待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式靖州一中蔣利在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式，而這些問題在高考和競(jìng)賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，是一類廣泛而復(fù)雜的問題，歷屆高考常以這類問題作為一道重大的試題。因此，在教學(xué)中，針對(duì)這類問題，提供一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式范例，幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆者@類問題及求解的一般方法。 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關(guān)系變形，使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式。求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)。其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成

2、為等差或等比數(shù)列。具體的求解過程詳見示例。第一類別：an=Aan-1+B例1設(shè)x=2,且x=5x+7.求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變形為x+m=5x+7+m=5(x+),令m=.則m=于是x+ =5(x+)， x+ 是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x+=,公比為q=5.于是x+·5所以x·5例2 設(shè)x1=1,且 xn=（n=2，3，4，）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)椋?令m=,則m=1于是。是等比數(shù)列，其首項(xiàng)是=2,公比是q=于是=2（）n-1 。所求的xn= 第二類別：an=Aan-1+Ban-2例3設(shè)x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n

3、=3,4,）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤n+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-xn-2）令m=-，則m=2,或m=11于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)xn-2xn-1，xn-11xn-1都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-13·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3例4：設(shè)x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n

4、=3,4,）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤n+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)令m=，則m=2,或m=-9xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)xn+2xn-1與xn-9xn-1都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7·(-2)n-1）/11第三類別：an=Aan-1+f(n)例5設(shè)x1=1，且

5、xn=3xn-15n1（n=2,3,）（1）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-25(n-1)1 （2）兩式相減得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)令m=,則m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)xn-xn-1+是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x2-x1+=,其公比q=3。于是xn-xn-1+=·3n-2 （3）由（1）與（3）消去xn-1得 xn=(31·3n-1-10n-17)/4例6：設(shè)x1=4，且xn=5xn-17n3（n=2,3

6、,）（1）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式方法1解：x2=31, 于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-27(n-1)3 （2）兩式相減得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)7xn-xn-1m=5(xn-1-xn-2)7m=5(xn-1-xn-2)令m=,則m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2)xn-xn-1+是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x2-x1+=,其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5n-2 （3） 由（1）與（3）消去xn-1得 xn=(23·5n-28n-23)方法2：所給的遞推公式可變?yōu)閤nAnB=5(xn-1)設(shè)A(n-1)B=比較系數(shù)得A=，-A+B=由此

7、求得A=，B=。于是xn=5(xn-1)，于是xn是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x1+=,其公比q=5。于是 xn=·5n-1所以xn=(23·5n-28n-23)例7，設(shè)x1=2,且xn=3xn-12n21，求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閤nAn2BnC=3(xn-1)設(shè)A(n-1)2B(n-1)C=比較系數(shù)得：A=，-2A+B=，A-B+C=。由此求得A=1，B=3，C=。于是xn=3(xn-1)xn是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為x1+=,其公比q=3。于是xn=·3n-1。所以xn=(19·3n-12n26n7)例8：設(shè)x1=1，且xn=-xn-1+3&

8、#183;2n，（n=2,3,）（1）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式 解：x2=-x112=11。于是（1）把n改成n-1得 xn-1=-xn-2+3·2n-1，2xn-1=-2xn-2+3·2n （2）（1） （2）得xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。即xn=xn-1+2xn-2 xnmxn-1=(m+1)(xn-1xn-2)。 令m=，則m=1,m=-2于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2)xn+xn-1與xn-2xn-1都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為首項(xiàng)x2+x1=12，公比q=2。 首項(xiàng) x2-2x1=9，公比q=-1。于是xn+xn-1=12·2n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n練習(xí)：1設(shè)x1=5，且xn=7xn-1+8n+3，（n=2,3,）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式 答案xn=(151·7n-1-24n-37)/182設(shè)x1