大學(xué)物理(上)課后習(xí)題答案

1、第1章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) P211.8 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：=3+5, =2+3-4.式中以 s計(jì)，,以m計(jì)。以時(shí)間為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；求出=1 s 時(shí)刻和2s 時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；計(jì)算0 s時(shí)刻到4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度；求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算4 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(5)計(jì)算0s 到4s 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算4s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式)。解：（1） s,s時(shí)， ； s時(shí)，；s時(shí)， ，則： (5) s時(shí)，；s時(shí)， (6) 這說明該

2、點(diǎn)只有方向的加速度，且為恒量。1.9 質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為，a的單位為m/s2，x的單位為m。質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。解：由得：兩邊積分得： 1.11 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m 的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=2+3，式中以弧度計(jì)，以秒計(jì)，求： 2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，其角位移是多少?解： 時(shí)， 當(dāng)加速度方向與半徑成角時(shí)，有：即：，亦即，解得：則角位移為：1.13 一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.4m的圓形軌道上自靜止開始作勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度為=0.2 rad/s2，求2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度

3、、切向加速度和合加速度。解：時(shí)， 則 與切向夾角第2章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2.10 質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為，證明：時(shí)刻的速度為； 由0到的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為()1-；停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為；當(dāng)時(shí)速度減至的，式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。解：， 由得： 分離變量得：，即，因此有：， 由得：，兩邊積分得： 質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t，故有： 時(shí)，其速度為：，即速度減至的.2.13 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s， 求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物體的沖量。 為了使這力的沖量為200 N·s，該力應(yīng)在這物體上作

4、用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度m/s的物體,回答這兩個(gè)問題。解： 若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是：, 同理有：,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動(dòng)量定理。 同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即：亦即：， 解得，(舍去)2.17 設(shè)。 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，求所作的功。 如果質(zhì)點(diǎn)到處時(shí)需0.6s，試求平均功率。 如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg，試求動(dòng)能的變化。解： 由題知，為恒力，且 由動(dòng)能定理，2.20 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，

5、的下端又掛一重物，的質(zhì)量為，如圖。求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比。解： 彈簧及重物受力如題2.20圖所示平衡時(shí)，有： ，又 ，所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為：彈性勢能之比為：第3章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)3.7 一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于()處，速度為, 質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿負(fù)方向的力的作用，求相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩。解： 由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為：所以，質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動(dòng)量為：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為：3.8 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽最近距離為8.75×1010m 時(shí)的速率是5.46×104m/s，它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是

6、9.08×102 m/s,這時(shí)它離太陽的距離是多少?(太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。)解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力，即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有： 3.9 物體質(zhì)量為3kg，=0時(shí)位于,(m/s)，如一恒力作用在物體上,求3秒后， 物體動(dòng)量的變化； 相對軸角動(dòng)量的變化。 解： 解法(一) 由得：即有：,；即有：, 解法(二) ， 3.10 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物。小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為時(shí)重物達(dá)到平衡。今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題3.10圖。試問這時(shí)小球作勻

7、速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和半徑為多少?解：只掛重物時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)，向心力為，即： 掛上后，則有： 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒。即： 聯(lián)立、得：， ， 3.11 飛輪的質(zhì)量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900 rev/min?，F(xiàn)利用一制動(dòng)的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力，可使飛輪減速。已知閘桿的尺寸如題3.11圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算。試求： 設(shè)100 N，問可使飛輪在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)? 如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解： 先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b

8、)。圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力。桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有：，對飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有，式中負(fù)號(hào)表示與角速度方向相反。 ， 又 ， 以等代入上式，得：由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為：這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為：可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)。，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為：3.13 計(jì)算題3.13圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為M，半徑為r，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)m1=50kg，m2=

9、200 kg，M=15 kg，r=0.1 m解：分別以m1、m2滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)所示對m1、m2運(yùn)用牛頓定律，有： ；對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有： 又 由以上4個(gè)方程解得：題3.13(a)圖 題3.13(b)圖3.14 如題3.14圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開始擺下。求： 初始時(shí)刻的角加速度； 桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.解： 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：， 由機(jī)械能守恒定律有： 3.15 如題3.15圖所示，質(zhì)量為，長為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞。

10、相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度30°處。設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速的值；相撞時(shí)小球受到多大的沖量?解： 設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)?，按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式： 上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機(jī)械能守恒定律可列式： 由式得：由式得： 由式得： 所以：求得：相碰時(shí)小球受到的沖量為：由式求得：負(fù)號(hào)說明所受沖量的方向與初速度方向相反。3.17 一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。另一質(zhì)

11、量為的子彈以速度射入輪緣(如題3.17圖所示方向)。開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值?用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)能和初始動(dòng)能之比。解： 射入的過程對軸的角動(dòng)量守恒： 3.18 彈簧、定滑輪和物體的連接如題3.18圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 N/m；定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg·m2，半徑為0.30m ，問當(dāng)6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時(shí)，它的速率為多大? 假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸長。解：以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，則有：又 ，故有：第5章 機(jī)械振動(dòng)5.7 質(zhì)量為

12、的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動(dòng)，求： 振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值； 最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢能，在哪些位置上動(dòng)能與勢能相等? 與兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則知：又 ， ， 當(dāng)時(shí)，有，即： 5.8 一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示。如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：； 過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；過處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)； 過處向正向運(yùn)動(dòng)。試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程。解：因?yàn)閷⒁陨铣踔禇l件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相。故有：， ， 5.9 一質(zhì)量為的物體作諧振動(dòng)，振幅為，周期為，當(dāng)時(shí)位移為。

13、求：時(shí)，物體所在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需的最短時(shí)間；在處物體的總能量。解：由題已知， 又，時(shí)，故振動(dòng)方程為： 將代入得：方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿軸負(fù)向。 由題知，時(shí)，；時(shí)， 由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總能量均為：5.10 有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長為。用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開后，給予向上的初速度，求振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式。解：由題知而時(shí)， ( 設(shè)向上為正)又 5.11 題5.11圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程。解：由題5.11圖(a)，時(shí)，即：，故 由題5.11圖(b)時(shí)

14、，時(shí)，又， 故5.12 一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為的盤子。現(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動(dòng)。 此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同? 此時(shí)的振動(dòng)振幅多大? 取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動(dòng)方程。解： 空盤的振動(dòng)周期為，落下重物后振動(dòng)周期為，即增大。按所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，時(shí)，則。碰撞時(shí)，以為一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即：則有：，于是（3） (第三象限)，所以振動(dòng)方程為5.13 有一單擺，擺長，擺球質(zhì)量，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí)，若給小球一水平向右的沖量，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)

15、，求振動(dòng)的初位相和角振幅，并寫出小球的振動(dòng)方程。解：由動(dòng)量定理，有： 按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并設(shè)向右為軸正向，則知時(shí)， 0， 又 故其角振幅：小球的振動(dòng)方程為：5.14 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)的振幅為，位相與第一振動(dòng)/6的位相差為，已知第一振動(dòng)的振幅為，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振動(dòng)的位相差。解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量題5.14圖。由圖知， 設(shè)角，則：即：即，這說明，與間夾角為，即二振動(dòng)的位相差為。5.16 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為：試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法和振動(dòng)合成法求合振動(dòng)的振動(dòng)幅和初相，并寫出諧振方程。解： ， 其振動(dòng)方程為：(作圖法略)第6章

16、機(jī)械波6.8 已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡諧波，波動(dòng)方程為=cos()，其中，為正值恒量。求： 波的振幅、波速、頻率、周期與波長； 寫出傳播方向上距離波源為處一點(diǎn)的振動(dòng)方程； 任一時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差。解： 已知平面簡諧波的波動(dòng)方程： ()將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：比較，可知： 波振幅為，頻率，波長，波速， 波動(dòng)周期。 將代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程： 因任一時(shí)刻同一波線上兩點(diǎn)之間的位相差為：將，及代入上式，即得：。6.9 沿繩子傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程為=0.05cos(10)，式中,以米計(jì)，以秒計(jì)。求： 繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度； 求=0.2m

17、處質(zhì)點(diǎn)在=1s時(shí)的位相，它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)?解： 將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式相比，得：振幅，圓頻率，波長，波速。 繩上各點(diǎn)的最大振速，最大加速度分別為： m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為：故,時(shí)的位相就是原點(diǎn)()，在時(shí)的位相，即：。設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在s時(shí)刻到達(dá)點(diǎn)，則，6.11 一列平面余弦波沿軸正向傳播，波速為5 m/s，波長為2m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如題6.11圖所示。 寫出波動(dòng)方程；作出=0時(shí)的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線。解： 由題6.11(a)圖知， m，且時(shí)，又，則取，則波動(dòng)方程為： 時(shí)的波形如題6.11(b)圖

18、m代入波動(dòng)方程，得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：如題6.11(c)圖所示。6.12 如題6.12圖所示，已知=0時(shí)和=0.5s時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b)，周期T>0.5s,波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求： 波動(dòng)方程；點(diǎn)的振動(dòng)方程。解： 由題6.12圖可知，又，時(shí)，而，故波動(dòng)方程為： 將代入上式，即得點(diǎn)振動(dòng)方程為： 6.13 一列機(jī)械波沿軸正向傳播，=0時(shí)的波形如題6.13圖所示，已知波速為10 m/s1，波長為2m，求：波動(dòng)方程； 點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線； 點(diǎn)的坐標(biāo)； 點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間。解：由題6.13圖可知，時(shí)，由題知，則， 波動(dòng)方程為： 由圖知，時(shí)， (點(diǎn)的位

19、相應(yīng)落后于點(diǎn)，故取負(fù)值)點(diǎn)振動(dòng)方程為 由解得： 根據(jù)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題6.13圖(a)，則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角所屬最短時(shí)間為：6.14 如題6.14圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為= cos()。 分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程； 寫出距P點(diǎn)距離為b的Q點(diǎn)的振動(dòng)方程。解： 如題6.14圖(a)，則波動(dòng)方程為：如圖(b)，則波動(dòng)方程為： 如題6.14圖(a)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為：如題6.14圖(b)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為：6.17 一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為18.0×10-3J/(m2·s)，頻率為300

20、 Hz，波速為300m/s，求波的平均能量密度和最大能量密度.解： , , 6.18 如題6.18圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求： 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度； 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度解：（1）在外側(cè)，距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差為：， （2）在外側(cè).距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差：， 6.20 一平面簡諧波沿軸正向傳播，如題6.20圖所示。已知振幅為，頻率為,波速為。 若=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng)，寫出此波的波動(dòng)方程； 若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動(dòng)方程，并求軸上 因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。 解： 時(shí)

21、，故波動(dòng)方程為：m 入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為：若仍以點(diǎn)為原點(diǎn)，則反射波在點(diǎn)處的位相為，因只考慮以內(nèi)的位相角，反射波在點(diǎn)的位相為，故反射波的波動(dòng)方程為：此時(shí)駐波方程為：故波節(jié)位置為：故 ()根據(jù)題意，只能取，即6.23 兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為=0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)。 試證明繩子將作駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)、波腹的位置； 波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解： 它們的合成波為：出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動(dòng)。

22、令，則，k=0,±1，±2此即波腹的位置；令,則，此即波節(jié)的位置。波腹處振幅最大，即為m； 處的振幅由下式?jīng)Q定，即：第7章 氣體動(dòng)理論基礎(chǔ) P2187.20 設(shè)有N個(gè)粒子的系統(tǒng)，其速率分布如題7.20圖所示。求 分布函數(shù)f(u)的表達(dá)式； a與u0之間的關(guān)系； 速度在1.5u0到2.0u0之間的粒子數(shù)。 粒子的平均速率。題7.20圖Nf(u)O2u0uu0a(5) 0.5u0到u0區(qū)間內(nèi)粒子平均速率。解：從圖上可得分布函數(shù)表達(dá)式：， f(u)滿足歸一化條件，但這里縱坐標(biāo)是N f(u)而不是f(u),故曲線下的總面積為N. 由歸一化條件：，可得 可通過面積計(jì)算N個(gè)粒子平均速率

23、：(5) 0.5u0到u0區(qū)間內(nèi)粒子數(shù)：0.5u0到u0區(qū)間內(nèi)粒子平均速率：7.21 試計(jì)算理想氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于up-up/100與up+up/100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。解：令，則麥克斯韋速率分布函數(shù)可表示為：因?yàn)閡=1,Du=0.02 由，得 7.22 容器中儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為P=0.1MPa(即1atm)溫度為27求： 單位體積中的分子數(shù)n； 氧分子的質(zhì)量m； 氣體密度； 分子間的平均距離；(5) 平均速率；(6)方根速率；(7)分子的平均動(dòng)能。解： 由氣體狀態(tài)方程得：m-3 氧分子的質(zhì)量： Kg 由氣體狀態(tài)方程，得： 分子間的平均距離可近似計(jì)算 m(5) 平均速率

24、：(6) 方均根速率：(7) 氧分子的平均動(dòng)能：J7.23 1mol氫氣，在溫度為27時(shí)，它的平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和內(nèi)能各是多少?解：理想氣體分子的能量：平動(dòng)動(dòng)能 t=3 J轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 r=2 J內(nèi)能 i=5 J7.24 一瓶氧氣，一瓶氫氣，等壓、等溫，氧氣體積是氫氣的2倍，求氧氣和氫氣分子數(shù)密度之比；氧分子和氫分子的平均速率之比。解： 因?yàn)椋瑒t： 由平均速率公式，得：7-25 一真空管的真空度約為1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，試 求在27時(shí)單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程(設(shè)分子的有效直徑d3×10-10 m)。解：由氣體狀態(tài)方程得：

25、由平均自由程公式得： m7.26 求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率； 若溫度不變，氣壓降到1.33×10-4Pa,平均碰撞頻率又為多少(設(shè)分子有效直徑為10-10m)?解： 碰撞頻率公式對于理想氣體有，即：，所以有：而氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率s-1氣壓下降后的平均碰撞頻率 s-17.27 1mol氧氣從初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過等容升壓過程，壓強(qiáng)增大為原來的2倍，然后又經(jīng)過等溫膨脹過程，體積增大為原來的2倍，求末態(tài)與初態(tài)之間氣體分子方均根速率之比； 分子平均自由程之比。解： 由氣體狀態(tài)方程： 及 方均根速率公式，得： 對于理想氣體，即 所以有：，即：第8章 熱力學(xué)基礎(chǔ)8.11 .如題8.1

26、1圖所示，一系統(tǒng)由狀態(tài)a沿acb到達(dá)狀態(tài)b的過程中，有350 J熱量傳入系統(tǒng)，而系統(tǒng)做功126 J。 若沿adb時(shí)，系統(tǒng)做功42 J，問有多少熱量傳入系統(tǒng)?OVpa題8.11圖bcd 若系統(tǒng)由狀態(tài)b沿曲線ba返回狀態(tài)a時(shí)，外界對系統(tǒng)做功為84 J，試問系統(tǒng)是吸熱還是放熱?熱量傳遞是多少?解：由過程可求出態(tài)和態(tài)的內(nèi)能之差：過程，系統(tǒng)作功 系統(tǒng)吸收熱量過程，外界對系統(tǒng)作功 系統(tǒng)放熱8.12 1mol單原子理想氣體從300K加熱到350K，問在下列兩過程中吸收了多少熱量?增加了多少內(nèi)能?對外做了多少功? 容積保持不變； 壓力保持不變。 解： 等體過程對外作功 ， 等壓過程，吸熱：內(nèi)能增加： 對外作功

27、：8.13 一個(gè)絕熱容器中盛有摩爾質(zhì)量為Mmol，比熱容比為的理想氣體，整個(gè)容器以速度u運(yùn)動(dòng)，若容器突然停止運(yùn)動(dòng)，求氣體溫度的升高量(設(shè)氣體分子的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能)。解：整個(gè)氣體有序運(yùn)動(dòng)的能量為，轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w分子無序運(yùn)動(dòng)使得內(nèi)能增加，溫度變化。，8.14 0.01m3氮?dú)庠跍囟葹?00K時(shí)，由0.1MPa壓縮到10MPa。試分別求氮?dú)饨?jīng)等溫及絕熱壓縮后的 體積； 溫度； 各過程對外所做的功。解： 等溫壓縮過程中，T=300K，且，解得：m3 , 絕熱壓縮：，由絕熱方程 ，得：由絕熱方程 ，得由熱力學(xué)第一定律及得：，又，所以8.15 理想氣體由初狀態(tài)(P1，V2)經(jīng)絕熱膨脹至末狀態(tài)(P2，V2

28、)。試證過程中氣體所做的功為：式中為氣體的比熱容比。證明： 由絕熱方程得故，TOab題8.16圖T0V02V0V8.16 1 mol的理想氣體的T-V圖如題8.16圖所示，ab為直線，延長線通過原點(diǎn)O。求ab過程氣體對外做的功。解：設(shè)，由圖可求得直線的斜率k為：，得過程方程由狀態(tài)方程得：=過程氣體對外作功：8.17 某理想氣體的過程方程為Vp1/2=a，a為常數(shù)，氣體從V1膨脹到V2。求其所做的功。解：氣體做功：pOV絕熱題圖8.18V2V1p1p28.18 設(shè)有一以理想氣體為工質(zhì)的熱機(jī)循環(huán)，如題8.18圖所示。試證其循環(huán)效率為：解：等體過程：，吸熱， 絕熱過程：等壓壓縮過程：，放熱 ，則，循

29、環(huán)效率為：8.19 一卡諾熱機(jī)在1000K和300K的兩熱源之間工作，試計(jì)算 熱機(jī)效率； 若低溫?zé)嵩床蛔儯篃釞C(jī)效率提高到80%，則高溫?zé)嵩礈囟刃杼岣叨嗌? 若高溫?zé)嵩床蛔?，要使熱機(jī)效率提高到80%，則低溫?zé)嵩礈囟刃杞档投嗌?解： 卡諾熱機(jī)效率 低溫?zé)嵩床蛔儠r(shí)，即，解得：，則： 即高溫?zé)嵩礈囟忍岣?00K。 高溫?zé)嵩床蛔儠r(shí)，即解得：，則：即低溫?zé)嵩礈囟冉档?00K。pOV題圖8.20ABCD8.20 如題8.20圖所示是一理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程，其中AB和CD是等壓過程，BC和DA為絕熱過程，已知B點(diǎn)和C點(diǎn)的溫度分別為T2和T3。求此循環(huán)效率。這是卡諾循環(huán)嗎? 解：熱機(jī)效率等壓過程，吸熱，

30、即有：等壓過程，放熱，即有： 絕熱過程，其過程方程為：絕熱過程，其過程方程為：又，所以得： 不是卡諾循環(huán)，因?yàn)椴皇枪ぷ髟趦蓚€(gè)恒定的熱源之間。8.21 用一卡諾循環(huán)的致冷機(jī)從7的熱源中提取1000J的熱量傳向27的熱源，需要多少功?從-173向27呢? 一可逆的卡諾機(jī)，作熱機(jī)使用時(shí)，如果工作的兩熱源的溫度差愈大，則對于做功就愈有利。當(dāng)作致冷機(jī)使用時(shí)，如果兩熱源的溫度差愈大，對于致冷是否也愈有利?為什么?解：卡諾循環(huán)的致冷機(jī)時(shí)，需作功：時(shí)，需作功：從上面計(jì)算可看到，當(dāng)高溫?zé)嵩礈囟纫欢〞r(shí)，低溫?zé)嵩礈囟仍降?，溫度差愈大，提取同樣的熱量，則所需作功也越多，對致冷是不利的。第9章 靜電場9.7 長=15.

31、0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度=5.0x10-9 C/m的正電荷。試求： 在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距=5.0cm處點(diǎn)的場強(qiáng)； 在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距=5.0cm 處點(diǎn)的場強(qiáng)。解： 如題9.7圖所示，在帶電直線上取線元dx，其上電量dq在P點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為：用，, 代入得： 方向水平向右 同理， 方向如題9.7圖所示由于對稱性，即只有分量， 以,代入得：，方向沿軸正向9.8 一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處O點(diǎn)的場強(qiáng)。解：如9.8圖在圓上取，它在點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為：，方向沿半徑向外，則： 積分得： ，方向沿軸正向。9.9 均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為，總

32、電量為。求這正方形軸線上離中心為處的場強(qiáng)；證明：在處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)。解：如9.9圖示，正方形一條邊上電荷在點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)方向如圖，大小為： ， 在垂直于平面上的分量 由于對稱性，點(diǎn)場強(qiáng)沿方向，大小為： , 方向沿9.10 點(diǎn)電荷位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場中穿過立方體的一個(gè)面的電通量； 如果該場源點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少? 解： 立方體六個(gè)面，當(dāng)在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等，由高斯定理得：各面電通量。 電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長的立方體，使處于邊長的立方體中心，則邊長的正方形上電通量對于邊長的正方形，如果它不包含所

33、在的頂點(diǎn)，則，如果它包含所在頂點(diǎn)則。9.11 均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2×C/m3求距球心5cm，8cm ,12cm 各點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：高斯定理,時(shí)，,時(shí)， ， 方向沿半徑向外。cm時(shí), 沿半徑向外.9.12 半徑為和( )的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和-,試求：； ； 處各點(diǎn)的場強(qiáng)。解：取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積，則： 時(shí)， ，由高斯定理得：； 時(shí)，由高斯定理得： 沿徑向向外； 時(shí)，由高斯定理得：9.13 兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為和，試求空間各處場強(qiáng)。解：如題9.13圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為與

34、，兩面間， 面外，面外， ：垂直于兩平面由面指為面。9.14 半徑為的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為的小球體，如題9.14圖所示。試求：兩球心與點(diǎn)的場強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的。解：將此帶電體看作帶正電的均勻球與帶電的均勻小球的組合，見題9.14圖(a)。 球在點(diǎn)產(chǎn)生電場，球在點(diǎn)產(chǎn)生電場 點(diǎn)電場； 在產(chǎn)生電場球在產(chǎn)生電場 點(diǎn)電場 題9.14圖(a) 題9.14圖(b) 設(shè)空腔任一點(diǎn)相對的位矢為，相對點(diǎn)位矢為(如題8-13(b)圖)，則：，, 腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的。9.15 一電偶極子由=1.0×10-6C的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm，把這電

35、偶極子放在1.0×105 N/C的外電場中，求外電場作用于電偶極子上的最大力矩。解： 電偶極子在外場中受力矩： 9.16 兩點(diǎn)電荷=1.5×10-8C，=3.0×10-8C，相距=42cm，要把它們之間的距離變?yōu)?25cm，需作多少功?解： 外力需作的功 9.17 如題9.17圖所示，在，兩點(diǎn)處放有電量分別為+,-的點(diǎn)電荷，間距離為2，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷從點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場力作的功。解： 9.18 如題9.18圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R。試求環(huán)中心O點(diǎn)處的場強(qiáng)和電勢。解： 取dl=Rd,則

36、dq=Rd在O點(diǎn)產(chǎn)生如圖，由于電荷均勻分布與對稱性，AB和CD段電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)互相抵消，由于對稱性， O點(diǎn)場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向。 令，電荷在點(diǎn)產(chǎn)生電勢為： ；同理產(chǎn)生的：；半圓環(huán)產(chǎn)生的： 9.19 一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2×104 m/s的勻速率作圓周運(yùn)動(dòng)。求帶電直線上的線電荷密度。(電子質(zhì)量=9.1×10-31kg，電子電量=1.60×10-19C)解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為，在電子軌道處場強(qiáng)：電子受力大?。海?解得：9.20 空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為=30 kV/cm，超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電。今有一高壓平行板電容器，極板間距離為=0

37、.5cm，求此電容器可承受的最高電壓。解： 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場：9.21 證明：對于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題9.21圖)來說，相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同。證：如題9.21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體、的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為， 則取與平面垂直且底面分別在、內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有： ，說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相反； 在內(nèi)部任取一點(diǎn)，則其場強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場強(qiáng)疊加而成的，即：又 ， 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同。9.22 三個(gè)平行金屬板A，B和

38、C的面積都是200cm2，A和B相距4.0mm，A與C相距2.0 mm。B，C都接地，如題9.22圖所示。如果使板帶正電3.0×10-7C，略去邊緣效應(yīng)，問B板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少?以地的電勢為零，則板的電勢是多少?解：如題9.22圖示，令A(yù)板左側(cè)面電荷面密度為1，右側(cè)面電荷面密度為 ，即： ，又+，解得：， ， 9.23 兩個(gè)半徑分別為和()的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+，試計(jì)算： 外球殼上的電荷分布及電勢大?。?先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢；* 再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量。 解： 內(nèi)球帶電；球殼內(nèi)表面帶電則為,外表面帶電為，且均勻分布，其電勢 外殼接