導(dǎo)數(shù)討論含參單調(diào)性習(xí)題(含詳細(xì)講解答案)

1、. .1設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；（3）是否存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由2已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由3已知函數(shù)（其中，）.（1）當(dāng)時(shí)，若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.4已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：無論實(shí)

2、數(shù)取什么值都有.5已知函數(shù)（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).（1）求的值；（2）若在及所在的取值范圍上恒成立，求的取值范圍；（3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).6已知函數(shù)，其中.（1）若和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值.7已知函數(shù).（1）如是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值并討論的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（注：已知常數(shù)滿足）.8已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，；（2）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)9已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.（1）設(shè),當(dāng)時(shí), 求證：在上單調(diào)遞增；（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.10已知函數(shù)（1）若，

3、求函數(shù)在區(qū)間的最小值；（2）若討論函數(shù)在的單調(diào)性；（3）若對(duì)于任意的求的取值范圍。 word完美格式. .參考答案1（1）;（2）；（3）【解析】試題分析：(1)本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率；當(dāng)時(shí)，可知在處的切線斜率，同理可求得，然后再根據(jù)函數(shù)與在處的切線互相垂直，得，即可求出結(jié)果(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，由題意，在內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與x不相切，即的最小值為負(fù)，由此可得，進(jìn)而得到，由此即可求出結(jié)果. (3)令，可得，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)根，不妨設(shè)，可得，(*)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，將(*)式代入上式，得使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立

4、，即要求恒成立，然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，在處的切線斜率，由，得，(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，由題意，得的最小值為負(fù)，(注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到)，；(3)令，其中，則，則，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)根，不妨設(shè)，即，可得，(*)則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，將(*)式代入上式，得根據(jù)題意恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，代入(*)式，得，即，又，存在滿足條件的實(shí)數(shù)，且點(diǎn)睛:對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法, 一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函

5、數(shù)，利用恒成立；恒成立，即可求出參數(shù)范圍.2（1）當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） 證明見解析；（3）一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析.【解析】試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以是增函數(shù)，得證；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，需要研究函數(shù)的增減性及極值端點(diǎn)，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時(shí)，且，故恰有兩個(gè)零點(diǎn)，從而得到的增減性，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而在兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，再證明極大值，所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，只能有一個(gè)零點(diǎn)試題解析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)

6、得，當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，解可得，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2） ，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，；（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，是先減再增的函數(shù)，其最小值為，而此時(shí)，且，故恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在兩點(diǎn)分別取到極大值和極小值，且，由知，但當(dāng)時(shí)，則，不合題意，所以，故函數(shù)的圖象與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)3（1）；（2）存在，且.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的定義域是，得到 ，分 和兩種情況討論討論二次函數(shù)恒成立的問題，得到的取值范圍；（2） ，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，若能滿足當(dāng)時(shí)，當(dāng)滿足函數(shù)的最小值大于0，即得到 的取值范圍.試題解析：（1）由題 當(dāng)

7、時(shí)，知，則是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，只有對(duì)于，不等式恒成立，才能使為單調(diào)函數(shù)，只需，解之得或，此時(shí).綜上所述，的取值范圍是 （2），其中.（）當(dāng)時(shí)，于是在上為減函數(shù)，則在上也為減函數(shù).知恒成立，不合題意，舍去. （）當(dāng)時(shí)，由得，列表得0最大值若，即，則在上單調(diào)遞減.知，而，于是恒成立，不合題意，舍去.若，即.則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，要使在恒有恒成立，則必有則，所以 由于，則，所以.綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若 就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若 恒成立 ；

8、（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為 .4（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）見解析.【解析】試題分析: （1）先求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)在定義域上零點(diǎn)情況，本題實(shí)質(zhì)研究在上零點(diǎn)情況：當(dāng)方程無根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，比較兩根與定義區(qū)間之間關(guān)系，再確定單調(diào)區(qū)間，（2）先由（1）知，且兩個(gè)極值點(diǎn)滿足.再代入化簡(jiǎn)得,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性證明不等式.試題解析:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，記，判別式.當(dāng)即時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記，顯然（）若，圖象的對(duì)稱軸，.兩根在區(qū)間上，可知

9、當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上遞增.（）若，則圖象的對(duì)稱軸，.，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)或時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，又，.記，則，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以.5（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再根據(jù)恒等式定理可得.（2）由函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)恒非正，即最小值，而在恒成立等價(jià)于，從而有對(duì)恒成立，再根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得只需端點(diǎn)處函數(shù)值非負(fù)即可，解不等式組可得的取值范圍（3）研究方程根的個(gè)數(shù)，只需

10、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，再根據(jù)二次函數(shù)上下平移可得根的個(gè)數(shù)變化規(guī)律試題解析：（1）是奇函數(shù)，則恒成立，即，.（2）由（1）知，又在上單調(diào)遞減，且對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，在上恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，而恒成立，.（3）由（1）知，方程為，令，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，而，函數(shù)、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，方程無解；當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不

11、等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.6（1）的最小值為.（2）.【解析】試題分析：（1）由在上恒成立在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)工具得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性的取值范圍是；（2）由 ，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)工具得，再根據(jù)單調(diào)性設(shè)在上遞減的最小值為.試題解析： （1），在上恒成立，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得.的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，解得，綜上，的取值范圍是.（2），由得到，設(shè)，當(dāng)時(shí)

12、，；當(dāng)時(shí)，.從而在上遞減，在上遞增.當(dāng)時(shí)，即，在上，遞減；在上，遞增.，設(shè)，在上遞減.；的最小值為.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的最值；3、函數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)與不等式，涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問題.在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等式的恒成立問題.常規(guī)的解決方法是首先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值來解決，當(dāng)然要注意分類討論思想的應(yīng)用.7（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】試題分析

13、：（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，得可得得值，由導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系得其單調(diào)區(qū)間；（2）由題意知，設(shè)，知得單調(diào)遞增，即是在上的唯一零點(diǎn)，得，使得即可，結(jié)合，得參數(shù)范圍.試題解析：（1）是函數(shù)的極值點(diǎn)，.，.令，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)，；當(dāng)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取極小值.（2），設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.是函數(shù)的極值點(diǎn)，是在上的唯一零點(diǎn)，.，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值.恒成立，.，.考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）恒成立問題.【方法點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，以及對(duì)于不等式恒成立問題

14、，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為最值恒成立.考查函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，也是常用的一種手段.通過分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或即可，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合單調(diào)性求出或即得解.8（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)；有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【解析】試題分析：（1）首先將代入函數(shù)解析式，然后令，再通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性，從而使問題得證；（2）首先求得，然后求得時(shí)的值，再對(duì)分類討論，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，令（），則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2），令，得，（i）當(dāng)

15、時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，時(shí)，故函數(shù)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，且，由知，當(dāng)，此時(shí)，；同理可得，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為故，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；又，構(gòu)造函數(shù)，則，易知，對(duì)，函數(shù)，為減函數(shù)，由，知，構(gòu)造函數(shù)（），則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，則，當(dāng)時(shí)，而由知又函數(shù)在上遞增，由和函數(shù)零點(diǎn)定理知，使得綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；3、函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【技巧點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)

16、遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)把函數(shù)的定義域區(qū)間進(jìn)行分段，在各個(gè)分段上研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值點(diǎn)，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)情況進(jìn)行分類的基本原則9(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.試題解析：（1）.關(guān)于單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞增.（2）設(shè),則.設(shè),則在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),. 即,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增. 當(dāng),時(shí), 即.當(dāng)時(shí), 由得關(guān)于單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減. 設(shè),則,即.當(dāng)

17、時(shí), 不成立.綜上, 若的取值范圍.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等方面的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)的兩個(gè)函數(shù)解析式為背景,考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力.本題的第一問是推證函數(shù)在上單調(diào)遞增；第二問中借助導(dǎo)數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求在不等式恒成立的前提下實(shí)數(shù)的取值范圍.求解借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,運(yùn)用分類整合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分類推證,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍,從而使得問題簡(jiǎn)捷巧妙獲解.10（1）（2）時(shí)，增區(qū)間，時(shí)，減區(qū)間，增區(qū)間（3）【解析】試題分析：（1）先求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在-1，1的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值；（2）先求f（x），討論a，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得出函數(shù)f（x）在（0，+）上的單調(diào)性；（3）將不等式變形為：，所以令，從而得到g（x）在（0，+）上為增函數(shù)，所以g（x）0，所以，為了求a的范圍，所以需要求的范圍，可通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性來求它的范圍，求得范圍是，所以2-a1，所以求得a的范圍試題解析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=ex-x+2, 綜上所述： 在上單調(diào)遞增（3） 構(gòu)造函數(shù)即在恒成立 即恒成立，令 a-2-1 a1 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最