等差數(shù)列的判定和性質

1、等差數(shù)列的判定和性質一、等差數(shù)列的判定方法一、等差數(shù)列的判定方法1、定義法：、定義法：anan1=d(常數(shù)）常數(shù)）2、數(shù)列、數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是：是等差數(shù)列的充要條件是：pan+q成等差數(shù)列（成等差數(shù)列（p、q是常數(shù)）是常數(shù)）2an+1=an+an+2(nN*）前前n項和項和Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)）是常數(shù)）證明：必要性證明：必要性 若若an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則an前前n項項和和2,2.)2(22)1(12121daBdABnAnndanddnnnaSn 其中，其中， 的等差數(shù)列的等差數(shù)列是公差為是公差為故數(shù)列故數(shù)列則則項和項和的前的前若數(shù)列若數(shù)列充分性充分性AaAa

2、aNnBAAnnBAAnSSnBAaBnAnSnannnnnnnn2,2)(2)2(2)1(1*12 二、等差數(shù)列的性質二、等差數(shù)列的性質（1）an=am+(nm)d, mnaadmn （2）m+n=p+q, am+an=ap+aq ( m,n,p,qN*)(特別是：特別是：m+n=2p am+an=2ap)（3）前）前n項和為項和為n的二項式（的二項式（d0時），且時），且常數(shù)為常數(shù)為0，即，即Sn=an2+bn;且且a= d21）比項數(shù)減比項數(shù)減項數(shù)加項數(shù)加）（中間項）（中間項）項數(shù)與中間項的積）項數(shù)與中間項的積）為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，）當）當（偶偶奇奇偶偶奇奇11(1132(142121

3、nnSSaSSanSnnnn（5）當）當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時中間兩項的比）中間兩項的比）的積）的積）項數(shù)與中間兩項平均數(shù)項數(shù)與中間兩項平均數(shù)）偶偶奇奇奇奇偶偶()322(21122122 nnnnnaaSSdnSSaanS（6）前）前n項和項和Sn最大（最?。┳畲螅ㄗ钚。﹏aaSndanaaSndannnnnn來確定來確定可由不等式組可由不等式組最小，最小，為何值時為何值時求求在在來確定來確定可由不等式組可由不等式組最大，最大，為何值時為何值時求求）在）在 00, 0, 0)200, 0, 011111三、等差數(shù)列三、等差數(shù)列an記記A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2

4、n+1+a2n+2+a3n則則A、B、C成等差數(shù)列，公差成等差數(shù)列，公差為為n2d (其中其中d為為an的公差）的公差）四、等比數(shù)列四、等比數(shù)列an記記A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n則則A、B、C成等比數(shù)列，公比成等比數(shù)列，公比為為qn (其中其中q為為an的公比的公比）例題例題1 已知項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列已知項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列an,奇數(shù)項奇數(shù)項之和為之和為44，偶數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為33，求項數(shù)，求項數(shù)n7,7711771133442121 nnSSanSaSSSSnnn偶偶奇奇偶偶奇奇偶偶奇奇又又，解：由題意，解：由題意，例例

5、2 數(shù)列數(shù)列an中，中，a1=60,且且an+1=an+3,則這個則這個數(shù)列前多少項之和最??？數(shù)列前多少項之和最?。宽椇妥钚№椇妥钚?shù)列的前數(shù)列的前解得解得式式解：由已知可得通項公解：由已知可得通項公2121,063)1(30633633)1(360 nnnnnan 例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Sn=10nn2 (nN*),又又bn=an(nN*),求求bn的前的前n項和項和Tn解：易得解：易得an=SnSn1=112n,(n2)，又，又a1=S1=9,an=112n,（nN*）a50,a65時，時，bn=an,Tn=2S5Sn=50(10nn2)=n210n+50 )5(5

6、010)5(1022nnnnnnTn即即 1),2()1(2321)1(21),2(0242232211 nnnnnnnnnnbbbnanbaSanSSaSna求證：求證：）若）若（的表達式；的表達式；）求）求（是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；求證：求證：，且滿足，且滿足項和項和的前的前已知數(shù)列已知數(shù)列例例 的值。的值。試求試求）若）若（是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；證明數(shù)列證明數(shù)列若若）證明）證明（論；論；的奇偶性并證明你的結的奇偶性并證明你的結判定判定都有都有，、滿足：對于任意滿足：對于任意的函數(shù)的函數(shù)，定義域為定義域為例例)()()(, 1)31(4)(),(2121)3(1)()(:2)()1(1)()(11)(11210021afafaffafNnaxyyxfyfxfxfxyyxfyfxfyxxfnnnn 是奇函數(shù)是奇函數(shù)則則證明：令證明：令是奇函數(shù)是奇函數(shù))(0)0(1)()(0)0(),0()0()0(, 0)()1(2xffxxxfxfxfffffyxxf xyyxfyfxfyfxf1)()()()()2(證明：證明： 為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列為首項，為首項，是以是以而而證明：證明：)31()31()()31(2121)()31(21212