數學分析甲簡介

1、數學分析（甲）簡介課程號： 06110010，06110020，06110030課程名稱：數學分析 英文名稱：Calculus周學時：4-1，4-1，4-0 學分：4.5， 總學分：13預修要求：無內容簡介：數學分析是數學系各專業(yè)的重要基礎課。本課程的教學目的是向學生介紹最基本的概念、定律、理論與方法，同時通過本課程的學習，提高學生的數學推理論證能力和抽象思維能力，為后續(xù)課程的學習打下堅實的基礎 選用教材或參考書：（含教材名，主編，出版社，出版年）教 材：微積分與數學分析引論，科學出版社 R.柯朗，F. 約翰 ，2002年 參考教材：數學分析（第二版），華東師范大學數學系編數學分析（第二版），

2、復旦大學數學系 陳傳璋，金福臨，朱學炎，歐陽光中 數學分析 教學大綱 一、 課程的教學目的和基本要求 數學分析是數學系各專業(yè)的重要基礎課。本課程的教學目的是向學生介紹最基本的概念、定律、理論與方法，同時通過本課程的學習，提高學生的數學推理論證能力和抽象思維能力，為后續(xù)課程的學習打下堅實的基礎 二、 相關教學環(huán)節(jié)安排 第一學期主要內容：實數連續(xù)統(tǒng)、函數的概念、序列的極限概念、函數的極限概念、連續(xù)函數的概念和相關定理、積分的概念、積分的基本法則、不定積分的基本概念、導數的概念、積分、原函數和微積分基本定理、連續(xù)函數的定積分的存在性 第二學期主要內容：微分法則及其應用、反函數的導數、復合函數的微分法

3、、指數函數的某些應用、最大值和最小值問題、函數的量階、初等積分法、有理函數的積分法、幾類特殊函數的積分法、反常積分概念及其判別法、三角函數的微分方程、冪級數、泰勒定理、余項的表示式及其估計、插值問題、拉格朗日插值公式第三學期主要內容：積分的數值計算、方程的數值解法、斯特林公式、無窮和與無窮乘積收斂與發(fā)散的概念、絕對收斂和發(fā)散的判別法、函數與曲線序列的極限過程、復數項冪級數、級數的乘法和除法、無窮級數與反常積分、無窮乘積、含有伯努利數的級數、傅里葉級數、三角多項式和有理多項式的近似法、傅里葉積分定理、非連續(xù)點上的吉布斯現象、傅里葉級數的積分、伯努利多項式及其應用第四學期主要內容：平面和空間的點和

4、點集、多元函數連續(xù)性、函數的偏導數、函數的全微分及其幾何意義、多元復合函數、多元函數的中值定理與泰勒定理、依賴于參量的函數的積分、微分與線積分、線性微分型的可積性的基本定理、多維空間的聚點原理及其應用、連續(xù)函數的基本性質、點集論的基本概念第五學期主要內容：隱函數、函數組、變換與映射、曲線族，曲面族，以及它們的包絡、交錯微分型、求最大與最小值、平面上的面積、二重積分、三維及高維區(qū)域上的積分、空間微分、質量與密度、化重積分為累次單積分、重積分的變換、廣義多重積分、在曲線坐標中的重積分、任意維數的體積和曲面面積、作為參數的函數的廣義單積分第六學期主要內容：傅里葉積分、歐拉積分（伽瑪函數）、多元函數的

5、積分、面積與積分的變換、高斯，斯托克斯和格林的積分定理、散度定理的向量形式，斯托克斯定理、二維分部積分公式，格林定理，散度定理、面積微分，將變到極坐標的變換、用二維流動解釋格林和斯托克斯公式、曲面的定向、曲面上微分形式和數量函數的積分、空間情形的高斯定理和格林定理、空間斯托克斯定理、高維積分恒等式、三維空間中的曲面和曲面積分、散度定理、在高維歐氏空間中的曲面和曲面積分、高維空間中簡單曲面上的積分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式 （宋體五號）三、 課程主要內容及學時分配 第一學期：第1章 引言1.1 實數連續(xù)統(tǒng)（2學時）a. 自然數及其擴充，計數和度量b. 實數和區(qū)間套c. 十進小數，其他進位

6、制d. 鄰域的定義e. 不等式1.2 函數的概念（2學時）a. 映射圖形b. 單連續(xù)變量的函數概念的定義，函數的定義域和值域c. 函數的圖形表示，單調函數d. 連續(xù)性e. 中間值定理，反函數1.3 初等函數（1學時）a. 有理函數b. 代數函數c. 三角函數d. 指數函數和對數函數e. 復合函數，符號積，反函數1.4 數學歸納法（1學時）1.5 序列的極限（2學時）a. b. ，c. d. e. f. 和的極限之幾何解釋g. 幾何級數h. i. j. ，其中1.6 再論極限概念（2學時）a. 收斂和發(fā)散的定義b. 極限的有理運算c. 內在的收斂判別法，單凋序列d. 無窮級數及求和符號e. 數e

7、f. 作為極限的數1.7 單連續(xù)變量的函數的極限概念（1學時）a. 初等函數的一些注記1.8 極限和數的概念（2學時）a. 有理數b. 有理區(qū)間套序列定義實數c. 實數的順序，極限和算術運算d. 實數連續(xù)統(tǒng)的完備性，閉區(qū)間的緊致性，收斂判別法則e. 最小上界和最大下界f. 有理數的可數性1.9 關于連續(xù)函數的定理（1學時）1.10 極坐標（1學時）1.11 關于復數的注記（1學時）第2章 積分學和微分學的基本概念2.1 積分（2學時）a. 引言b. 作為面積的積分c. 積分的分析定義，表示法2.2 積分的初等實例（2學時）a. 線性函數的積分b. 的積分c. 的積分（是不等于的有理數）d. 和

8、的積分2.3 積分的基本法則（2學時）a. 可加性b. 函數之和的積分c. 函數與常數乘積的積分d. 積分的估值e. 積分中值定理2.4 作為上限之函數的積分不定積分（1學時）2.5 用積分定義對數（1學時）a. 對數函數的定義b. 對數的加法定理2.6 指數函數和冪函數（2學時）a. 數的e的對數b. 對數函數的反函數，指數函數c. 作為冪的極限的指數函數d. 正數的任意次冪的定義e. 任一底的指數2.7 的任意次冪的積分（1學時）2.8 導數（2學時）a. 導數與切線b. 作為速度的導數c. 微分法舉例d. 一些基本的微分法則e. 函數的可微性和連續(xù)性f. 高階導數及其意義g. 導數和差商

9、，萊布尼茲表示法h. 微分中值定理i. 定理的證明j. 函數的線性近似，微分的定義k. 關于在自然科學中的應用的一點評述2.9 積分、原函數和微積分基本定理（2學時）a. 不定積分的導數b. 原函數及其與積分的關系c. 用原函數計算定積分2.10 連續(xù)函數的定積分的存在性（1學時）第二學期：第3章 微分法和積分法3.1 最簡單的微分法則及其應用（1學時）a. 微分法則b. 有理函數的微分法c. 三角函數的微分法3.2 反函數的導數（1學時）a. 一般公式b. 次冪的反函數，次根，反三角函數多值性c. 相應的積分公式d. 指數函數的導數與積分3.3 復合函數的微分法（1學時）a. 定義b. 鏈式

10、法則c. 廣義微分中值定理3.4 指數函數的某些應用（1學時）a. 用微分方程定義指數函數b. 連續(xù)復利，放射性蛻變c. 物體被周圍介質冷卻或加熱d. 大氣壓隨地面上的高度的變化e. 化學反應過程f. 電路的接通或斷開3.5 最大值和最小值問題（1學時）a. 曲線的下凸和上凸b. 最大值和最小值極值問題，平穩(wěn)點3.6 函數的量階（1學時）a. 量階的概念，最簡單的情形b. 指數函數與對數函數的量階c. 一點注記d. 在一點的鄰域內函數的量階e. 函數趨向于零的量階f. 量階的“O”和“o”表示法3.7 一些特殊的函數（1學時）a. 函數b. 函數c. 函數，3.8 關于函數可微性的注記（0.5

11、學時）3.9 初等積分表（0.5學時）3.10 換元法（1學時）a. 換元公式，復合函數的積分b. 換元公式的另一種推導方法c. 積分公式3.11 換元法的其他實例（1學時）3.12 分部積分法（1學時）a. 一般公式b. 分部積分的其他例子c. 關于的積分公式d. 遞推公式e. 的沃里斯（Wallis）無窮乘積表示3.13 有理函數的積分法（1學時）a. 基本類型b. 基本類型的積分c. 部分分式d. 分解成部分分式舉例，待定系數法3.14 其他幾類函數的積分法（1學時）a. 圓和雙曲線的有理表示法初階b. 的積分法c. 的積分法d. 的積分法e. 的積分法f. 的積分法g. 化為有理函數積

12、分的其他例子h. 注記3.15 初等函數的積分（1學時）a. 用積分定義的函數b. 橢圓積分和橢圓函數c. 關于微分和積分3.16 積分概念的推廣（1學時）a. 引言，反常積分的定義b. 無窮間斷的函數c. 作為面積的解釋d. 收斂判別法e. 無窮區(qū)間上的積分f. （伽馬）函數g. 狄利克雷（Dirichlet）積分h. 變量置換，菲涅爾（Fresnel）積分3.17 三角函數的微分方程（2學時）a. 關于微分方程的初步說明b. 由微分方程和初始條件定義的和第4章 泰勒展開式4.1 引言：冪級數（1學時）4.2 對數和反正切的展開式（1學時）a. 對數函數b. 反正切函數4.3 泰勒定理（2學

13、時）a. 多項式的泰勒表示b. 非多項式函數的泰勒公式4.4 余項的表示式及其估計（2學時）a. 柯西和拉格朗日余項b. 泰勒公式的另一種推導法4.5 初等函數的展開式（1學時）a. 指數函數b. ，的展開式c. 二項式級數4.6 幾何應用（1時）a. 曲線的接觸b. 關于相對極大值和相對極小值的理論4.7 不能展成泰勒級數的函數的例（1學時）4.8 函數的零點和無線點（1學時）a. 階零點b. 階無限4.9 不定式（1學時）4.10 各階導數都不為負的函數的泰勒級數的收斂性（1學時）4.11 插值問題，唯一性（1學時）4.12 解的構造，牛頓插值公式（1學時）4.13 余項的估計和拉格朗日插

14、值公式（1學時）第三學期：第5章 數值方法5.1 積分的計算（1學時）a. 矩形近似公式b. 改進的近似式辛普森法則5.2 數值方法的另一些例（1學時）a. 誤差計算b. 的計算c. 對數的計算5.3 方程的數值解法（1學時）a. 牛頓法b. 假位法c. 迭代法d. 迭代與牛頓程序5.4 斯特林公式（1學時）第6章 無窮和與無窮乘積6.1 收斂與發(fā)散的概念（1學時）a. 基本概念b. 絕對收斂與條件收斂c. 項的重新排列d. 無窮級數的運算6.2 絕對收斂和發(fā)散的判別法（1學時）a. 比較判別法，控制級數b. 與幾何級數相比較的收斂判別法c. 與積分相比較6.3 函數序列（1學時）a. 函數與

15、曲線序列的極限過程6.4 一致收斂與不一致收斂（1學時）a. 一般說明和定義b. 一致收斂的一個判別法c. 連續(xù)函數的一致收斂級數之和的連續(xù)性d. 一致收斂級數的積分e. 無窮級數的微分法6.5 冪級數（1學時）a. 冪級數的收斂性質收斂區(qū)間b. 冪級數的積分法和微分法c. 冪級數的運算d. 展開式的唯一性e. 解析函數6.6 給定函數的冪級數展開式，待定系數法（1學時）a. 指數函數b. 二項式級數c. 的級數d. 級數乘法的例e. 逐項積分的例（橢圓積分）6.7 復數項冪級數（1學時）a. 在冪級數中引進復數項，三角函數的復數表示b. 復變函數一般理論一瞥6.8 級數的乘法和除法（1學時）

16、a. 絕對收斂級數的乘法b. 冪級數的乘法和除法6.9 無窮級數與反常積分（2學時）6.10 無窮乘積（1學時）6.11 含有伯努利數的級數（1學時）第7章 三角級數7.1 周期函數（1學時）a. 一般說明，函數的周期開拓b. 一個周期上的積分c. 諧振7.2 諧振的疊加（1學時）a. 諧波，三角多項式b. 拍7.3 復數表示法（1學時）a. 一般說明b. 交流電上的應用c. 三角多項式的復數表示法d. 一個三角公式7.4 傅里葉級數（2學時）a. 傅里葉系數b. 基本引理c. 的證明d. 函數的傅里葉展開式e. 關于傅里葉展開的主要定理7.5 傅里葉級數的例（2學時）a. 預先說明b. 函數

17、的展開式c. 的展開式d. 函數e. 一個分段常數函數f. 函數g. 的展開式，余切分解為部分分式，正弦的無窮級數h. 進一步的例7.6 收斂性的進一步討論（2學時）a. 結果b. 貝塞耳不等式c. 推論的證明d. 傅里葉系數的量階，傅里葉級數的微分法7.7 三角多項式和有理多項式的近似法（2學時）a. 關于函數表示法的一般說明b. 魏爾斯特拉斯逼近定理c. 按算術平均值的傅里葉多項式的費耶三角近似式d. 在平均意義下的逼近和帕塞瓦爾關系式7.8 周期區(qū)間的伸縮變換，傅里葉積分定理（1學時）7.9 非連續(xù)點上的吉布斯現象（1學時）7.10 傅里葉級數的積分（1學時）7.11 伯努利多項式及其應

18、用（2學時）a. 定義及傅里葉展式b. 生成函數，三角余切的泰勒級數c. 歐拉-麥克勞林求和公式d. 應用，漸近表達式e. 冪級數的和，伯努利數的遞推公式f. 歐拉常數和斯特林技術第四學期：第8章 多元函數及其導數8.1 平面和空間的點和點集（2學時）a. 點的序列：收斂性b. 平面上的點集c. 集合的邊界，閉集于開集d. 閉包作為極限點的集合e. 空間的點與點集8.2 幾個自變量的函數（2學時）a. 函數及其定義域b. 最簡單的函數c. 函數的幾何表示法8.3 連續(xù)性（2學時）a. 定義b. 多元函數的極限概念c. 無窮小函數的階8.4 函數的偏導數（2學時）a. 定義，幾何表示b. 偏導數

19、的連續(xù)性與存在性c. 微分次序的改變8.5 函數的全微分及其幾何意義（2學時）a. 可微性的概念b. 方向導數c. 可微性的幾何解釋，切平面d. 函數的微分e. 在誤差計算方面的應用8.6 函數的函數（復合函數）與新自變量的引入（2學時）a. 復合函數，鏈式法則b. 自變量的替換8.7 多元函數的中值定理與泰勒定理（2學時）a. 關于用多項式作近似的預備知識b. 中值定理c. 多個自變量的泰勒定理8.8 依賴于參量的函數的積分（2學時）a. 例和定義b. 積分關于參量的連續(xù)性和可微性c. 積分（次序）的互換，函數的光滑化8.9 微分與線積分（2學時）a. 線性微分型b. 線性微分型的線積分c.

20、 線積分對端點的相關性8.10 線性微分型的可積性的基本定理（4學時）a. 全微分的積分b. 線積分只依賴于端點的必要條件c. 可積條件的不足d. 單連通集e. 基本定理8.11 多維空間的聚點原理及其應用（4學時）a. 聚點原理b. 柯西收斂準則，緊性c. 海涅-波萊耳覆蓋定理d. 海涅-波萊耳定理在開集所包含閉集上的應用8.12 連續(xù)函數的基本性質（2學時）8.13 點集論的基本概念（4學時）a. 集合與子集合b. 集合的并與交c. 應用于平面上的點集d. 齊次函數第五學期：第9章 微分學的發(fā)展和應用9.1 隱函數（2學時）a. 一般說明b. 幾何解釋c. 隱函數定理d. 隱函數定理的證明

21、e. 多余兩個自變量的隱函數定理9.2 用隱函數形式表出的曲線與曲面（2學時）a. 用隱函數形式表出的平面曲線b. 曲線的奇點c. 曲面的隱函數表示法9.3 函數組、變換與映射（4學時）a. 一般說明b. 曲線坐標c. 推廣到多于兩個變量的情形d. 反函數的微商公式e. 映射的符號乘積f. 關于變換及隱函數組的逆的一般定理，分解成素映射g. 用逐次逼近法迭代構造逆映射h. 函數的相依性i. 結束語9.4 應用（2學時）a. 曲面理論的要素b. 一般保角變換9.5 曲線族，曲面族，以及它們的包絡（2學時）a. 一般說明b. 單參量曲線的包絡c. 曲面族的包絡9.6 交錯微分型（2學時）a. 交錯

22、微分型的定義b. 微分型的和與積c. 微分型的外微商d. 任意坐標系中的外微分型9.7 最大與最小（2學時）a. 必要條件b. 帶有附加條件的最大與最小c. 最簡單情形下不定乘數法的證明d. 不定乘數法的推廣第10章 多重積分10.1 平面上的面積（1學時）a. 面積的若爾當測度的定義b. 一個沒有面積的集合c. 面積的運算法則10.2 二重積分（2學時）a. 作為體積的二重積分b. 積分的一般分析概念c. 記號，推廣，基本法則d. 積分估計與中值定理10.3 三維及高維區(qū)域上的積分（1學時）10.4 空間微分、質量與密度（1學時）10.5 化重積分為累次單積分（2學時）a. 在矩形上的積分b

23、. 積分交換次序，積分號下求微分c. 在更一般的區(qū)域上化二重積分為單重積分d. 在多維區(qū)域中的推廣10.6 重積分的變換（1學時）a. 平面上的積分的變換b. 高于二維的區(qū)域10.7 廣義多重積分（1學時）a. 有界集上函數的廣義積分b. 廣義積分一般收斂定理的證明c. 無界區(qū)域上的積分10.8 在幾何中的應用（1學時）a. 體積的初等計算b. 體積計算的一般性附注，旋轉體在球坐標系中的體積c. 曲面的面積10.9 在物理中的應用（1學時）a. 矩和質心b. 慣性矩c. 復合擺d. 吸引質量的勢（1學時）10.10 在曲線坐標中的重積分a. 重積分的分解b. 應用到移動曲線掃過的面積和移動曲面

24、掃過的體積，古魯金公式，配極求積儀10.11 任意維數的體積和曲面面積（2學時）a. 高于三維的曲面面積和曲面積分b. n維空間中的球體面積和體積c. 推廣，參數表示10.12 作為參數的函數的廣義單積分（2學時）a. 一致收斂性，對參數的連續(xù)依賴性b. 廣義積分對參數的微分法和積分法c. 菲涅爾積分值的計算第六學期：10.13 傅里葉積分（2學時）a. 引言b. 傅里葉積分定理的證明c. 傅里葉積分定理的收斂速度d. 傅里葉變換的帕塞瓦爾等式e. 多元函數的傅里葉變換10.14 歐拉積分（伽瑪函數）（2學時）a. 定義和函數方程b. 凸函數，波爾-摩爾路波定理的證明c. 伽瑪函數的無窮乘積d. 延拓定理e. 貝塔函數f. 分數次微商和積分，阿貝爾積分方程10.15 面積（2學時）a. 平面的分劃和相應的內、外面積b. 若爾當可測集及其面積c. 面積的基本性質10.16 多元函數的積分（2學時）a. 函數的積分的定義b. 連續(xù)函數的可積性與在集合上的積分c. 重積分的基本法則d. 化重積分為累次單積分10.17 面積與積分的變換（2學時）a. 集合的映射b. 重積分的變換10.18 關于曲面面積定義的附注（1學時）第11章 曲面積分和體積分之間的關系1