數(shù)學(xué)史教學(xué)的四個(gè)事例

1、數(shù)學(xué)史教學(xué)的四個(gè)事例湖北省潛江市江漢油田高級(jí)中學(xué) 舒云水 433123新課標(biāo)加強(qiáng)了數(shù)學(xué)史的教學(xué)，除了有專門的數(shù)學(xué)史教材數(shù)學(xué)史選講外，人教版教材在閱讀與思考等欄目中安排一些數(shù)學(xué)史內(nèi)容，這是我們開展數(shù)學(xué)史教學(xué)的主要渠道除此外，我們教師應(yīng)該多讀一些數(shù)學(xué)史，多掌握一些數(shù)學(xué)史事例，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇相關(guān)事例傳授給學(xué)生，可提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解筆者一直愛讀數(shù)學(xué)史，常常根據(jù)教學(xué)內(nèi)容講一些相關(guān)的數(shù)學(xué)史，產(chǎn)生了比較好的教學(xué)效果，下面給出四個(gè)數(shù)學(xué)史事例，供同行教學(xué)參考1、費(fèi)馬素?cái)?shù)與正多邊形的尺規(guī)作圖人教版教材選修2-2的第77頁（選修2-1的第29頁）講了費(fèi)馬數(shù)及費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想，費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想是一個(gè)非常經(jīng)

2、典的錯(cuò)誤猜想講完課本內(nèi)容后，緊接著我就給學(xué)生補(bǔ)充講費(fèi)馬素?cái)?shù)與正多邊形的尺規(guī)作圖的知識(shí)我們把費(fèi)馬數(shù)中的素?cái)?shù)叫費(fèi)馬素?cái)?shù)到目前為此，我們知道的費(fèi)馬素?cái)?shù)只有5個(gè)：，到1988年時(shí)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道，,都是合數(shù)迄今沒有新的費(fèi)馬素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)家傾向于相信不再有其它的費(fèi)馬素?cái)?shù)故事到此并沒有結(jié)束，費(fèi)馬素?cái)?shù)又出現(xiàn)在用直尺和圓規(guī)作正多邊形的這樣一個(gè)完全不同的問題中古希臘人早就發(fā)現(xiàn)了如何用直尺和圓規(guī)作3,4,5,6,8,10,15邊的正多邊形，利用不斷平分中心角的辦法，他們還能夠作出有，條邊的正多邊形古希臘人以及后來許多數(shù)學(xué)愛好者都尋找過7,9,11,13邊的正多邊形的尺規(guī)作法，但都沒有成功直到年輕的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯1

3、801年發(fā)表了數(shù)論的劃時(shí)代著作算術(shù)研究，這個(gè)問題才有新的進(jìn)展高斯超過前人的不僅僅是他給出了正十七邊形的尺規(guī)作法，更重要的是，對(duì)所有他解決了哪些正邊形可以用尺規(guī)作出來，而哪些不能下面我們來敘述高斯的結(jié)果上面已經(jīng)指出，從一個(gè)正邊形出發(fā)，通過等分它的每個(gè)中心角，就能得到正邊形另一方面，從一個(gè)正邊形出發(fā)，只要取個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)就能得到正邊形這表明，為了判定哪些正邊形可作，只要討論奇數(shù)情形就夠了高斯證明了如下定理定理 對(duì)奇數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是費(fèi)馬素?cái)?shù)，或是若干個(gè)不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積時(shí)，正邊形才能用直尺和圓規(guī)作出來讓我們考察幾個(gè)最小的值正3邊形和正5邊形可以作出，但不能作出正7邊形，因?yàn)?不是費(fèi)馬素?cái)?shù)也不能作出正

4、9邊形，因?yàn)?=33是兩個(gè)相等的費(fèi)馬素?cái)?shù)的乘積也不能作出和的正邊形，但是能夠作出及的正邊形同數(shù)學(xué)一樣，高斯在語言方面有極高的天賦與興趣，在發(fā)現(xiàn)正十七邊形的尺規(guī)作法時(shí)，只有19歲，在這之前高斯一直猶豫是以數(shù)學(xué)還是以語言為畢生的事業(yè)正是正十七邊形的尺規(guī)作圖的成功，他明確地決定從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)語言仍然是他終身保持的一項(xiàng)愛好高斯對(duì)自己證明了能夠用尺規(guī)作出正17邊形并完成了作圖，感到很驕傲，立下遺囑，在他的墓碑上畫一個(gè)內(nèi)接于圓的正17邊形 2、 一個(gè)與形數(shù)有關(guān)的著名定理 人教A版必修5的第32 頁介紹了古希臘人發(fā)明的三角形數(shù)和正方形數(shù)選修教材數(shù)學(xué)史選講又在第15頁專門講了多邊形數(shù)講完課本內(nèi)容后，我給學(xué)生補(bǔ)充

5、講了形數(shù)的一些有趣性質(zhì)，例如：任何一個(gè)正方形數(shù)都是某兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)之和；第個(gè)五邊形數(shù)等于第個(gè)三角形數(shù)的三倍加上等重點(diǎn)給學(xué)生講了一個(gè)與形數(shù)有關(guān)的著名定理：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)形數(shù)很感興趣，對(duì)形數(shù)進(jìn)行了深入研究，提出一個(gè)關(guān)于形數(shù)的著名猜想：每一個(gè)正整數(shù)都是3個(gè)“三角形數(shù)”、4個(gè)“正方形數(shù)”、5個(gè)“五邊形數(shù)”、6個(gè)“六邊形數(shù)”等的和需要說明一點(diǎn)：上面猜想所述的“三角形數(shù)”、“正方形數(shù)”等形數(shù)都把零算在內(nèi)這個(gè)猜想引起許多數(shù)學(xué)愛好者的興趣，他們認(rèn)真研究嘗試對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行證明，大數(shù)學(xué)家歐拉、拉格朗日等都進(jìn)行了深入研究，這個(gè)猜想的證明難度很大，他們都沒有成功后來，數(shù)學(xué)王子高斯第一個(gè)證明了“三角形數(shù)”這種情形是成

6、立的，但未能給“正方形數(shù)”等其他情形作出證明，直到費(fèi)馬去世150年后的1815年，當(dāng)時(shí)只有26歲的年輕數(shù)學(xué)家柯西證明上述猜想是成立的，在當(dāng)時(shí)引起了轟動(dòng)正是一代代數(shù)學(xué)愛好者、數(shù)學(xué)家前赴后繼，共同努力解決了一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)難題，這些難題的成功解決無一不閃爍著人類智慧的燦爛光芒！3、質(zhì)數(shù)的判定人教A版必修3的第3 頁的例1及例1后面的探究問題是“質(zhì)數(shù)的判定”問題，它有豐富的數(shù)學(xué)背景講完課本內(nèi)容后，我給學(xué)生補(bǔ)充講了下面有關(guān)質(zhì)數(shù)判定的數(shù)學(xué)史 質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)大約在2300年前歐幾里得就證明了存在著無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)盡管如此，迄今為止還沒有發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)的模型或產(chǎn)生質(zhì)數(shù)的有效公式因而尋找大的質(zhì)數(shù)必須借助計(jì)算機(jī)一個(gè)一個(gè)地找尋找

7、大質(zhì)數(shù)是數(shù)論研究的重要課題之一大家可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)疑問：找大質(zhì)數(shù)有什么用？告訴你，現(xiàn)在最好的密碼是用質(zhì)數(shù)制造的，極難破譯 人們一直在尋找檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法，最近一些年有了巨大進(jìn)步你或許會(huì)說，檢驗(yàn)質(zhì)數(shù)有什么難？確實(shí)，看一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，有一種非常自然而直接的方法，這就是我們常用的試除法，即課本例1所用的算法這一方法對(duì)檢驗(yàn)不太大的數(shù)是挺實(shí)用的但若數(shù)字太大，它就變得十分笨拙假設(shè)你在一個(gè)快速計(jì)算機(jī)上使用高效的程序進(jìn)行試除對(duì)于一個(gè)10位數(shù)字的數(shù)，運(yùn)行程序幾乎瞬間就能完成對(duì)于一個(gè)20位的數(shù)就麻煩一點(diǎn)了，需要兩個(gè)小時(shí)對(duì)于一個(gè)50位的數(shù)，則需要100億年這已經(jīng)大得不可想象前面講過最好的密碼是用質(zhì)數(shù)制造的

8、，它是用介于60位到100位之間的兩個(gè)質(zhì)數(shù)制造的，這種計(jì)算正是制造這種密碼的需要當(dāng)今龐大的國(guó)際數(shù)據(jù)通訊網(wǎng)絡(luò)能安全運(yùn)行，就得益于這種密碼如何確定一個(gè)100位的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)呢？數(shù)學(xué)家做了許多努力，在1980年左右找到了目前可用的最好方法數(shù)學(xué)家阿德勒曼，魯梅利，科恩和倫斯特拉研究出一種非常復(fù)雜的方法現(xiàn)在以他們的名字的第一個(gè)字母命名為ARCL檢驗(yàn)法在上面提到的那類計(jì)算機(jī)上進(jìn)行ARCL檢驗(yàn)，對(duì)20位的數(shù)只需10秒鐘，對(duì)50位的數(shù)用15秒，100位的數(shù)用40秒如果要檢查1000位的數(shù)，一個(gè)星期也就夠了可以相信，隨著人們對(duì)質(zhì)數(shù)判定的算法的研究不斷深入以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，我們會(huì)找到更好更快地檢驗(yàn)一個(gè)大數(shù)

9、是否為質(zhì)數(shù)的方法，發(fā)現(xiàn)更多更大的質(zhì)數(shù)講了上面有關(guān)質(zhì)數(shù)的知識(shí)后，感到意猶未盡，后來找了一個(gè)時(shí)間給學(xué)生講了一些關(guān)于梅森素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)史4、梅森素?cái)?shù) 梅森（15881648）是法國(guó)數(shù)學(xué)家，自然哲學(xué)家和宗教家他在1644年提出了梅森素?cái)?shù)梅森的提出是探索表素?cái)?shù)公式的開始，在數(shù)論史上具有開拓性的意義將形如的數(shù)叫做梅森數(shù)，其中是素?cái)?shù)的梅森數(shù)叫做梅森素?cái)?shù)，梅森提出的問題具有啟發(fā)性，但他當(dāng)時(shí)的判斷有誤他說，對(duì)p=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257, 是素?cái)?shù)，而p<257的其它素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)的都是合數(shù)梅森是如何得到這一結(jié)論的呢？無人知曉到了1947年有了臺(tái)式計(jì)算機(jī)后，人們才能檢查他的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)他犯

10、了五個(gè)錯(cuò)誤，不是素?cái)?shù)，而是素?cái)?shù) 1867年以來，人們已經(jīng)知道是合數(shù)，但對(duì)它的因數(shù)一無所知1903年10月在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)舉行的一次會(huì)上，數(shù)學(xué)家科爾提交一篇論文大數(shù)的因子分解輪到科爾報(bào)告時(shí)，他走到黑板前，一言未發(fā)便作起2的方冪的演算，直到2的67次冪，從所得結(jié)果減去1，然后默默無言地在黑板的空白處寫下兩個(gè)數(shù)相乘：兩個(gè)計(jì)算結(jié)果完全一樣之后，他只字未吐又回到自己的座位上，會(huì)場(chǎng)爆發(fā)了熱烈的掌聲！這短短幾分鐘的報(bào)告卻花了科爾3年的全部星期天 在手工計(jì)算的時(shí)代，人們歷盡艱辛，僅找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)，它們是，其中p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127計(jì)算機(jī)發(fā)明出來后，人們借助電子計(jì)

11、算機(jī)去尋找梅森素?cái)?shù)，從1952年后到1996年5月為止，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了22個(gè)梅森素?cái)?shù)，其中p=521(1952), 607（1952），1279（1952），2203（1952），2281（1952），3217（1957），4253（1961），4423（1961），9689（1963），9941（1963），11213（1963），19937（1971），21701（1978），23209（1979），44497（1979），86243（1983），110503（1988），132049（1983），216091（1985），756839（1992），859433（1994），1257787（1

12、996）括號(hào)里的數(shù)字為發(fā)現(xiàn)的年份上面最后一個(gè)梅森素?cái)?shù)是1996年5月美國(guó)威斯康星州克雷研究所發(fā)現(xiàn)的，是迄今為止最后一個(gè)由超級(jí)計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)該所的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基一共發(fā)現(xiàn)了7個(gè)梅森素?cái)?shù)，他因此被人們稱為“素?cái)?shù)大王” 使用超級(jí)計(jì)算機(jī)尋找梅森素?cái)?shù)的游戲?qū)嵲谔嘿F了1996年初美國(guó)數(shù)學(xué)家及程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)尋找程序，并把它放在網(wǎng)頁下供數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用，這就是著名的“因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）項(xiàng)目，GIMPS項(xiàng)目實(shí)施以來，利用該項(xiàng)目已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了13個(gè)梅森素?cái)?shù)，到目前為止現(xiàn)在一共發(fā)現(xiàn)了47個(gè)梅森素?cái)?shù)，1996年11月以后發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)都是利用該項(xiàng)

13、目發(fā)現(xiàn)的，世界上已有170個(gè)國(guó)家和地區(qū)近18萬人參加了這一項(xiàng)目，并動(dòng)用了37萬多臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分布式計(jì)算下面按發(fā)現(xiàn)時(shí)間順序給出這13個(gè)梅森素?cái)?shù)，括號(hào)里的數(shù)字是發(fā)現(xiàn)時(shí)間P=1398269（1996-11-13）,2976221(1997-08-24),3021377(1998-01-27),6972593(1999-06-01),13466917(2001-11-14),20996011(2003-11-17),24036583(2004-05-15),25964951(2005-02-18),30402457(2005-12-15)，32582657（2006-09-04），43112609（2008-08-23），37156667（2008-09-06），42643801（2009-04-12）其中最大的梅森素?cái)?shù)是第45個(gè)，它是2008年8月23日由美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)管理員埃德森·史密斯發(fā)現(xiàn)的，它有12978189位數(shù)，是到目前為止人們所知的最大的素?cái)?shù)，如果用普通字號(hào)將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫下來，它的長(zhǎng)度可超過50公里！這一成就被美國(guó)的時(shí)代雜志評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一，排名第29位梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有十分豐富的理論意義和實(shí)用價(jià)值它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑；它的探究推動(dòng)了數(shù)學(xué)皇后數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)、網(wǎng)格技術(shù)和