構關系：本構關系：1. 基本方程基本方程n12n12()()0SeeDDEEdd0SCqDSEl積分形式：積分形式：n12n12()0()0eeDDEE1n2n1t2t0SDDEE或或1n2n1t2tDDEE或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電

4、場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 121212E1Ene1122tantan 在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為0，則導體表面的，則導體表面的邊界條件為邊界條件為 nn0SeeDEnt0SDE或或 場矢量的折射關系場矢量的折射關系 導體表面的邊界條件導體表面的邊界條件D與E均垂直于導體表面第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁

5、波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版6即即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)標量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。電場的標量電位或簡稱電位。0E由由1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版72. 電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由同理

6、得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR1()( )d4lCrrlCR31()11( )d()()d4411()()d4VVVr RE rVrVRRrVR 31()RRR 線電荷的電位：線電荷的電位：Rrr31( )( )d4SSrrSCR第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版83. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有dlE 將將dd(dddz)dEllxyxyz 上式兩邊從點上式兩邊從點

7、P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。dd( )()QQPPElPQ P、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁

8、波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版9 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即()CC 選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點。限遠作電位參考點。 同一個問題只能有一個參考點。同一個

9、問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版10 例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中在球坐標系中

10、2101201 211( )()44qqrrrrrrr221222( /2)cos( /2)cosrrdrdrrdrd2cos2drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得rd1cos ,2drr223000cos( )444rqdrrrrrp ep 代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。qdp+q電偶極子電偶極子zodq2r1rr),(rP第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版11ddrrrEE21sinr

11、C將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度30(2cossin )4rqree11( )()sinrrrrr Eeee2cosrC20cos4pCr等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版12 在圓柱坐標系中，取在圓柱坐標系中，取 與與x 軸方向一

12、致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點若選擇點O為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標系中，取極軸與在球坐標系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z00 xEe E0E0ExzOPr 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均

13、勻電場的電位分布。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版13 解解 采用圓柱坐標系，令線電荷與采用圓柱坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。無關。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，則則xyzL-L( , , ) z zddlzRz22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz2

14、20220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)時，上式變?yōu)闊o窮

15、大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有一個任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參的點為電位參考點，則有考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版15在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的

16、微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0DEE 2 20標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版16由由 和和6. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設設P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為別為1和和2。當兩點間距離當兩點間距離l0時時 導體表面上電位的邊界條件：導體表面上電位的邊界條件：21120limd0PPlEln12()SeDD D12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2

17、P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0S2121nn常數(shù)，常數(shù)，Sn 2121Snn12第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。示。求兩導體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接

18、地導體平板之間，除在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版180110(),0SbaCDa

19、 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDCbDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，xb12( )( ),bb2100( )( )Sx bxxxx最后得最后得 處，處，0 x 1(0)0 處，處，x a2( )0a所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社

20、出版出版19電容器廣泛應用于電子設備的電路中：電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 3.1.3 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。第3章 電磁場與電磁波電磁

21、場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng) 儲存電儲存電荷能力的物理量。荷能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC1. 電容電容 孤立導體的電容孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（ q）的的 導體組成的電容器，其電容為導體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只

22、與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。E02U1qq第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版21 (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。 (5) 由由 ，求出導體的電荷，求出導體的電荷q ； (3) 由由 得到得到E ; (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差； (1) 假定兩導體上分別帶電荷假定兩導體上分別帶電荷+q 和和q ； 計算電容的方法一

23、計算電容的方法一： (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。Cq U21dU El (2) 計算兩導體間的電場強度計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的方法二計算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (4) 由由 得到得到 ;nSES (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ；E dSSqSCq U第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版22 解：解：設內(nèi)導體的設內(nèi)導體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外

24、導體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導體間的電壓同心導體間的電壓04qabCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當當 時，時，b 例例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a 、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容abo第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像

25、出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線，兩導線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。llDa011( )()2lx

26、E xexDx兩導線間的電位差兩導線間的電位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24 解解 設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導體半徑為同軸線內(nèi)導體

27、半徑為a ，外導體半徑為，外導體半徑為b ，內(nèi)外導體，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內(nèi)外導體間的電位差內(nèi)外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25 2. 部份電容部份電容在多導體系統(tǒng)中，任何兩個導體

28、間的電壓都要受到其余導體在多導體系統(tǒng)中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體 上的電荷的影響。因此，研究多導體系統(tǒng)時，必須把電容的上的電荷的影響。因此，研究多導體系統(tǒng)時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由在由N個導體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導體所帶的電荷個導體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導體所帶的電荷之間成線性關系，所以，各導體的電位為之間成線性關系，所以，各導體的電位為1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電位系數(shù)自電位系數(shù)()i jij 互電位系數(shù)互電位系數(shù)（1） 電位系數(shù)電位系數(shù)第3章 電磁場

29、與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版26 i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j個導體上的總電量為一個單位、而其余個導體上的總電量為一個單位、而其余 導體上的總電量都為零時，第導體上的總電量都為零時，第 i個導體上的電位，即個導體上的電位，即i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110(

30、 ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數(shù)的特點電位系數(shù)的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版27若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電容系數(shù)或自感應系數(shù)自電容系數(shù)或自感應系數(shù) ()i jij 互電容系數(shù)或互感應系數(shù)互電容系數(shù)或互感應系數(shù) （2） 電容系數(shù)電容系數(shù)第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科

31、技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版28 i j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j個導體上的個導體上的電位為一個單位電位為一個單位1v、而其余、而其余導體接地時，導體接地時，第第 i 個導體上的電量，即個導體上的電量，即 i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i

32、 0 、 ；0()ijij 電容系數(shù)的特點：電容系數(shù)的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版29將各導體的電量表示為將各導體的電量表示為 式中：式中：（3） 部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nijijiiij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 導體導體 i 與導體與導體 j 之間的部分電容之間的部分電容()ijijCij 導體導體 i 與地之間的部分電容與地之間的部分電容 1Ni ii jjC第3章 電磁場與電磁

33、波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版30 Ci i 在數(shù)值上等于全部導體的電位都為一個單位時，在數(shù)值上等于全部導體的電位都為一個單位時，第第 i 個導個導 體上的電量；體上的電量； Ci j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即具有對稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第在數(shù)值上等于第 j 個導體的電

34、位為一個單位、其余個導體的電位為一個單位、其余 導體都接地時，導體都接地時，第第 i 個導體上的電量；個導體上的電量；()ij 部分電容的特點部分電容的特點：第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31 在多導體系統(tǒng)中，把其中任意兩在多導體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設在個導體作為電容器的兩個電極，設在這兩個電極間加上電壓這兩個電極間加上電壓U，極板上所，極板上所帶電荷分別為帶電荷分別為 ，則比值，則比值 稱為稱為這兩個導體間的等效電容。這兩個導體間的等效電容

35、。q/q U（4）等效電容等效電容如圖所示，有三個部分電容如圖所示，有三個部分電容112212CCC、導線導線 1 和和 2 間的等效電容為間的等效電容為11221121122C CCCCC導線導線 1 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12222111222C CCCCC導線導線 2 和大地間的等效電容為和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行雙導線大地上空的平行雙導線第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版

36、出版32 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終任何形

37、式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍332022-2-26華僑大學信息學院 王華軍331. 兩個點電荷系統(tǒng)兩個點電荷系統(tǒng)W靜靜的計算的計算 q1與與q2相距相距r12 . 設相距設相距時系統(tǒng)能量為零時系統(tǒng)能量為零 q1固定固定, 移動移動q2 : q1 q2 12r1212122200 1244rqq qWq drrr 22122q Uq

38、U2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍342022-2-26華僑大學信息學院 王華軍34q2固定固定, 移動移動q1: 1221211200 1244rqq qWq drrr 11211qUqU1211221()2WWWqUq U12014q qr兩點電荷體系靜電能兩點電荷體系靜電能2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍352022-2-26華僑大學信息學院 王華軍35其它電荷在此產(chǎn)生的電位2.點電荷系的相互作用能 iiiijij iWqUqUq4 q3 q2 q1 12ijiij iWqU 011242ijiiij iiijq qqUr?iWW2005-1-25華僑大學信息學院 王

39、華軍362022-2-26華僑大學信息學院 王華軍362.點電荷系的相互作用能 將q1從無窮遠移到p1處，外力不做功將q2從無窮遠移到p2處，外力做功為q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 1222120 12221 1210 1244qWqqrqWqqr或21為q1在p2處產(chǎn)生的電位2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍372022-2-26華僑大學信息學院 王華軍372.點電荷系的相互作用能33 313 3231 13223WqqWqq或?qū)3從無窮遠移到p3處，外力做功為將q4從無窮遠移到p4處，外力做功為q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 444144244341

40、 142243 34WqqqWqqq或2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍382022-2-26華僑大學信息學院 王華軍382.點電荷系的相互作用能2213 313 324414424431 121 132231 142243 34eeWqqqqqqWqqqqqq或q4 q3 q2 q1 p1 p2p3 p4 顯然有112131422123243313234441424311121122eeNNiiiiiiWqqWqqqqU則+2有2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍392022-2-26華僑大學信息學院 王華軍393. 連續(xù)分布電荷的靜電能 1122eWUdqUdv2005-1-

41、25華僑大學信息學院 王華軍402022-2-26華僑大學信息學院 王華軍404.書上的證明過程書上的證明過程():():(0),01DE導體及介質(zhì)位置固定 定邊界介質(zhì)線性本構關系設最終穩(wěn)態(tài)、 初始以同一比例因子 增加到和則 從 變到。2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍412022-2-26華僑大學信息學院 王華軍41,edddddddWdd整個空間當時 在內(nèi)部電位為其得到電荷為能量增加為全過程 系統(tǒng)能量總量：同樣若為面分布電荷，系統(tǒng)能量：外力所外力所作的功作的功1012eWddd 全空全空 12esWdS 所有表面2005-1-25華僑大學信息學院 王華軍422022-2-26華僑大

42、學信息學院 王華軍42212121111122222eWqqqqUCU,.1122.iieisiiiisiWdSqqi若為多導體體系 每個導體的 為常量其中 為第 個導體的電荷量雙導體系統(tǒng)被充電后導體1帶電荷q，導體2帶電荷q，電位為1和2。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版435. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。e12wD E電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD

43、E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版44由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當

44、閉合面內(nèi)，當閉合面S 無限擴大時，則有無限擴大時，則有211()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV()ddVSD VDS11dd22SVDSE D V 21 11d(d )()0SSDSSR RR第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版45 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。2226222502240000

45、14(4d4d )29915aararrrrar10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 e1d2VWD E V 根據(jù)高斯定理求得電場強度根據(jù)高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故故1222e0102111ddd222VVVWD E VEVEV第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版463112200220dddd33()()23aarararaErErrrrrara 方法二方法二：利用利用 計算計算 e1d2VWV 先求出電位分布先求出電

46、位分布 故故222225e1000114d()4d22 2315aVrWVarra第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版47 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。計算靜電力。

47、 虛位移法：虛位移法：假設第假設第i 個帶電個帶電導體在電場力導體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關系為能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。導體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力第3章 電磁場與電磁波電磁場與

48、電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版481. 各帶電導體的電位不變各帶電導體的電位不變 此時，各帶電導體應分別與外電壓源連接。當導體相對位置此時，各帶電導體應分別與外電壓源連接。當導體相對位置改變時，每個電源要向?qū)w輸送電荷而做功。外電壓源向系統(tǒng)提改變時，每個電源要向?qū)w輸送電荷而做功。外電壓源向系統(tǒng)提供的能量供的能量1ddNSiiiWqe11dd2NiiiWq系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不變不變靜電能量在移動方向上的方向?qū)?shù)第3章 電磁場與電

49、磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版49此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0。假設某一。假設某一導體在靜電力作用下發(fā)生位移，靜電能量發(fā)生改變，變化量為導體在靜電力作用下發(fā)生位移，靜電能量發(fā)生改變，變化量為dWe，則有則有2. 各帶電導體的電荷不變各帶電導體的電荷不變eddiiF gW 靜電力為靜電能量在移動方向上的負變化率靜電力為靜電能量在移動方向上的負變化率式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。號表示電場力做功是靠減

50、少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。eiiWFg q不變不變第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版500()lx bbxCdd所以電容器內(nèi)的電場能量為所以電容器內(nèi)的電場能量為220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不變由由 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為可求得介質(zhì)片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板

51、電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d ，用一塊介，用一塊介質(zhì)片（寬度為質(zhì)片（寬度為b、厚度為、厚度為d ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設極板間外加電壓為設極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應，忽略邊緣效應，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。由于由于0，所以介質(zhì)，所以介質(zhì)片所受到的力有將其片所受到的力有將其拉進電容器的趨勢拉進電容器的趨勢第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5122e022

52、 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式此題也可用式 來計算來計算eiiWFg q不變不變設極板上保持總電荷設極板上保持總電荷q 不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版523.2 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2

53、 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導漏電導第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版53 由由J J E E 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定

54、電場。 恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是無旋場，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社

55、& 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版54 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度和電場強度JEd0d0SCJSEl00JE1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：( )rJ( )E r 線性各向同性導電媒質(zhì)的本構關系線性各向同性導電媒質(zhì)的本構關系()0EE J 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0E0E E0J由由()0 20若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技

56、大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版552. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件d0CEld0SJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Enen12()0e JJn12()0e EE 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件1n2nJJ即即1t2tEE即即 導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度1212n12n12n1212()()()SeeJDDJJ場矢量的折射關系場矢量的折射關系1122tantan第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電

57、子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版56 電位的邊界條件電位的邊界條件121212,nn 恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；而導體表面不是等位面； 說明說明：b11、a第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版57媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2

58、媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為此時，良導體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導體，即導體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版583.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定

59、電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版

60、社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版59恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程DE,EJE20201t2t1n2n EEDD1t2t1n2n EEJJ靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 0d0,d0SCJSEl0,0JE,E0,0DE121212, nn121212, nn本構關系本構關系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應物理量對應物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GCd0,d0SCDSEl第3章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學電子科技大學編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 &